1、平面向量的數量積 2.4.1 平面向量數量積 物理背景及其含義已知兩個非零向量a和b，作OA=a， OB=b，則AOB= （0 180）叫做向量a與b的夾角。OBA向量的夾角當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖）FS那么力F所做的功W為：情景引入W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角從力所做的功出發，我們引入向量“數量積”的概念。數量積的定義（1）兩向量的數量積是一個數量，注意 已知兩個非零向量a 和b ，它們的夾角為 ，我們把數量 叫做a 與b 的數量積（或內積），記作a b ，即（

2、2） a b不能寫成ab ，不能省. 向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？思考：ab=|a| |b| cos當0 90時 ab為正；當90 180時 ab為負。當 =90時 ab為零。例題講解例1已知 =5， =4， 與 的夾角 ，求 .變式:如圖的菱形ABCD中，角A等于 ，AB=2,求下列各數量積.DABC例2 已知 =(1,1), =(2,0),求 。解： 重要性質:設是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OAB abB1求模的方法判斷垂直的又一條件求角 物理上力所做的功實際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功sF？ 對非零向量a與b，定義| b |

3、 cos叫向量b 在a 方向上的投影| a | cos叫向量a在b 方向上的投影數量積的幾何意義，過點B作則 的數量是| b | cos（不是向量） a b的幾何意義：數量積a b等于a的長度|a|與b在a的方向上投影|b|cos的乘積。 為銳角時，| b | cos0為鈍角時，| b | cos0為直角時，| b | cos=0數量積的幾何意義OABbaB1B1OABbaOABba回顧實數運算中有關的運算律，類比數量積得運算律: 在實數中 在向量運算中交換律: ab=ba ( )結合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( )分配律： (a+b)c=ab+bc ( )消去律: ab=bc(b

4、0) a=c ( )數量積的運算律數量積的運算律已知向量a、b、c和實數 ，則: 則： (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數量分別是OM、MN、 ON, 證明運算律(3)典型例題例1.已知向量a，b,求證下列各式證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的數量積運算類似于多項式運算解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是 （ a

5、+kb） （a-kb）=0即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，k= 例4、(2009海南、寧夏高考，理9)已知點O、N、P在ABC所在平面內，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、內心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內心夾角的范圍運算律性 質數量積(3) (ab) c =acbc aa=|a|2（簡寫 a2 = |a|2） 知識回顧:(2)(1) a b= b a(交換律)(分配律)判斷正誤，并說理.1.已知向量 和實數1若 ，則 中至少有一個為 2. 若b0，abcb ，則a=c4. 對任意向量 a 有3. (ab)c=a(bc)鞏固練習2. 已知ABC中, AB=a, AC=b, 當 ab 0, ab =0時, ABC各是什么三角形？當a b0時， cos0，為鈍角三角形當a b=0時，為直角三角形鞏固練習3. 在ABC中a=5,b=8,C=60o, 求思考：用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。ABCO如圖所示，已知O，AB為直徑，C為O上任意