1、備戰2020中考數學之解密壓軸解答題命題規律專題01因動點產生的等腰三角形問題【類型綜述】數學因運動而充滿活力，數學因變化而精彩紛呈，動態幾何問題是近年來中考的熱點問題，以運動的觀點來探究幾何圖形的變化規律問題，動態問題的解答，一般要將動態問題轉化為靜態問題，抓住運動過程中的不變量，利用不變的關系和幾何性質建立關于方程（組）、函數關系問題，將幾何問題轉化為代數問題。在動態問題中，動點形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉、平移、對稱等幾何變化相結合，也可以與一次函數、反比例函數、二次函數的圖象相結合，從而產生數與形的完美結合.解決動點產生的等腰三角形問題的重點和難點在于應用分類討論思

2、想和數形結合思想進行準確的分類.【方法揭秘】我們先回顧兩個畫圖問題：1已知線段AB5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規畫圓，圓上除了兩個點以外，都是頂點C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算

3、哪些題目適合用幾何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是確定的，夾A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1，如果ABAC，直接列方程；如圖2，如果BABC，那么12ACABcosA；如圖3，如果CACB，那么12ABACcosA代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來【例1】拋物線yx2bxc與x軸交于A-1,0），B（5,0）兩點，頂點為C，對稱軸交x軸于點D，（圖1圖2圖3【典例分析】29點P為拋物線對稱軸CD上的一動點（點P

4、不與C,D重合）過點C作直線PB的垂線交PB于點E，交x軸于點F1求拋物線的解析式；2當VPCF的面積為5時，求點P的坐標；3eqoac(,當)PCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標思路點撥AB1把（-1,0），（5,0）代入函數,利用交點式求解即可.P2先求出點C，設點（2，m），然后得函數PB的表達式為：y1mx5m，根據CEPE，33，求出直線CE的表達式為yx2，聯立并解得：得故直線CE表達式中的k值為3m36mm，求出F2,0，利用VPCF的面積為5，求出m即可；x232m2m3y（x1）x-5x24x5x2x.222，3由點F的坐標得：CP2（2m），CF2（2m）4,PF2（

5、2m）m2分別算出CPCF，33CPPF，CFPF時的m即可.滿分解答21將拋物線化為交點式：y2x2bxc=（xh）xk99AB將（-1,0），（5,0）代入可得22281099999故拋物線解析式為y=-x2x2810999.C22拋物線的對稱軸為x1，則點（2，），P設點（2，m），將點P,B的坐標代入一次函數表達式：ysxt并解得：1函數PB的表達式為：ymx35m3，QCEPE故直線CE表達式中的k值為將點C的坐標代入一次函數表達式，3m，x2故點F2,0同理可得直線CE的表達式為：y2m聯立并解得：x232m33m6mPCDF（2m)225，SVPCF2m311223P2,3或2,

6、2解得：m5或3（舍去5），P故點（2,-3）;2考點伸展CP2（2m）2，CF2（2m）24,PF2（）2m2，第（3）問的解題過程是這樣的：由2確定的點F的坐標得：2m33CPCF時，即：2m4，解得當2m23m0：或365（均舍去），CPPF時，2m2m當2m232，解得：m32或3（舍去3），當CFPF時，同理可得：m2（舍去2），P2,或2,2故點32【例2】如圖1，拋物線yax2bxc經過A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點eq

7、oac(,M)，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時PAC的周長最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答所以點P的坐標為(1,2)圖2（3）點M的坐標為(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1,1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得m

8、6此時點M的坐標為(1,6)或(1,6)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3圖4圖5【例3】如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1用代數法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗2本題中等腰

9、三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起滿分解答（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2,y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得y23當P在(2,23)時，B、O、P三點共線（如圖2）當BPBO4時，BP216所以42(y23)216解得yy2312當PBPO時，PB2PO2所以42(y23)222y2解得y23綜合、，點P的坐標為(2,23)，如圖2所示由y3x(x4)(x2)2)，得拋物線的頂點為D(2,圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形323236633因此tanDOA233所以DOA30，ODA120【

10、例4】在平面直角坐標系xOy中，已知A(0,2)，動點P在y接AP，過點P作PQAP，交x軸于點Q，連接AQ33x的圖像上運動（不與O重合），連（1）求線段AP長度的取值范圍；（2）試問：點P運動過程中，QAP是否問定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由（3）當OPQ為等腰三角形時，求點Q的坐標思路點撥（1）作AHOP，由點P在y3x的圖像上知：HOQ30，求出AH，即可得解；3（2）當點P在第三象限時，當點P在第一象的線段OH上時，當點P在第一象限的線段OH的延長線上時，分別證明Q、P、O、A四點共圓，即可求得QAP=30；（3）分OPOQ，POPQ，QOQP三種情況，分別求解即可滿分

11、解答（1）作AHOP，則APAH點P在y3x的圖像上3HOQ30，HOA60A(0,2)，AHAOgsin603AP3（2）當點P在第三象限時，由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四點共圓，PAQPOQ30當點P在第一象的線段OH上時，（3）設P(m,33m6m)，則lAP：y2由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四點共圓，PAQPOQ180，又此時POQ150PAQ180POQ30當點P在第一象限的線段OH的延長線上時，由QPAQOA90，可得APQAOQ180，Q、P、O、A四點共圓，PAQPOQ3033mPQAP，k2PQ3mmlPQ：y3m23mQ(4m23,0)33(xm)m34

12、2162164OP2m，OQ2m3m39934242162164當POPQ時，則424244PQ2m3m993當OPOQ時，則mm3m3993整理得：m243m30解得：m233Q(234,0)，Q(234,0)1244mm3m3993整理得：2m23m30解得：m3或m32當m3時，Q點與O重合，舍去，2m3，Q(23,0)則16216442Q(23,0)33當QOQP時，44m3mm3m993993整理得：m23m0解得：m34【例5】如圖1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD邊上一點，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G

13、（1）求線段CE的長；（2）如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且DMNDAM，設AMx，DNy寫出y關于x的函數解析式，并求出y的最小值；是否存在這樣的點M，使VDMN是等腰三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由思路點撥1由翻折可知：ADAF10.DEEF，設ECx，則DEEF8x.在RtVECF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題2證明VADMVGMN，可得ADMGAMGN，由此即可解決問題有兩種情形：如圖31中，當MNMD時.如圖32中，當MNDN時，作MHDG于H.分別求解即可解決問題滿分解答（1）如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ADBC10，ABC

14、D8，BBCD90，由翻折可知：ADAF10DEEF，設ECx，則DEEF8x在RtVABF中，BFAF2AB26，CFBCBF1064，在RtVEFC中，則有：8x2x242，x3，EC3（2）如圖2中，ADCG，ADDE，CGCE105，CG3AD10CG6，BGBCCG16，在RtVABG中，AG8216285，在RtVDCG中，DG628210，ADDG10，DAGAGD，DMGDMNNMGDAMADM，DMNDAM，ADMNMG，VADMVGMN，AM，MGGNx，85x10yy145x2x10105當x45時，y有最小值，最小值2存在有兩種情形：如圖3-1中，當MNMD時，DMMD

15、NGMD，DMNDGM，VDMNVDGM，MN，DGGMMNDM，DGGM10，xAM8510如圖3-2中，當MNDN時，作MHDG于HMNDN，MDNDMN，DMNDGM，MDGMGD，MDMG，BHDG，由VGHMVGBA，可得GH5DHGH5，MG，GBAGMG，1685MG552，xAM855511522綜上所述，滿足條件的x的值為8510或1152【例6】如圖1，已知eqoac(,Rt)ABC中，C90，AC8，BC6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從ABC方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（1）在運動過程中，求P、Q兩點

16、間距離的最大值；（2）經過t秒的運動，求ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數關系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間eqoac(,t)，使得PQC為等腰三角形若存在，求出此時的t值，若（不存在，請說明理由52.24，結果保留一位小數）圖1思路點撥1過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值2線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上3等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長滿分解答圖2圖3圖4（2）如圖2，當點Q在AB上時，0t5，SABD15)2所以Seqoac(,S)AQP15()2t2由AQPABD，得eqoac(,S)AQPeqo

17、ac(,S)ABD(APADt355因為eqoac(,S)CQPCQCP(162t)(8t)(t8)2，如圖3，當點Q在BC上時，5t8，eqoac(,S)ABC241122所以Seqoac(,S)ABCeqoac(,S)CQP24(t8)2t216t40（3）如圖3，當點Q在BC上時，CQ2CP，Ceqoac(,90)，所以PQC不可能成為等腰三角形當點Q在AB上時，我們先用eqoac(,t)表示PQC的三邊長：易知CP8t所以QPQPAPQPt如圖2，由QP/BD，得，即BDAD355355t如圖4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQsinAt，AHt6在eqoac(,Rt)CQH中，

18、由勾股定理，得CQQH2CH2(t)2(8t)26855855如圖8，當點Q在AB上時，PQQH2PH2(t)2(tt)26圖5圖6圖7考點伸展第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數計算說理的方法：855355t當Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為35如圖9，當點Q在BC上時，PQCQ2CP2(2CP)2CP25(8t)當Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為35綜上所述，PQ的最大值為35圖8圖9【變式訓練】1矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知B(23,2)，點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P

19、作PDPC，交x軸于點D下列結論：OABC23；當點D運動到OA的中點處時，PC2PD27；在運動過程中，CDP是一個定值；當ODP為等腰三角形時，點D的坐標為,0其中正確結論的個數是（233）A1個B2個C3個D4個【答案】D【詳解】解：四邊形OABC是矩形，B(23,2)，OABC23；故正確；點D為OA的中點，1ODOA3，22PC2PD2CD2OC2OD222（3）7，故正確；如圖，過點P作PFOAA于F，FP的延長線交BC于E，PEBC，四邊形OFEC是矩形，EFOC2，2設PEa，則PFEFPEa，BE在RtBEP中，tanCBOPEBE3PE3a，OC3BC3，CEBCBE233

20、a3(2a)，QPDPC，CPEFPD90，QCPEPCE90，FPDECP,，QCEPPFD90，CEPPFD，PECP，FDPDa3(2a)FD2a，FDa3，tanPDCPCPDa3a，3PDC60，故正確；QB(23,2)，四邊形OABC是矩形，OA23,AB2，QtanAOBAB3OA3，OD3AOB30，當ODP為等腰三角形時，、ODPD，DOPDPO30o，ODP60o，ODC60o，23OC33、OPODODPOPD75o，QCODCPD90o，OCP105o90o，故不合題意舍去；、OPPD，PODPDO30o，OCP150o90o故不合題意舍去，233,0當ODP為等腰三角

21、形時，點D的坐標為故正確，故選：D2如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一點，且AB4，EF2，設AEx當VPEF是等腰三角形時，下列關于P點個數的說法中，一定正確的是（）當x0（即E、A兩點重合）時，P點有6個當0 x422時，P點最多有9個當P點有8個時，x222當VPEF是等邊三角形時，P點有4個A【答案】B【詳解】BCD當x0(即E、A兩點重合)時，如圖1，分別以A、F為圓心，2為半徑畫圓，各2個點P，以AF為直徑作圓，有2個P點，共6個，所以，正確；當0 x422時，如圖2、圖3所示，此時P點最多有8個，故錯誤；當點P有8個時，如圖2、圖3

22、所示，此時0 x422，故錯誤；如圖eqoac(,4)，當PEF是等邊三角形時，有兩個P點關于BD對稱的位置，共有4個，故正確；綜上，不正確的是，一定正確的是，故選B.3如圖，在矩形ABCD中，AD3AB310，點P是AD的中點，點E在BC上，CE2BE，點M、N在線段BD上若PMN是等腰三角形且底角與DEC相等，則MN_【答案】6或158【詳解】分兩種情況：MN為等腰PMN的底邊時，作PFMN于F，如圖所示：則PFMPFN90，Q四邊形ABCD是矩形，ABCD，BCAD3AB310，AC90，ABCD10，BDQ點P是AD的中點，AB2AD210，PD1AD31022，PFPD，即PF2，Q

23、PDFBDA，PDF:BDA，310ABBD1010解得：PF32，NFQCE2BE，BCAD3BE，BECD，CE2CD，QPMN是等腰三角形且底角與DEC相等，PFMN，MFNF，PNFDEC，QPFNC90，PNF:DEC，CE2，PFCDNF2PF3，MN2NF6；MN為等腰PMN的腰時，作PFBD于F，如圖所示，由得：PF3，MF3，2設MNPNx，則FN3x，RtVPNF中，(3x)2x2，在322解得：x1515，即MN，88綜上所述，MN的長為6或158.4如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO,CO分別在x軸，y軸上，A點的坐標為(8,6)，點P在矩形ABOC的內部，點

24、E在BO邊上，滿足PBECBO，當APC是等腰三角形時，P點坐標為_，)或(4，326【答案】(553)PE【詳解】解：點P在矩形ABOC的內部，且APC是等腰三角形，P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，如圖1所示：PEBO，COBO，PE/CO，PBECBO，四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為(8,6)，點P橫坐標為4，OC6，BO8，BE4，PBECBO，BEPE4，即，COBO68解得：PE3，點P(4,3)；P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，過點P作PE

25、BO于E，如圖2所示：COBO，PE/CO，PBECBO，四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為(-8,6)，ACBO8，CP8，ABOC6，BCBO20C2826210，BP2，PBECBO，PEBEBPPEBE2，即：，COBOBC6810點P(，)；綜上所述：點P的坐標為：(，)或(4，；326故答案為：(，)或(4，32668解得：PE，BE，55832OE8，55326553)553)55）5在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），點B（5，0，有一動點P在直線AB上，APO是等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A2個B3個C4個D5個【答案】C【詳解】如圖，（1）AP1=AO；（

26、2）AP2=AO；（3）OA=OP3；（4）AP4=OP4.因此，滿足條件的點P共有4個.故選C.。6如圖，點A、B、P在O上，且APB=50若點M是O上的動點，要使ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點M有()A1個B2個C3個D4個【答案】D【詳解】類推論：當MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點，這時兩個等腰三角形的頂角分別為50，130；當AM=AB，以A為圓心，AB為半徑交O于M，此時等腰三角形只有一個，且底角為50；同理當BM=BA，滿足條件的等腰三角形也只有一個eqoac(,解：)ABM為等腰三角形，當MA=MB，則M為AB的垂直平分與圓的兩交點，這時兩個等腰三角形的頂角分

27、別為50，130，如圖；當AM=AB，以A為圓心，AB為半徑交O于M，此時等腰三角形只有一個，且底角為50；同理當BM=BA，滿足條件的等腰三角形也只有一個，如圖，所以滿足條件的等腰三角形有4個故選D，7如圖，AB是O的直徑，BC是弦，AB10cm，BC6cm若點P是直徑AB上一動點，當VPBC是等腰三角形時，AP_cm【答案】2.8、4或5【詳解】解：B為頂點即BCBP時，APABAP，11106，4C為頂點即CPCB時，RtVBAC中：ACAB2BC28，VABC1S1ACBCABCD，22CD4.8，BDBC2CD23.6，APABBPAB2BD2.822P為頂點即CPBP時，P與D重合

28、，APr53綜上AP為2.8，4或5cm故答案為：2.8，4或5cm8如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），AON30，當A_時，AOP為等腰三角形【答案】30或75或120【詳解】試題解析：當點O為等腰三角形頂點時，A=75，當點A為等腰三角形頂點時，A=120，當點P為頂點時，A=30，故答案為30或75或1209如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個恰動點，把EBF沿EF折疊，點B落在B處，若CDB為等腰三角形，則DB的長為.【答案】16或4.【詳解】（1）當BD=BC時，過B點作GHAD，則BGE=90，當

29、BC=BD時，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13由翻折的性質，得BE=BE=13，EG=AGAE=83=5，BG=12，BH=GHBG=1612=4，DB=；（2）當DB=CD時，則DB=16（易知點F在BC上且不與點C、B重合）；（3）當CB=CD時，EB=EB，CB=CB，點E、C在BB的垂直平分線上，EC垂直平分BB，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去綜上所述，DB的長為16或故答案為：16或10如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（5，4），點P為線段BC上動點，當POA為等腰三角形時，點p坐標為_【答案】（25，4

30、），（3，4），（2，4）【詳解】當PA=PO時，P在OA的垂直平分線上，P的坐標是（25，4）；當OP=OA=5時，由勾股定理得：CP=OP2CP2=3，P的坐標是（3，4）；當AP=AO=5時，同理BP=3，CP=5-3=2，P的坐標是（2，4）11在RtABC中，ACB=90，AC=12點D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點分別為F，G（1）如圖，點D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形若點G為DE的中點，求FG的長若DG=GF，求BC的長（2）已知BC=9，是否存在點D，使得DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由【答

31、案】（1）,12；（2）等腰的腰長為4或20或或理由見解析.【詳解】（1）在正方形在中，中，,如圖1中，正方形中，設，在中，解得，在中，（2）在如圖2中，中，當點在線段，設，則上時，此時只有，則，整理得：，解得腰長或5（舍棄）如圖3中，當點在線段，的延長線上，且直線，的交點中上方時，此時只有，設，則，解得腰長或（舍棄），如圖4中，當點在線段設，則的延長線上，且直線，的交點中，下方時，此時只有，過點作，解得或（舍棄）腰長，如圖5中，當點在線段的延長線上時，此時只有，作于設，則，解得或（舍棄），腰長，綜上所述，等腰的腰長為4或20或或12在ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個

32、動點（點P不與點A，O，C重合）過點A，點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連接OE，OF（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數量關系；（2）如圖2，當ABC=90時，請判斷線段OE與OF之間的數量關系和位置關系，并說明理由（3）若|CFAE|=2，EF=23，當POF為等腰三角形時，請直接寫出線段OP的長【答案】（1）OF=OE；（2）OFEK，OF=OE，理由見解析；（3）OP的長為62或【詳解】（1）如圖1中，延長EO交CF于K，233.AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO，OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK，EFK是直角三角形，OF=12EK=OE

33、；（2）如圖2中，延長EO交CF于K，ABC=AEB=CFB=90，ABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，AB=BCeqoac(,，)ABEBCF，BE=CF，AE=BF，AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK=EF，EFK是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE；（3）如圖3中，點P在線段AO上，延長EO交CF于K，作PHOF于H，|CFAE|=2，EF=23，AE=CK，FK=2，在eqoac(,Rt)EFK中，tanFEK=33，FEK=30，EKF=60，EK=2FK=4，OF=12EK=2，OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，在eqoac(,

34、Rt)PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=23，OP=1223262.OP=3如圖4中，點P在線段OC上，當PO=PF時，POF=PFO=30，BOP=90，23OE=，33綜上所述：OP的長為62或233.13如圖1，拋物線y原拋物線相交于點D316x2平移后過點A（8，,0）和原點，頂點為B，對稱軸與x軸相交于點C，與（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S陰影；（2）如圖2，直線AB與y軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，PMN為直角，邊MN與AP相交于點N，設OMt，試探求：t為何值時MAN為等腰三角形；為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少16=12；（

35、2）t【答案】（1）平移后拋物線的解析式y15小值為23x2bx，92，當3時，PN取最【詳解】（1）設平移后拋物線的解析式y316x2bx，將點A（8，,0）代入，得y333x2x=(x4)23，162168mn0mn6所以頂點B（4,3），所以S陰影=OCCB=12；（2）設直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得3，解得：4，4mn33所以直線AB的解析式為yx6，作NQ垂直于x軸于點Q，48t243t當MNAN時，N點的橫坐標為，縱坐標為，28243t8t2，解得t,8（舍去）.2NQMQ由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得OMOP8t6938t，AQ4

36、8tMQ當AMAN時，AN8t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ8t555，3NQMQ8t5，t68t由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：5OMOP解得：t12（舍去）；當MNMA時，MNAMAN45故AMN是鈍角，顯然不成立,故t92；得點N的橫坐標為XN=，即t2xNt+36xN=0，tt2由MN所在直線方程為y=x，與直線AB的解析式y=x+6聯立，66722t292tx）0，得xN6或xN14，由判別式=xeqoac(,2N)4（3692N又因為0 xN8，所以xN的最小值為6，此時t=3，當t=3時，N的坐標為（6，），此時PN取最小值為15214如圖，在平面直角坐標系中

37、，拋物線y=ax2+bx2與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，2），OB=4OA，tanBCO=2（1）求A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）點M、N分別是線段BC、AB上的動點，點M從點B出發以每秒5個單位的速度向點C運動，同2時點N從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，當點M、N中的一點到達終點時，兩點同時停止運t動過點M作MPx軸于點E，交拋物線于點P設點M、點N的運動時間為（s），當t為多少時，PNE是等腰三角形？【答案】（1）A（1，0）；（2）y=12x232x2；（3）當t=1eqoac(,時，)PNE是等腰三角形【詳解】（1）C（0，2）

38、，OC=2，由tanBCO=OCOB=2得OB=4，16a4b2023則點B（4，0），OB=4OA，OA=1，則A（1，0）；（2）將點A（1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx2，ab20得：，1a解得：，b2拋物線解析式為y=123x2x2；2（3）設點M、點N的運動時間為t（s），則AN=2t、BM=PEx軸，PEOC，BME=BCO，5t，2則tanBME=tanBCO，即BEME=2，BEBE22=，即5=，tBM552則BE=t，OE=OBBE=4t，PE=1133（4t）2（4t）2=（4t）2+（4t）+2，22225點N在點E左側時，即1+2t4t，解得t，3此時NE=

39、AO+OEAN=1+4t2t=53t，PNE是等腰三角形，PE=NE，即123（4t）2+（4t）+2=53t，2整理，得：t211t+10=0，解得：t=1或t=1053（舍）；當點N在點E右側時，即1+2t4t，解得t又5t25且2t5，255t，32此時NE=ANAOOE=2t1（4t）=3t5，13由PE=NE得（4t）2+（4t）+2=3t5，22整理，得：t2+t10=0，53，解得：t=-1-412-1+4150，舍去；或t=，舍去；22綜上，當t=1eqoac(,時，)PNE是等腰三角形15拋物線y=6623x2x+6與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D

40、3是該拋物線的頂點（1）如圖1，連接CD，求線段CD的長；（2）如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PFx軸于點F，PF與線段AC交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應線段是O1B1，當PE+12EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應的點O1的坐標；（3）如圖3，點H是線段AB的中點，連接eqoac(,CH)，將OBC沿直線CH翻折至eqoac(,O)2B2C的位置，再將eqoac(,O)2B2C繞點B2旋轉一周在旋轉過程中，點O2，C的對應點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交于點M，eqoac(,N)那么，在O2B2C的整個旋轉過程中

41、，是否存在恰當的位置，使AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長；若不存在，請說明理由；（2）26+33（3），O2M的長或6或22+6或226【答案】（1）26633【詳解】（1）如圖1，過點D作DKy軸于K，當x=0時，y=6，C（0，6），x2x+6=-（x2)2，y=6623646363D（-2，463），DK=2，CK=46CD=DK2CK2（2）2+(66-6=，3326)233；（2）在y=-623623x2x+6中，令y=0，則-x2x+6=0，3663解得：x1=-32，x2=2，A（-32，0），B（2，0），C（0，6），易得直線AC

42、的解析式為：y=3x+6，3設E（x，33x+6），P（x，-6623，x2x+6）3PF=-66233x2x+6，EF=x+6，33RtACO中，AO=32，OC=6，AC=26，CAO=30，AE=2EF=23x+26，3PE+1262331EC=（-x2x+6）-（x+6）+（AC-AE），633223=-=-6666123x2-3x+26-（x+26），3x2-3x-x，3=-646（x+22）2+，63當PE+12EC的值最大時，x=-22，此時P（-22，6），PC=22，O1B1=OB=2，要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，如圖2，將點P向右平移2個單位

43、長度得點P1（-2，6），連接P1B1，則PO1=P1B1，再作點P1關于x軸的對稱點P2（-2，-6），則P1B1=P2B1，PO1+B1C=P2B1+B1C，連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，B1（-22，0），將B1向左平移2個單位長度即得點O1，此時PO1+B1C=P2C=(26)2(2)2=26，對應的點O1的坐標為（-322，0），四邊形PO1B1C周長的最小值為26+32；（3）O2M的長度為理由是：如圖3，63或6或22+6或22-6H是AB的中點，OH=2，OC=6，CH=BC=22，HCO=BCO=30，ACO=60，將CO沿CH對折后落在直線A

44、C上，即O2在AC上，B2CA=CAB=30，B2CAB，B2（-22，6），如圖4，AN=MN，MAN=AMN=30=O2B2O3，由旋轉得：CB2C1=O2B2O3=30，B2C=B2C1，B2CC1=B2C1C=75，過C1作C1EB2C于E，B2C=B2C1=22，C1E2=B2O2，B2E=6，O2MB2=B2MO3=75=B2CC1，B2O2M=C1EC=90，eqoac(,C)1eqoac(,EC)B2O2M，O2M=CE=B2C-B2E=22-6；如圖5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=6，如圖6，AM=MN，O2M=1AO2=；B2C=B2C1=22=B2H，即N

45、和H、C1重合，CAO=AHM=MHO2=30，633如圖7，AN=MN，過C1作C1EAC于E，NMA=NAM=30，O3C1B2=30=O3MA，C1B2AC，C1B2O2=AO2B2=90，C1EC=90，四邊形C1EO2B2是矩形，EO2=C1B2=22，C1EB2O22，EM=6，O2M=EO2+EM=22+6，綜上所述，O2M的長是63或6或22+6或2263316如圖：一次函數yx3的圖象與坐標軸交于A、B兩點，點P是函數yx3（0 x4）圖象44上任意一點，過點P作PMy軸于點M，連接OP.（1）當AP為何值時，OPM的面積最大？并求出最大值；（2）當BOP為等腰三角形時，試確

46、定點P的坐標.【答案】（1）AP=54123；（2）點P的坐標為(，)或(2，)5252【詳解】（1）令點P的坐標為P(x0，y0)QPMy軸，S112OMPMOPM2x0y0OPMxx3x4xx22將yx3代入得S4020408821333330000當x02時，OPM的面積，有最大值Smax32，即：PM2，PM/OB，APPMABOB即APABPMOBQ直線AB分別交兩坐標軸于點A、B，A0,3，B4,0，OA3，OB4，AB5，AP52；QPM/OB，（2）在BOP中，當BOBP時BPBO4，AP11APPMABOB4MP，54312將MP代入代入yx3中，得OM545412P(，)；

47、155在BOP中，當OPBP時，如圖，過點P作PNOB于點NQOPBP，1ONOB2233將ON2代入yx3中得，NP42點P的坐標為P2,，)或2,32123即：點P的坐標為(4，52517已知拋物線F：yx2+bx+c的圖象經過坐標原點O，且與x軸另一交點為（33，0）（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖1，直線l：y33x+m（m0）與拋物線F相交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（點A在第二象限），求y2y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m43，設點A是點A關于原點O的對稱點，如圖2判斷eqoac(,AA)B的形狀，并說明理由；平面內是否存在點P，使得以點A、B、

48、A、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由x；2）y2y13m（m0）；（3）等邊三角形；點P的坐標為（23，）、（【答案】1）yx233（223310）和（23，23333【詳解】，2）c0(1)拋物線yx2+bx+c的圖象經過點(0，0)和(33c03b13，解得：3，bc033，0)，拋物線F的解析式為yx233x；(2)將y33x+m代入yx2x，得：x2m，33解得：x1m，x2m，3mm，y23mm，y11133y2y1(1123mm)(3mm)3m(m0)；333(3)m4，)，點B的坐標為(23223，點A的坐標為(3333，2)，)；A(2322

49、3，)，B(，)，AA=，33333點A是點A關于原點O的對稱點，點A的坐標為(AAB為等邊三角形，理由如下：232，2)，A(3333323232222823233282AB=3332323223，2283323AB=，3x23x(i)當AB為對角線時，有，解得：2，y2y323232AAABAB，AAB為等邊三角形；AAB為等邊三角形，存在符合題意的點P，且以點A、B、A、P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為(x，y)23232333332點P的坐標為(23，)；32323xx(ii)當AB為對角線時，有，解得：y222y1033310點P的坐標為(23，)；33，23x3(iii)當

50、AA為對角線時，有y2223323x，解得：3，y2點P的坐標為(233，2)2綜上所述：平面內存在點P，使得以點A、B、A、P為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標為(23，)、310)和(23，23333，2)18已知一次函數ykxb的圖象與反比例函數ym的圖象交于點A，與x軸交于點B(5,0)，若xOBAB，且S2OAB15.（1）求反比例函數與一次函數的表達式；（2）若點P為x軸上一點，ABP是等腰三角形，求點P的坐標.，yx；（2）P(0,0)、P(10,0)，P(13,0)，P,0 x4448【答案】（l）y2731565123【詳解】（l）過點A作ADx軸于點DSOAB1521115O

51、BAD5AD222AD3B(5,0)ABOB5在RtABD中，BDOD9A(9,3)AB2AD252324ymm經過點A3m27x9反比例函數表達式為y27x49kb3b155kb0一次函數表達式為y3ykxb經過點A，點B3k解得415x44（2）本題分三種情況12當以AB為腰，且點B為頂角頂點時，可得點P的坐標為P(0,0)、P(10,0)3當以AB為腰，且以點A為頂角頂點時，點B關于AD的對稱點即為所求的點P(13,0)44當以AB為底時，作線段AB的中垂線交x軸于點P，交AB于點E，則點P即為所求4由（1）得，C0,15在RtOBC中，BCOC2OB2521524254254254BC

52、BPcosABP4cosOBC54BEOB252565BPOP5BP48884P465,0819如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C0,2，點A的坐標是2,0，P為拋物線上的一個動點，過點P作PDx軸于點D，交直線BC于點E，拋物線的對稱軸是直線x1.（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點P在第二象限內，且PE14OD，求PBE的面積PBE；（3）存在，M55428將點C(0，-2)代入得：8a2，解得：a1（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的下方，是否存在點M，使BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由11520255【答案】

53、（1）yx2x2；（2）S,【詳解】(1)點A的坐標是2,0，拋物線的對稱軸是直線x1，則點B4,0，所以設函數的表達式為：yax2x4ax22x8，4，4x2故拋物線的表達式為：y112x2；n2(2)設直線BC的解析式為y=mx+n，4mn0將點B(-4，0)、C(0，-2)分別代入得，解得：m12，2x2，n2所以直線BC的表達式為：y1設點Dx,0，則OD=-x，點Px,4x21112x2，點Ex,2x2，PE=122x2x24x2x，4x11124OD，PE14x2x=1x4，解得：x0或x=-5(舍去x0)，點D5,0，PE=54，BD=-4-(-5)=1，S11552PEBD1P

54、BE248；(3)由題意得：在x軸下方，BDM是以BD為腰的等腰三角形，只存在：BDBM的情況，BM=BD=1，B(-4，0)、C(0，-2)，OB=4，OC=2，BOC=90，BC=OB2OC2=5，sinABCOCBC1555，設M的坐標為(xM，yM)，BMsinABC15則yM555，則x5M2025，M55故點20255,.20AB與O相切于點A，直線l與O相離，OBl于點B，且OB5，OB與O交于點P，AP的延長線交直線l于點C（1）求證：ABBC；（2）若O的半徑為3，求線段AP的長；（3）若在O上存在點G，使GBC是以BC為底邊的等腰三角形，求O的半徑r的取值范圍【答案】（1）

55、見解析；（2）AP655；（3）O的半徑r的取值范圍為：5r5【詳解】（1）證明：如圖1，連接OA，AB與O相切，OAB90，OAPBAC90，OBl，BCABPC90，OAOP，OAPOPABPC，BACBCA，ABBC；（2）解：如圖1，連接AO并延長交O于D，連接PD，則APD90o，OB5，OP3，PB2，BCAB0B2OA24，在RtPBC中，PCPB2BC225，DAPCPB，APDPBC90，VDAPVPBC，APADAP6，即，PBPC225解得，AP655；則OE1（3）解：如圖2，作BC的垂直平分線MN，作OEMN于E，11BCAB52r2，222由題意得，O于MN有交點，

56、1OEr，即52r2r，2解得，r5，直線l與O相離，r5，則使GBC是以BC為底邊的等腰三角形，O的半徑r的取值范圍為：5r521已知在平面直角坐標系xOy中，直線l分別交x軸和y軸于點A3,0,B0,3.1(1)如圖1，已知eP經過點O，且與直線l相切于點B，求eP的直徑長；1(2)如圖2，已知直線l:y3x3分別交x軸和y軸于點C和點D，點Q是直線l上的一個動點，以Q為22圓心，22為半徑畫圓.當點Q與點C重合時，求證:直線l1與eQ相切；設eQ與直線l1相交于M,N兩點，連結QM,QN.問:是否存在這樣的點Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)eP的直徑長為32；(2)見解析；存在這樣的點Q(32,632)和1Q(32,632)，使得QMN是等腰直角三角形.2【詳解】（1）如圖3，連接BC，BOC=90，點P在BC上，P與直線l1相切于點B，ABC=90，而OA=OB，ABC為等腰直角三角形，則P的直徑長=BC=AB=32(2)如圖4過點C作CEAB于點E，圖4將y0代入y3x3，得x1，點C的坐標為1,0.AC4，CAE45，CE2AC22.2點Q與點C重合，又eQ的半徑為22，直線l1與eQ相切.假設存在這樣的點Q，使得QMN是等腰直角三角形，直線l1經過點A3,0,B0,3，l的函數解析式為y=x+3.記直