1、-. z.定積分知識點總結航空航天大學李權州定積分定義與根本性質 1.定積分定義 設有一函數f(*)給定在*一區間a,b上. 我們在a與b之間插入一些分點. 而將該區間任意分為假設干段. 以表示差數中最大者. 在每個分區間中各取一個任意的點. 而做成總和然后建立這個總和的極限概念：另用語言進展定義：，在時，恒有則稱該總和在時有極限.總和在時的極限即f(*)在區間a到b上的定積分，符號表示為2.性質 設f(*)，g(*)在a,b上可積，則有以下性質 (1) 積分的保序性 如果任意，則 特別地，如果任意則 (2) 積分的線性性質 特別地，有. 設f(*)在a,b上可積，且連續， (1)設c為a,b

2、區間中的一個常數，則滿足 實際上，將a,b,c三點互換位置，等式仍然成立. (4)存在，使得達布定理1.達布和分別以和表示函數f(*)在區間里的下確界及上確界并且做總和稱為f(*)相應于分割的達布上和，稱為f(*)相應于分割的達布下和特別地，當f(*)連續時，這些和就直接是相應于任意分割法的積分和的最小者和最大者，因為在這種情形下f(*)在沒一個區間上都可以到達其上下確界.回到一般情況，有上下界定義知道將這些不等式逐項各乘以(是正數)并依i求其總和，可以得到推論1 設f(*)在a,b上有界. 設有兩個分割，是在的根底上的加密分割，多加了k個新分店，則這里分別為f在a,b上的上、下確界.推論2

3、設f(*)在a,b上有界. 對于任意兩個分割，有達布定理定義 設f(*)在a,b上有界，定義稱為f(*)在a,b上的上積分，為f(*)在a,b上的下積分.定理 對于f(*)在a,b上的有界函數，則有3.函數可積分條件 設f(*)在a,b上有界，以下命題等價：(1)f(*)在a,b可積；(2)(3)對于a,b上的任何一個分割，；(4)任給，存在，對于a,b上的任何分割，當，有成立；任給，在a,b存在一個分割，當時有成立.這里為f(*)在區間上的振幅.微積分根本定理定理Newton-Leibniz公式 設f(*)在a,b上可積，且在a,b上有原函數F(*)，則注：1.f(*)是f(*) 的原函數，

4、故當時，該公式可寫為 2.上述定理并不是說可積函數一定有圓環數，而是說如果存在原函數，則可用來計算定積分的值.Newton-Leibniz公式把原先在復雜的定積分中的定義的積分值計算化為求原函數的問題，為普及微積分翻開了大門.定積分的計算除了利用Newton-Leibniz公式計算微積分外，還可以使用換元公式和分部積分計算微積分. 1 定積分中變量替換公式 設要計算積分，這里f(*)是在區間a,b內連續的. 令，函數具備以下條件：1函數在*一區間內有定義且連續，而其值當t在內變化時恒不越出區間a,b的*圍；23在區間有一連續函數.于是成立公式由于被積函數假設是連續的，不但這些定積分存在，同時其

5、相應不定積分也存在，并且在兩情形都可以用根本公式. 2 定積分的分部積分法 在不定積分局部曾經討論過公式這里假設以*為自變量的函數u，v以及其導函數u，v都是在考慮區間a,b里連續的. 則我們有定積分中值定理微分中值公式說明，函數值的差可以通過其導數值來表達和估算. 如果從微分運算的逆運算來認識積分運算，則就有相應的積分的中值公式：記F(*)=f(*)，即把F(*)看作是可積函數f(*)的原函數，則上述公式化為這一類公式稱之為積分中值公式，它顯示出一個函數的定積分可以通過其自身進展表達和估算. 上述公式的幾何意義可以從面積的意義來考察：設f(*)是a,b上的正值連續函數，則公式左邊的面積與右邊

6、表達式所代表的舉矩形面積相等，而矩形的高正是f(*) 在a,b上的積分平均值：1 定積分第一中值公式 設，且函數值不變號(即對一切).假設，且記，則存在:，使得(2) 假設，則存在，使得2 定積分第二中值公式 引理(Abel) 設有兩組數記，則推論 假設有，且，則有定理(Bonnet型) 設.假設f(*)是a,b上非負遞減函數，則存在，使得(2)假設f(*)是a,b上非負遞增函數，則存在，使得3 定積分第三中值公式定理(Weierstrassz型) 設f(*)在a,b上是單調函數，則存在，使得函數可積分的勒貝格定理定義 設A是實數集合，假設，對任意，存在至多可數的系列開區間，它是A的一個開覆蓋，并且，則稱A為零測度集或者零測集.定理 零測集性質如下：至多可數個零測集的并集是零