1、物理競賽輔導熱 學氣體動理論基本公式：1.平均碰撞頻率2.平均自由程參見大學物理學上冊第115頁特別注意：3.玻耳茲曼分布率：平衡態下某狀態區間（粒子能量為E）的粒子數密度4. 范德瓦耳斯方程：1mol氣體5. 熱傳導 1.一定量的理想氣體盛于容器中，則該氣體分子熱運動的平均自由程僅決定于(A)壓強p(B)體積V(C)溫度T(D)分子的平均碰撞頻率N不變歷屆考題：2. 在下面四種情況中，何種將一定能使理想氣體分子平均碰撞頻率增大? (a)增大壓強，提高溫度 (c)降低壓強，提高溫度 (b)增大壓強，降低溫度 (d)降低壓強，保持溫度不變 4.有一個邊長為10cm的立方體容器，內盛處于標準狀態下

2、的He氣，則單位時間內原子碰撞一個器壁面的次數的數量級為單位時間內碰一個器壁面的分子數為：3.一大氣壓下，27 時空氣分子的平均動能是_。空氣主要由氮氣、氧氣構成，可看作雙原子分子。室溫下振動自由度未激活，分子的自由度為5，所以一個分子的平均動能為：5.氧氣在溫度為27、壓強為1個大氣壓時，分子的方均根速率為485米秒，那么在溫度為27、壓強為0.5個大氣壓時，分子的方均根速率為_米秒，分子的最可幾速率為_米秒，分子的平均速率為_米秒。三者均與壓強無關，故仍有6.某氣體在溫度T1時的分子最可幾速率與在溫度T2時的分子 方均根速率相等，則T1 / T2 =_。這種氣體在壓強為p時的密度為 ，此時

3、它的分子方均根速率 _ 。7.已知氮氣分子的麥克斯韋速率分布曲線如圖，試在該圖上定性畫出相同溫度下氫氣分子的速率分布曲線。vf(v)N2H2又8. 設氣體分子服從麥克斯韋速率分布律， 代表平均速率， 代表最可幾速率， 為一固定的速率間隔，則速率在 范圍內的分子的百分率隨著溫度的增加將_ ，速率在 到 之間的分子的百分率隨著溫度的增加將_。減少不變vO矩形面積減小根據麥克斯韋速率分布律，在任意速率區間 內的分子數占總分子數的百分率為：設是恒定值，不隨溫度而變。9. 真實氣體在氣缸內以溫度 等溫膨脹，推動活塞作功，活塞移動距離為L。若僅考慮分子占有體積去計算功，比不考慮時為( )；若僅考慮分子之間

4、存在作用力去計算功，比不考慮時為( )。 (a)大；(b)小；(c)一樣。ab只考慮分子之間引力的影響，可取b=0，由于 ，所以分之間引力的影響是使作功減少。可用范德瓦爾斯氣體代表真實氣體來粗略討論分子體積及分子間引力的影響。1mol范氏氣體在Tl溫度下等溫膨脹，作功為：只考慮分子體積影響時，可取a0，由于 ，所以分子體積的影響是使作功增加。10.在地面上豎立一根彎管，管的兩端各連接一個盛水容器，彎管和容器都是絕熱的，設初始時兩容器中的溫度相同(都等于T)，管內充滿溫度為T的飽和水蒸汽。在考慮重力作用的情況下，上述狀態能否保持不變?為什么?如果發生變化，則最終狀態與上述狀態的差別何在?解：在重

5、力作用下，上述狀態不能保持不變。因為在重力作用下，氣體平衡條件要求壓強隨高度而減小，而上端容器中水與蒸汽平衡要求上端容器中蒸汽壓為pT(溫度為T時的飽和蒸汽壓)，同樣，下端容器中水汽平衡要求下容器中蒸汽壓亦為pT，這三個條件不能同時成立。最終狀態下水將完全出現在下端容器中。11. 如圖所示，一半徑為R高為H的圓筒內盛有N個氣體分子，每個分子的質量同為 ，圓筒繞軸以恒角速度 旋轉，桶內氣體的狀態達到平衡后其溫度為T，試求桶內氣體分子的數密度n的分布規律。(注：不考慮重力的影響。)RNTH解：每個分子受的慣性離心力為 ， 其相應的勢能變化規律為選轉軸上為勢能的零點，則所以所以因RNTH所以12.兩

6、個無限長圓筒共軸地套在一起，內筒和外筒的半徑分別為R1和R2。內筒和外筒分別保持在恒定的溫度T1和T2，且T1T2。已知兩筒間的導熱系數為k，試求穩定時離軸r處的溫度。(R1rR2)解：設單位長度內筒每秒向外傳導的熱量為Q，由于傳導穩定，所以單位時間穿過內外筒間任一圓柱面(與內外筒共軸)單位長度的熱量亦應是Q。設該處溫度隨半徑的變化率為 ，由熱傳導方程可知積分得：C為積分常數時，時，解得：所以r處的溫度為：基本公式：參見大學物理上冊第150頁熱力學第一定律特別注意：1. 對理想氣體的任何熱力學過程：2. 解題過程中不要忘記用理想氣體狀態方程：3. 解題時首先把各狀態的狀態參量列出來。1.隔板C

7、把絕熱材料包裹的容器分為A、B兩室。如圖所示，A室內充以真實氣體，B室為真空。現把C打開，A室氣體充滿整個容器，在此過程中，內能應_。不變AB該過程為絕熱自由膨脹，Q=0，A=0，由熱一律 ，所以內能應保持不變。C歷屆考題：2.摩爾數相同的兩種理想氣體，第一種由單原子分子組成，第二種由雙原子分子組成，現兩種氣體從同一初態出發，經歷一準靜態等壓過程，體積膨脹到原來的兩倍(假定氣體的溫度在室溫附近)。在兩種氣體經歷的過程中，外界對氣體作的功 與 之比為_；兩種氣體內能的變化 與 之比為_。3/51準靜態過程氣體對外作功：由理想氣體內能公式，可知單原子分子理想氣體內能變化雙原子分子理想氣體內能變化對

8、x過程，設想一微小變化：溫度改變dT，體積改變dV，則由過程方程有3.摩爾質量為 、摩爾數為 的單原子理想氣體進行了一次x過程，在p-V圖上過程曲線向下平移p0后，恰好與溫度為T0的等溫曲線重合，則x過程的過程方程(V-T關系式)為_，x過程的比熱c與壓強p的關系為c=_。Vpp0p0 x過程T0等溫過程解：x過程曲線向下平移p0后，恰好與溫度為T0的等溫曲線重合，由此可給出狀態方程為x過程的過程方程為4.一摩爾氮氣(設氮氣服從范德瓦爾斯方程)作等溫膨脹，體積由V1變到V2。試求氮氣(a)對外界作的功；(b)內能的改變；(c)吸收的熱量。(a)由范德瓦爾斯方程所以對外界作的功為(b) 一摩爾氣

9、體分子熱運動的動能為 。作等溫膨脹時 。氣體的內壓強 。氣體膨脹時 作負功，氣體分子間相互作用的勢能要增加 。由功能原理，保守內力作的功等于勢能的減少，即所以內能的增量：(c)5.有n摩爾的理想氣體，經歷如圖所示的準靜態過程，圖中p0、V0是已知量，ab是直線，求(1)氣體在該過程中對外界所作的功和所吸收的熱量，(2)在該過程中溫度最高值是什么?最低值是什么?并在p一V圖上指出其位置。VpOa(3p0,V0)b(p0,3V0)解：(1) 由圖知由圖知曲線下面積，即氣體對外作功為由熱力學第一定律知(2) 由圖知過程方程即ab直線的方程為代入狀態方程極值處解得代入過程方程所以該處溫度為最大值由于該

10、直線上溫度T只有一個極值，且已經知道它是極大值。所以溫度最低值一定在端點a或b。但 ，故兩端溫度相同，都是最小值。將p=3p0，V=V0代入狀態方程，即可得最低溫度(1)初態到中間態：空氣和飽和蒸汽并存，對空氣應用玻意耳定律：6.一氣缸的初始容積為30.5L，內盛空氣和少量水(水的體積可略)，總壓強為3atm。作等溫膨脹使體積加倍，水恰好全部消失，此時總壓強為2atm。繼續等溫膨脹，使體積再次加倍。空氣和水汽均可看作理想氣體，試求：(1)氣體的溫度；(2)最后的壓強；(3)水和空氣的摩爾數。解： 由題設知：初態：，T0，中間態：終態：(2) 中間態到終態：無水，空氣和蒸汽并存，對混合氣體應用玻

11、意耳定律：(3) 將狀態方程應用于初態空氣，得空氣摩爾數將狀態方程應用于終態混合氣，得總摩爾數7. 設高溫熱源的溫度為低溫熱源的溫度的n倍，理想氣體經卡諾循環后，從高溫熱源吸收的熱量與向低溫熱源放出的熱量之比為_。nAC絕熱過程系統吸熱Q0，對外作功A0，由熱力學第一定律，系統內能增量 -A0。該系統為理想氣體，其內能和熱力學溫度成正比，故AC過程 ，即TCTA，對過程ABC亦然；對ABCA循環過程系統吸熱QA0，而CA過程Q0，所以ABC過程中氣體吸熱為負值。8. 圖中MN為某理想氣體的絕熱曲線，ABC是任意過程，箭頭表示過程進行的方向。ABC過程結束后氣體的溫度(增加、減小或不變)_；氣體

12、所吸收的熱量為(正、負或零)_。減小負VpNMABC9.有一卡諾循環，當熱源溫度為100，冷卻器溫度為0時，一循環作凈功8000J，今維持冷卻器溫度不變，提高熱源溫度，使凈功增為10000J。若此兩循環都工作于相同的二絕熱線之間，工作物質為同質量的理想氣體，則熱源溫度增為_；效率增為_。Q1Q2OVpT1T21234V1V4V2V310.以可逆卡諾循環方式工作的致冷機，在某環境下它的致冷系數為 30.3，在同樣環境下把它用作熱機，則其效率為 _。11.房間內有一空調機，該機按可逆卡諾循環工作，在連續工作時，每秒需對該機作P焦耳的功。夏天該機從室內吸熱釋放至室外以降低室溫。冬天將該機反向運行，從

13、室外吸熱釋放至室內以提高室溫。已知當室內、室外的溫差為 時，每秒由室外漏入室內(或由室內漏至室外)的熱量 ，A為一常數。(1)夏天該機連續工作時，室內能維持的穩定溫度T2為何?已知室外的溫度恒定為T1。(2)冬天該機連續工作時，欲使室內能維持的穩定溫度為 ，室外的最低溫度 需為何?(1)由卡諾循環特點可知：夏天欲使室內維持穩定溫度T2，需空調機每秒吸熱(2) 同理有12.1mol單原子理想氣體從初態壓強p032Pa，體積V08m3經p-V圖上的直線過程到達終態壓強p1lPa，體積V164m3；再經絕熱過程回到初態，如此構成一循環。求此循環的效率。VpOV0VAV1a(p0,V0)A(pA,VA

14、)b(p1,V1)解：該循環吸熱與放熱均在直線過程中發生，如圖所示。首先求吸、放熱轉折點A的狀態參量pA 、 VA 。設直線過程方程為對某元過程有元過程中內能增量在轉折點A附近的元過程應有把已知條件帶入由 吸熱為由 放熱為VpOV0VAV1a(p0,V0)A(pA,VA)b(p1,V1)13.某氣體系統在p一V坐標面上的一條循環過程線如圖所示，試證該系統在對應的循環過程中其摩爾熱容量不能為恒量。OpV經此循環，系統恢復原態，其內能增量 ，而系統對外作功A不為零(絕對值為p-V圖中曲線面積)，此與熱力學第一定律 矛盾，故所設不正確，即循環過程中系統的摩爾熱容不可能為恒量，命題得證。證：采用反證法

15、。設其摩爾熱容量是恒量C1，則循環過程中系統所吸熱量為14. 某單原子理想氣體經歷的一準靜態過程中，壓強p與溫度T成反比例關系。(1)求此過程種該氣體的摩爾熱容量C ；(2)設過程中某一狀態的壓強為p0，體積為V0，試求在體積從V0增到2V0的一般過程中氣體對外作功量A。解：(1) 設過程方程為其中 為常量。將此過程方程與狀態方程聯立，消去p，可得該過程中V與T的關系為由熱力學第一定律和能量均分定理知，該系統經歷的任一元過程中的吸熱量為將代入得所以，該過程中的摩爾熱容量為(2) 由上述討論知，在一個元過程中系統對外界作功為設體積為V0時對應溫度為T0 ，那么由前面得到的過程方程可得，體積為2V

16、0時對應的溫度為于是，體積從V0增到2V0的過程中氣體對外界作功為又因為所以15. 某氣體的狀態方程可表述為 ，該氣體所經歷的循環過程如圖所示。氣體經bc過程對外作功量為W=_ ，經過一個循環過程吸收的熱量Q=_ 。OVpbca等溫2p0p0V02V0解：bc等溫過程對外作功為ca等壓過程對外作功為ab等體過程對外不作功。經過一個循環過程吸收的熱量等于對外作的總功，即熱力學第二定律基本公式：特別注意：克勞修斯熵公式（可逆過程）（可逆過程）參見大學物理上冊第150頁1.一個系統經歷的過程是不可逆的，就是說，該系統不可能再回到原來的狀態。 ( )2. 假設某一循環由等溫過程和絕熱過程組成(如圖)，

17、可以認為( ) (a)此循環過程違反熱力學第一定律；(b)此循環過程違反熱力學第二定律；(c)此循環過程既違反熱力學第一定律，也違反熱力學第二定律。Vp等溫絕熱按如圖曲線做一個正循環，相當于從單一熱源吸熱完全轉為功而沒有其他變化，所以違反熱力學第二定律。但是這樣的循環不見得違反熱力學第一定律(如果從外界吸收的熱量等于對外界作的凈功)。歷屆考題：3. 對于理想氣體，在下列各圖所示的循環過程中，哪些是物理上不可實現的?VpVpVpVp等溫絕熱等容等壓絕熱等容等溫絕熱絕熱絕熱絕熱等溫(A)(B)(C)(D)對理想氣體，絕熱線比等溫線陡，由熱二律可以證明二條絕熱線不能交于一點，所以A、C、D過程都是不

18、能實現的。4.從單一熱源吸取熱量并將其完全用來對外作功，是不違反熱力學第二定律的，例如_過程就是這種情況。理想氣體的等溫膨脹理想氣體作等溫膨脹就是將所吸的熱量全部用來對外作功的過程。但這過程里氣體體積膨脹了，即產生了“其它影響”。因開爾文表述是：“不可能從單一熱源吸收熱量，使之完全變為有用功而不產生其它影響”，所以說此等溫過程是不違反熱力學第二定律的本題要求的過程。5. lkg冰在0、1atm下熔解為水的過程中的熵增量為_ 。(已知冰的熔解熱為333kJkg)此過程是可逆的6.設有一剛性絕熱容器，其中一半充有 摩爾理想氣體，另一半為真空，現將隔板抽去，使氣體自由膨脹到整個容器中。試求該氣體熵的

19、變化(不能直接用理想氣體熵的公式計算)。VV解：理想氣體絕熱自由膨脹后由于內能不變，故溫度也不變。計算熵的改變時，可選取一個等溫準靜態膨脹過程，使體積由 。7. 1mol水蒸氣(可視為剛性分子，且不考慮量子效應)，經歷如圖abca循環過程，ab為等壓過程，bc為等容過程，ca在p-V圖上為一直線。已知b態溫度為600K。則ab過程系統吸熱Qab=_，ca過程系統吸熱Qca=_，一次循環過程系統凈吸熱為_，該循環的熱效率 =_。VpOV02V0p02p0abc解：對b點有4p0V0=RTb，得對a點和c點有凈吸熱為由p-V圖可求出ca的過程方程(1)對過程cm有令 ，求出 ，代入（1）式得 ，即在狀態 處的溫度為 。mVpOV02V0p02p0abc在ca過程中，m處的熵最大，故cm過程為純吸熱過程，吸的熱為mVpOV02V0p02p0abc8. 設有一剛性容器內裝有溫度為T0的1摩爾氮氣，在此氣體和溫度也為T0的熱源之間工作一個制冷機，它從熱源吸收熱量Q2，向容器中的氣體放出熱量Q1。經一段時間后，容器中氮氣的溫度升至T1。試證明該過程中制冷機必須消耗的功T0Q2Q1W工質證明：依題意，所討論系統中制冷機的工作原 理可示意如圖，則該過程中制冷機必須 消耗的功為因為氮氣所處容器是剛性的，則其由 的過程為等體過程，于是有T0Q2Q1W工質又由題意知，該過程中熱源、氮氣和制冷機的工作物