1、3-5傅里葉變換的基本性質傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉換關系。在實際信號分析中，經常需 要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質，并說明其應用。一、線性傅里葉變換是一種線性運算。若af (t) + bf (t) aF (沁)+ bF (加)(3-55)1212其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質求單位階躍信號的頻譜函數(shù)F(j)。1 1f (t) = U (t) = - + -sgn(t)A A由式(3-55)得F(j)=C U(t)= -Q U+ -Q 4gn(t

2、)= - X 2k8()+ - X =兀8 ()+ 土2222 jj二、對稱性F ( jt) 2 寸()(3-56)證明因為1f (t)=i F (jo)ejotdo2兀-82時(t) = i8 F(jo)ejotdo-82評(-t) = i8 F(jo)e-jotdo-8將上式中變量換為X，積分結果不變，即2兀f (-t) = i8 F(jx)e-jxtdx-8再將t用代之，上述關系依然成立，即2評(-o) = i8 F(jx)e-joxdx-8最后再將X用t代替，則得2酒 (-o)=卜 f(jt)e -jotdt =匚 F(jt)一3所以證畢若f (t)是一個偶函數(shù)，即f (-t)= f

3、(t)，相應有f (-O)= f (O)，則式(3-56)成為(3-57)可見，傅里葉變換之間存在著對稱關系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互 相置換的關系，其幅度之比為常數(shù)2兀。式中的-0表示頻譜函數(shù)坐標軸必須正負對調。例如f (t) = 8 (t) F (jo) = 1F (jt) = 1 2& ()=2航()例3-7若信號f (t)的傅里葉變換為2nA F (加=T /2|t| T /2解將F(j3)中的換成t，并考慮F (沁)為的實函數(shù)，有12兀AF (jt) = F (t) = 0該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為根據(jù)對稱性 、，T、f (-)=At Sa (-)A再將f

4、(f)中的-3換成t，則得f (t ) = ATf (t)為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。O三、折疊性則f (t)為實函數(shù)f (t朋虛函數(shù)3 58四、尺度變換性觀看動畫若“，、 I，、”， 一 、，f (at) F(j) (a為大于零的實常魏(3-59)a a證明因a0,由匚f (at)=廣 f (at)e-jdt-s令X = at，則故=adt，代入前式，可得其(X)=8 f (X)e - jX / a d =1F (j -)證畢, 3、F (j)而 a則表示_sa a a函數(shù)f (at)表示f (t)沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)a倍,F(沁)沿頻率軸擴展(或頻率尺度壓縮)a倍。

5、該性質反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好 等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8已知(E|t| c/4，求頻譜函數(shù)F(沁)。解前面已討論了的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性此其頻譜函數(shù)E|t|T/2F0（沁）=ETSa （耳）A信號f比f0(t)的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因F （沁）=2= Et Sa（號）兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。AE_f （t）-t/4 0 t/4五、時移性若f （t）F （加）則f （t + tI F （加）e土 J%（3-60）此性質可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域f (t)平移時間10，則其頻譜

6、函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變310f() = q例3-9求00 t T1 T的頻譜函數(shù)F(加)。解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有F(沁)=E Sa(竺)e-加/2t 2六、頻移性若則f (t)e土沖 I F j婦+(3-61)上(t )e 土汕J-8證明f (t)e土j30te-jgdt = J8 f (t)e-j(+0)tdt = Fj(3 + 3 )-80證畢頻移性說明若信號f (t)乘以ej30，相當于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以e 土 J33，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移30，亦即整個頻譜相應地搬移了30位置。頻譜搬移技術在通信系統(tǒng)得到了廣泛應用，

7、諸如調幅、同步解調、變頻等過程都是在頻 譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號f (t)乘以所謂載頻信號C0S3 0t或sin 3 tf (t)1 cos 3 t I 2F j (3+ 3 )+ Fj(3-3 )Df (t) sin 3 t I 2 F j(3+3 )- F j(3-3 )七、時域微分性若f (t) F (加)則d n f (t)z一7- ( j)n F( j)(3-62)dt n證明 因為f (t) = F (gegds 2兀_8兩邊對t求導數(shù)，得) =卜 jsF (j)ejstds dt2兀一;所以df (t)(j)F (jW)dt同理，可推出dnf (t) ( j

8、W ) n Fj )證畢dtn例3-10求f (t) =8 (n)(t)的頻譜函數(shù)F(加)。解：因為8 (t) 1由時域微分性F (j)=(jo)n例3-11圖3-22所示信號f (t)為三角形函數(shù)it 1T0klT求其頻譜函數(shù)F (加)。解：將f微分兩次后，得到圖3-22(c)所示函數(shù)，其表達式為 TOC o 1-5 h z 1 c2c1 Cf (t) = _8 (t +T )8 (t) + _8 (t-T )TTT由微分性匚 f (t) = (jo) 2 f (t) =1 (ejT - 2 + e -迎)=2 Rs ot -1TT所以匚f t)= 2(cos OT -1) t sin 2

9、(ot / 2)(T /2)2T、= TSa 2(項)(1/T十方/T )-0t(-2/ T )(c)八、頻域微分性若則f (t)F (jo)tnf (t) f ( j ) ndnF ( j )如n(3-63)例3-12求f (t)=們(t)的頻譜函數(shù)F(加)。解：因為U (t) f 航() + j根據(jù)頻域微分性tU(t) f jg 疝() + = j疝()-dj九、時域積分性f (t) f F (j)(3-64)jt f (t)dt f F (j) +兀F (0)8 ()-8j例3-13根據(jù)8 (t) f 1和積分性求f (t) = U(t)的頻譜函數(shù)。解：因為8 (t) f 1U (t)

10、= jt 8 (x)dx-8根據(jù)時域積分性U (t) f + 兀8 ()j例3-14求圖3-23所示信號f (t)的頻譜函數(shù)F(j)。解：f對t求兩次微分后，得11f (t) = 8 (t + t /2) 8 (t t /2)T1/2 e - jT/2T.2皿=j-sin()t 2由時域積分性f (t) = It f (x)dx f sln() + 兀 x 08 (s )=8ts 2Asln(竺) = Sa (竺) ts 222 sln(竺)+ nSa (0)8 (s ) =k8 (s) + Sa (ST) js 2T2js2f (t) =f (x)dx f8-t/2 0 T/2 t(b)圖3

11、 - 23(1/T )T/20fT/2 t(-1/T )(c)十、頻域積分性若f (t) f F (js )1 11 棚(0)8 (t) + - f (t) f I s F ( jx)dx(3-65)jtj 8例3-15已知加=半，求F(js )。解：因為sin(t)=j-e-)史 2j2 jB (-1) -8 ( +1)= j 兀 b ( +1) -6 0-1)根據(jù)頻域積分性sin(t) f 1 f j兀Is(尤 +1)-8(尤一1)Lr = nu( +1)-U(一1) t j -8十一、時域卷積定理若f1(t) f F1(加)f2(t) f F2(加)f (t) * f (t) f F (

12、加)F (加)(3-66)1212證明F f (t) * f (t )= J M f (T ) f (t -T )&12_8 12e -jt =J f (t )-s 1Js f (t-t )e-jMt dT =-s 2-Js f(t )F(j)e-wdT=F(jw)f (t)e -網dT=F(jw)F(jw)證畢1221-s-s例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)f (t)= 1 Itl1 T014 T可看做為兩個如圖3-24(b)所示門函數(shù)Gt()卷積。試利用時域卷積定理求其頻譜函數(shù)F (jw)解：因圖 3 - 24-T / 2 0 T/2 tsin(竺)G (t)*與)TT2T1f

13、(t) = Gt (t) * Gt (t)-所以F (j)=TSa 2(導)A1例3-17 一個信號f (t)的希伯特變換f &)是f (t)和哉的卷積，即解：因為sgn(t)則對稱性2一2兀 sgn(一)=-2兀 sgn() jt一令一jsgn(co)nt由時域卷積定理1代t) = f。)* 一令-jsgn(co)F(jco)nt即方(加)-Jsgn(co)尸(加)十二、頻域卷積定理若W)eF(jw)/ (0F() TOC o 1-5 h z 1122則f(t)f (O-J-F(jcd)*F (jco) (3-67)12271 12或f (Of (0 f F (沖F (JW)1212例3-1

14、8利用頻域卷積定理求f()= E)的傅里葉變換(加)。解：因為由對稱性jt 2k5 (-co) = -2k5 (co)有t c j2k8(cd)E/(r)k8 (co) +加所以根據(jù)頻域卷積定理7l8(CO)+ 沁F (沁)=，2冗&(0)12n117718、(co) + 81 (co) * = jnd (cd) + 8 (co) * (), COCD1沁)=，航()-(一)CD2十三、帕塞瓦爾定理加）5以）W （網戶2（網如（3-68） 00可推廣F (jco)|2t/co CO 100(3-69)若成為實函數(shù)，則(3-70)00= F2(jco)tZco CO 12丸co 1若匕，九為實函

15、數(shù)，則W(w= (網尸2(網如(3-71)ooJz coI 00 %2（CD）如例3-19求f解：因s %2(co)dcD = 2So(co)2x SQ(co)d(o-004 2n _g2Sa() I G(0由帕塞瓦爾定理可得j00 Sq2(cd)Hco = G (t)G (t)dt = 7i -002 _822十四、奇偶性若 f(t) f F(jco) = F(co)ejq()= R) + jX(co),則(1)當f()為實函數(shù)時，見仃()=|W)1 = F(F(p(CD)= -(p(-CD)R(s) = R(w)X(co) = X()(3-72)若了為實偶函數(shù)，即氏)=E),則F(jcd)

16、 = F(co) = R(cd)X()=0(實偶函數(shù))(3-73)若了為實奇函數(shù)，即K)= E),則F(j3)= jX(3)7?(co) 0(虛奇函數(shù))(3-74)(2)當E為虛函數(shù)，即f=jx(t)時，則(3-75)F(cd) = F(-co) A(cd) = -A(-co)(p(w) = -(p(-CD)JX(CD)= X(-CD)傅里葉變換的基本性質歸納如表3-3所示。表3-3傅里葉變換的基本性質性質名稱時域頻域1.線性af (t) + bf (t)12aF (j)+ bF (j)2.對稱性F (jt)2 荷(-o)3.折疊性f (t)F (-jo)4.尺度變換性f (at)1, o、-F (j-) aa5.時移性f (t + 10)F(jo )ejo6.頻移性e 土種 f (t)F / (o o )7.時域微分5 (t) dtn(jo) nF (