1、112 余弦定理授課類型： 習題課【教學目標】1 把握余弦定理的推導過程,熟識余弦定理的變形用法；2 較嫻熟應用余弦定理及其變式,會解三角形,判定三角形的外形；【教學重、難點】重點：嫻熟應用余弦定理；難點：解三角形,判定三角形的外形；【教學過程】【學問梳理】1.余弦定理：1形式一：a2b2c22 bccosA；b2a2c22 accosB；c2a2b22 abcosC.形式二：cosAb2c2a2；2 bccosBa2c2b2；2 accosCa2b2c2.（角到邊的轉換）2ab2.解決以下兩類問題：1）、已知三邊,求三個角； （唯獨解）2）、已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角；（唯獨

2、解）2 2 2a b c A 是直角 ABC是直角三角形3.三角形 ABC中 a 22 b2 2 c 22 A 是鈍角 ABC是鈍角三角形a b c A 是銳角 ABC是銳角三角形4.解決以下兩類問題：1）、已知三邊,求三個角； （唯獨解）2）、已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角；（唯獨解）【典例應用】題型一 依據三角形的三邊關系求角例 1已知 ABC中,sinAsinBsinC 3 1 3 110 ,求最大角 . 解： a sinA b sinB c sinCksinAsinBsinCabc 3 +1 3 110 設 a 3 1k,b 3 1k,c10 k k0就最大角為a2b2c2

3、 2ab 3 12 3 122 3 1 3 1 10 21 2C120 .評析：在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時,運用了正弦定理的變形式：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,這一轉化技巧,應嫻熟把握 .在三角形中,大邊對大角,所以角 C最大；變式訓練 1在 ABC中,如abcbca3 bc,就 A 6002A900B600C1350D1500解：abc bca3 bc bc2a23 bc ,c2a21,Ab22 ca23 bc ,cosAb2bc2答案： B題型二：題型二已知三角形的兩邊及夾角解三角形x223x20的兩根,例 2.在 ABC 中, BC =a , AC =b

4、,且 a , b 是方程2cosAB1；（1） 求角 C的度數；（2） 求 AB 的長；（3）求 ABC的面積；評析：在余弦定理的應用中,留意與一元二次方程中韋達定理的應用；方程的 根往往不必直接求出,要充分利用兩根之和與兩根之差的特點；變式訓練 1 在 ABC中,Ao 60 ,AC16,面積S2203,求BC的長2. 鈍角 ABC的三邊長為連續的自然數,求三邊的長；題型三：判定三角形的外形例 3.在ABC 中,如b2sin2C2 csin2B2 bccosBcos C ,試判定ABC 的外形 .解： 方法一 ：由正弦定理和已知條件得：sin2Bsin2Csin2Csin2B2sinBsinC

5、cosBcosC , sinBsinC0, sinBsinCcos cos C ,即 cosBC0,B、C為ABC 的內角, BC90o ,A90o故ABC 為直角三角形 .方法二：原等式變形為：b21 cos2Cc212 cosB2 bccosBcosC ,即：2 bc2b22 cosCc22 cosB2 bccosBcosC ,由余弦定理得：b2bc2b2a22 bc22c2a2cc2b222bca22 cb2a2b2c22ab2ac2ac2 ab故2c2a2b2c2a22b222 bc2a24a2ABC 為直角三角形 .評述：判定三角形的外形,一般是從題設條件動身,依據正弦定理、余弦定理

6、進行邊角變換, 全化為邊的關系或全化為角的關系,系,然后利用平面幾何學問即可判定三角形的外形；變式訓練 2導出邊或角的某種特別關1.在 ABC中,如 2cosBsinA=sinC,就 ABC的外形肯定是（）D.等邊三角形A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形解：由 2cosBsinA=sinC得a2c2b2a=c,a=b.ac答案： C2. 在ABC 中, bcosAacosB,就三角形為（）c2b2D. 等邊三角形A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 等腰三角形解：由余弦定理可將原等式化為：bb2c2a2a a22bc2ac即2b22a2,ab答案： C典例訓練 1在 ABC中,如C

7、900,a6,B300,就cb等于（）A1B1C23D232如 A 為 ABC的內角,就以下函數中肯定取正值的是（）AsinABcosACtanAD1Atan3在 ABC中,角A B 均為銳角,且cosAsinB,就 ABC的外形是（A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3 ,這條高與底邊的夾角為0 60 ,就底邊長為（A 2B3C 3D2325在 ABC 中,如b2asinB,就 A 等于（）A0 30 或600B0 45 或600C0 120 或600D0 30 或15006邊長為 5,7,8 的三角形的最大角與最小角的和是（）A900B1200C1350D15007.在 ABC中,如acosAbcosBccosC,就 ABC的外形是什么8在 ABC中,求證：abc cosBcosA