1、等腰三角形存在性問題等腰三角形存在性問題【問題描述】如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得ABC是等腰三角形yBAOx【幾何法】“兩圓一線”得坐標（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CByBAC1OC3C5C2C4x【注意】若有三點共線的情況，則需排除作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數來求2yBACC1OHxC、C同理可求，下求C345yAC

2、1=AB=(4-1)2+(3-1)2=13作AHx軸于H點，AH=1C1H=C2H=13-1=23C1(1-23,0)C2(1+23,0)BAOC5x顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構造直角三角形勾股解：yAH=3，BH=2設AC5=x，則BC5=x，C5H=3-x(3-x)2+22=x2B解得：x=136OAC5Hx而對于本題的C，或許代數法更好用一些5故C5坐標為（196,0）【代數法】表示線段構相等yBAOC5x（1）表示點：設點C坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3），5（2）表

3、示線段：AC(m1)2(01)2，BC55(m4)2(03)2（3）分類討論：根據ACBC，可得：55(m1)212(m4)232，（4）求解得答案：解得：m23，故C坐標為23,0665【小結】幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長，由線段長得點坐標代數法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據題意要求取AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解問題總結：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關聯，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角

4、，以此為突破口如圖，在平面直角坐標系中，二次函數yax2bxc交x軸于點A(4,0)、B(2,0)，交y軸于點C(0,6)，在y軸上有一點E(0,2)，連接AE（1）求二次函數的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在請說明理由yCD()()AOE【分析】（1）y3x23x6；42（2）可用鉛垂法，當點D坐標為(2,6)時，ADE面積最大，最大值為14；（3）這個問題只涉及到A、E兩點及直線x=-1（對稱軸）當AE=AP時，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸

5、交點即為所求P點AE=25，AP=25，又AH=3，PH11，11故P1,11、P1,1112當EA=EP時，以E點為圓心，EA為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點Bx(25)1過點E作EM垂直對稱軸于M點，則EM=1，PMPM342219，()()()()()()故P1,219、P1,21934當PA=PE時，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點即為所求P點設P(1,m)，PA2(14)2(m0)2，PE2=(10)2(m2)2555m29(m2)21，解得：m=1故P(1,1)5綜上所述，P點坐標為P1,11、P1,11、P1,219、P1,219、P(1,1)12345yyyP1P3HP5A

6、OBxAOBxAOBxEMEEP2P4【補充】“代數法”用點坐標表示出線段，列方程求解亦可以解決1如圖1，拋物線yax2bx1經過A(1,0)、B(2,0)兩點，交y軸于點C點P為拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，交x軸于點E（1）請直接寫出拋物線表達式和直線BC的表達式（2）如圖1，當點P的橫坐標為2時，求證：OBDABC3（3）如圖2，若點P在第四象限內，當OE2PE時，求POD的面積（4）當以點O、C、D為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出動點P的坐標23【分析】（1）待定系數法即可求得；（2）先把P點的橫坐標代入直線y1x1，求得DE2，從而求得DEOE，得出

7、EOD45，因為2OACEOD45，OBDABC，即可求得OBDABC；（3）分三種情況：當ODCD時，則5m2m15m2，當ODOC時，則5m2m11，當OCCD444時，則5m21，分別求解，即可求得4【解答】方法一：4a2b10a2解得22，拋物線表達式：y12xx1；22則，解得2222233解：（1）由拋物線yax2bx1可知C(0,1)，yax2bx1經過A(1,0)、B(2,0)兩點，ab101b1211設直線BC的解析式為ykxb，2kb0b11kb1直線BC的表達式：y1x12故拋物線表達式：y1x21x1；直線BC的表達式：y1x112（2）如圖1，當點P的橫坐標為2時，把

8、x233代入y1x1，2得y1212，2DE23又OE2，3DEOEOED90EOD45又OAOC1，AOC90OAC45OEx，PE|x2x1|x2x1OACEOD又OBDABCOBDABC（3）如圖2，設點P的坐標為P(x,1x21x1)2211112222又OE2PEx2(1x2212x1)解得x2，x2（不合題意舍去），12PD22P、D兩點坐標分別為P(2,2()2122OE2)，D(2,222)，22POD1S122PDOE(21)2222，OC21，CD2m2(1m1)2m2，4445455（4）P(1,1)，P(4,27)，P(25,35)，P(25,35)4125253555

9、5設D(m,1m1)，2則OD2m2(1m1)25m2m1，241524當ODCD時，則5m2m15m2，解得m1，1當ODOC時，則5m2m11，解得m4，2當OCCD時，則5m21，解得m25，m25，34P(1,1)，P(,25252535，P(,)55551方法二：（1）略427)，P(3,)42535x1，把x代入，（2）lBC:y1223y，即D(，)，tanEOD()()1，t2(0t2t1)，222333O(0,0)，2233A(1,0)，C(0,1)，tanOAC1，EODOAC，OD/AC，OBDABC（3）設P(t,1t21t1)，E(t,0)，22OE2PE，1122解

10、得：t2，t2（舍)，12PD22P、D兩點坐標分別為P(2,2()2122OE2)，D(2,222)，22POD1S122PDOE(21)2222(00)2(10)2(t0)2(t1)2，t0（舍)，t，（4）設P(t,1t21t1)，D(t,1t1)，O(0,0)，C(0,1)，222OCD是等腰三角形，OCOD，OCCD，ODCD，142125(00)2(10)2(t0)2(t11)2，t255112525，t，2(t0)2(t1)2(t0)2(t11)2，t1，1122P(1,1)，P(,)，p(2525555542713，25352535)p()4【點評】本題考查了待定系數法求解析式

11、、三角形相似的判定以及分類討論的思想的應用2如圖1，拋物線yx2bxc過點A(1,0)，點B(3,0)，與y軸交于點C在x軸上有一動點E(m，0)(0m3)，過點E作直線lx軸，交拋物線于點M（1）求拋物線的解析式及C點坐標；（2）當m1時，D是直線l上的點且在第一象限內，若ACD是以DCA為底角的等腰三角形，求點D的坐標；（3）如圖2，連接BM并延長交y軸于點N，連接AM，OM，設AEM的面積為S，MON的面積為S，12若S2S，求m的值122【解答】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得，解得，【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）若ACD是以DCA為底角的等腰三角形，則可以分C

12、DAD或ACAD兩種情況，分別求解即可；（3）S1AEy，2SONx，即可求解1M2M1bc0b293bc0c3故拋物線的表達式為yx22x3，當x0時，y3，故點C(0,3)；（2）當m1時，點E(1,0)，設點D的坐標為(1,a)，由點A、C、D的坐標得，AC(01)2(30)210，同理可得：ADa24，CD1(a3)2，當CDAD時，即a241(a3)2，解得a1；當ACAD時，同理可得a6（舍去負值）；故點D的坐標為(1,1)或(1,6)；設直線BM的表達式為ysxt，則，解得，03stt3m3SAEy(m1)(m22m3)，222SONx(3m3)mS(m1)(m22m3)，2（3

13、）E(m,0)，則設點M(m,m22m3)，m22m3smtsm1故直線BM的表達式為y(m1)x3m3，當x0時，y3m3，故點N(0,3m3)，則ON3m3；111M12M1解得m27或1（舍去負值），故m72【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、等腰三角形的性質、面積的計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏3如圖，已知拋物線ya(x6)(x2)過點C(0,2)，交x軸于點A和點B（點A在點B的左側），拋物線的頂點為D，對稱軸DE交x軸于點E，連接EC（1）直接寫出a的值，點A的坐標和拋物線對稱軸的表達式；（2）若點M是拋物線對稱軸DE上的點，當MCE是等腰三角

14、形時，求點M的坐標；（3）點P是拋物線上的動點，連接PC，PE，將PCE沿CE所在的直線對折，點P落在坐標平面內的點P處求當點P恰好落在直線AD上時點P的橫坐標a，【分析】（1）將點C坐標代入拋物線解析式中，即可得出結論；（2）分三種情況：直接利用等腰三角形的性質，即可得出結論；（3）先判斷出PQEPQE(AAS)，得出PQPQ，EQEQ，進而得出PQn，EQQEm2，確定出點P(n2,2m)，將點P的坐標代入直線AD的解析式中，和點P代入拋物線解析式中，聯立方程組，求解即可得出結論【解答】解：（1）拋物線ya(x6)(x2)過點C(0,2)，2a(06)(02)，16拋物線的解析式為y(x6

15、)(x2)(x2)21166拋物線的對稱軸為直線x2；針對于拋物線的解析式為y1(x6)(x2)，6令y0，則1(x6)(x2)0，6x2或x6，A(6,0)；83，（2）如圖1，由（1）知，拋物線的對稱軸為x2，E(2,0)，C(0,2)，OCOE2，D(2,)，CE2OC22，CED45，CME是等腰三角形，當MEMC時，ECMCED45，CME90，M(2,2)，當CECM時，MMCM2，1EM4，1M(2,4)，1當EMCE時，EMEM22，23M(2,22)，M(2，22)，23即滿足條件的點M的坐標為(2,2)或(2,4)或(2，22)或(2,22)；（3）如圖2，由（1）知，拋物

16、線的解析式為y1(x6)(x2)1(x2)28，66383令y0，則(x6)(x2)0，x6或x2，點A(6,0)，直線AD的解析式為y2x4，3過點P作PQx軸于Q，過點P作PQDE于Q，EQPEQP90，2m(n2)4，n(m6)(m2)，由（2）知，CEDCEB45，由折疊知，EPEP，CEPCEP，PQEPQE(AAS)，PQPQ，EQEQ，設點P(m,n)，OQm，PQn，PQn，EQQEm2，點P(n2,2m)，點P在直線AD上，23點P在拋物線上，16聯立解得，m13241或m13241，22即點P的橫坐標為13241或132412255154如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物

17、線F:ya(x)2與x軸交于點A(，0)和點B，與y【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵26461軸交于點C（1）求拋物線F的表達式；1（2）如圖2，將拋物線F先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線F，若拋物線F與拋物121線F相交于點D，連接BD，CD，BC2求點D的坐標；判斷BCD的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線F上是否存在點P，使得BDP為等腰直角三角形，若存在，求出點P的2坐標；若不存在，請說明理由55155515【分析】（1）把點A(6，0)代入拋物線F:ya

18、(x2)264中，求出a的值，即可求解；1（2）由平移的原則：左加，右減，上加，下減，可得拋物線F的解析式，與拋物線F聯立方程組，解出21可得點D的坐標；根據兩點的距離公式和勾股定理的逆定理可得：BDC是等腰直角三角形；（3）設Pm，5(m3)219，根據兩點的距離公式和勾股定理列方程可解出m的值，并確認兩直角邊3515是否相等，可得符合條件的點P的坐標【解答】解：（1）把點A(6，0)代入拋物線F:ya(x2)264中得：1拋物線F:y(x)253562640a()25515解得：a5，31，26415；3515y(x)2，（2）由平移得：拋物線F:y5(x21)2643，253193515

19、53195264(x)2(x)235153515，10 x，1033解得：x1，D(1,1)；當x0時，y54644，32515BD2(21)21210，PB2(m2)2(m)22，PD2(m1)2(m)212，C(0,4)，當y0時，5(x2)2640，3515解得：x6或2，5B(2,0)，D(1,1)，BD2(21)2(10)210，CD2(01)2(41)210，BC2224220，BD2CD2BC2且BDCD，BDC是等腰直角三角形；（3）存在，設P(m，5(m3)219)，3515B(2,0)，D(1,1)，5319531935153515分三種情況：當DBP90時，BD2PB2P

20、D2，即10(m2)25(m3)2192(m1)25(m3)21912，35153515解得：m4或1，當m4時，BD10，PB36324610，即BDP不是等腰直角三角形，不符合題意，當m1時，BD10，PB1910，BDPB，即BDP是等腰直角三角形，符合題意，P(1,3)；當BDP90時，BD2PD2PB2，即10(m1)25(m3)21912(m2)25(m3)2192，35153515解得：m1（舍)或2，當m2時，BD10，PD1910，BDPD，即此時BDP為等腰直角三角形，P(2,2)；當BPD90時，且BPDP，有BD2PD2PB2，如圖3，當BDP為等腰直角三角形時，點P和

21、P不在拋物線上，此種情況不存在這樣的點P；12綜上，點P的坐標是(1,3)或(2,2)【點評】本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法和平移求二次函數解析式，勾股定理及逆定理，兩點的距離公式，難點在于（3）根據直角三角形的直角頂點分情況討論5如圖，已知拋物線yax2bxc經過A(2,0)，B(4,0)，C(0,4)三點（1）求該拋物線的解析式；（2）經過點B的直線交y軸于點D，交線段AC于點E，若BD5DE求直線BD的解析式；已知點Q在該拋物線的對稱軸l上，且縱坐標為1，點P是該拋物線上位于第一象限的動點，且在l右側，點R是直線BD上的動點，若PQR是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，求點

22、P的坐標GQx2x3，再利用三垂線構造出PQGQRH(AAS)，得出RHGQx2x3，QHPGx1，進而得出R(x2x4，2x)，最后代入直線BD的解析式中，即可求出x的值，即a，【分析】（1）根據交點式設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入拋物線交點式中，即可求出a，即可得出結論；（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，進而得出點E坐標，最后用待定系數法，即可得出結論；、當點R在直線l右側時，先確定出點Q的坐標，設點P(x，1x2x4)(1x4)，得出PGx1，2112212可得出結論；、當R在直線l左側時，同的方法即可得出結論【解答】解：（1）拋物線y

23、ax2bxc經過A(2,0)，B(4,0)，設拋物線的解析式為ya(x2)(x4)，將點C坐標(0,4)代入拋物線的解析式為ya(x2)(x4)中，得8a4，12拋物線的解析式為y(x2)(x4)1212x2x4；將點A(2,0)，C(0,4)，代入ykxb中，得，b4，（2）如圖1，設直線AC的解析式為ykxb，2kb0k2b4直線AC的解析式為y2x4，過點E作EFx軸于F，OD/EF，BODBFE，OBBDBFBE，B(4,0)，OB4，BD5DE，BD5DEBD5，BEBDDE5DEBE6BFBE624OB4BD55，4，OFBFOB24455412，52，將x4代入直線AC:y2x4

24、中，得y2(4)412，555，12E(4)，55設直線BD的解析式為ymxn，4mn0mn51mn2直線BD的解析式為y1x2；2、當點R在直線l右側時，拋物線與x軸的交點坐標為A(2,0)和B(4,0)，拋物線的對稱軸為直線x1，點Q(1,1)，如圖2，設點P(x，1x2x4)(1x4)，2PGx1，GQx2x41x2x3，RHGQx2x3，QHPGx1，R(x2x4，2x)(x2x4)22x，PGx1，GQx2x41x2x3，RHGQx2x3，QHPGx1，過點P作PGl于G，過點R作RHl于H，1122PGl，PGQ90，GPQPQG90，PQR是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，PQ

25、RQ，PQR90，PQGRQH90，GPQHQR，PQGQRH(AAS)，1212由知，直線BD的解析式為y1x2，21122x2或x4（舍)，當x2時，y1x2x414244，22P(2,4)，、當點R在直線l左側時，記作R，設點P(x，1x2x4)(1x4)，2過點P作PGl于G，過點R作RHl于H，1122同的方法得，PQGQRH(AAS)，12R(x2x2，x)，(x2x2)2x，12由知，直線BD的解析式為y1x2，21122x113或x113（舍)，當x113時，y1x2x42134，2P(113，2134)，即滿足條件的點P的坐標為(2,4)或(113，2134)【點評】此題是二

26、次函數綜合題，主要考查了待定系數法，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵6如圖，拋物線yax2bx4交x軸于A(3,0)，B(4,0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BCM為線段OB上的一個動點，過點M作PMx軸，交拋物線于點P，交BC于點Q（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作PNBC，垂足為點N設M點的坐標為M(m,0)，請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由a9a3

27、b40【解答】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得，解得b1PQm2m4m4m2m，【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）PNPQsin452(1m24m)2(m2)222，即可求解；23363（3）分ACCQ、ACAQ、CQAQ三種情況，分別求解即可16a4b40故拋物線的表達式為：y1x21x4；33（2）由拋物線的表達式知，點C(0,4)，由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：yx4；設點M(m,0)，則點P(m,1m21m4)，點Q(m,m4)，3311143333OBOC，故ABCOCB45，PQNBQM45，313，PNPQsin45214222

28、(m2m)(m2)223363，260，故當m2時，PN有最大值為22；3（3）存在，理由：點A、C的坐標分別為(3,0)、(0,4)，則AC5，當ACCQ時，過點Q作QEy軸于點E，連接AQ，則CQ2CE2EQ2，即m24(m4)225，解得：m52（舍去負值），2故點Q(52，852)；22當ACAQ時，則AQAC5，在RtAMQ中，由勾股定理得：m(3)2(m4)225，解得：m1或0（舍去0)，故點Q(1,3)；當CQAQ時，則2m2m(3)2(m4)2，解得：m25（舍去）；2綜上，點Q的坐標為(1,3)或(52，852)22【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質

29、、解直角三角形、等腰三角形的性質等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏7已知拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C(0,3)，頂點D的坐標為(1,4)（1）求拋物線的解析式（2）在y軸上找一點E，使得EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）根據拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入求解，即可得出結論；（2）先求出點A，C坐標，設出點E坐標，表示出

30、AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；（3）利用平移先確定出點Q的縱坐標，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標，即可得出結論【解答】解：（1）拋物線的頂點為(1,4)，設拋物線的解析式為ya(x1)24，將點C(0,3)代入拋物線ya(x1)24中，得a43，a1，拋物線的解析式為ya(x1)24x22x3；(2由（1）知，拋物線的解析式為yx22x3，令y0，則x22x30，x1或x3，B(3,0)，A(1,0)，令x0，則y3，C(0,3)，AC10，設點E(0,m)，則AEm21，CE|m3|，E(0,)，m，ACE是等腰三角形，當ACAE時，10m21，m3或m3（點C的縱坐標，

31、舍去）E(0,3)，當ACCE時，10|m3|，m310，E(0,310)或(0,310)，當AECE時，m21|m3|，4343即滿足條件的點E的坐標為(0,3)、(0,310)、(0,310)、(0,4)；3（3）如圖，存在，D(1,4)，將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當的距離，使點B的對應點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應點就是點P，點Q的縱坐標為4，設Q(t,4)，將點Q的坐標代入拋物線yx22x3中得，t22t34，t122或t122，Q(122，4)或(122，4)，分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，拋物線yx22x3與x軸的右邊的交點B

32、的坐標為(3,0)，且D(1,4)，FBPG312，點P的橫坐標為(122)2122或(122)2122，即P(122，0)、Q(122，4)或P(122，0)、Q(122，4)8如圖，拋物線yax2xc經過點A(1,0)和點C(0,3)與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，等腰三角形的性質，平移的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵94一動點，過點M作MP/y軸，交拋物線于點P（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作M

33、，當M與坐標軸相切時，求出M的半徑【分析】（1）把點A(1,0)和點C(0,3)代入yax29xc求出a與c的值即可得出拋物線的解析式；4（2）當點Q在y軸右邊時，假設QCO為等邊三角形，過點Q作QHOC于H，OC3，則OH3，2，求出Q(，)，把x代入yx2x3，得y，則假設不成tan603333QH339273333OH222448162立；當點Q在y軸的左邊時，假設QCO為等邊三角形，過點Q作QTOC于T，OC3，則OT3，2，求出Q(，)，把x代入yx2x3，得y，則假設tan603333QT339273333OT222448162PMME，PDMDEMx，設P(x,x2x3)，M(x

34、,x3)，則PDx2x3，MDx3，代入即可得出結果；當M在BC延長線，M與x軸相切時，點P與A重合，M的縱坐不成立；（3）求出B(4,0)，待定系數法得出BC直線的解析式y3x3，當M在線段BC上，M與x軸相切時，4延長PM交AB于點D，則點D為M與x軸的切點，即PMMD，設P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444則PD3x29x3，MD3x3，由PDMDMD，求出x1，即可得出結果；當M在線段BC上，444M與y軸相切時，延長PM交AB于點D，過點M作MEy軸于E，則點E為M與y軸的切點，即393394444434標的值即為所求；當M在CB延長線，M與y軸相切時，延長PD交x軸于D

35、，過點M作MEy軸于E，則點E為M與y軸的切點，即PMME，PDMDEMx，設P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444則PD3x29x3，MD3x3，代入即可得出結果44490a3ca，【解答】解：（1）把點A(1,0)和點C(0,3)代入yax2xc得：43解得：4c3拋物線的解析式為：y3x29x3；4494c，（2）不存在，理由如下：當點Q在y軸右邊時，如圖1所示：假設QCO為等邊三角形，過點Q作QHOC于H，點C(0,3)，OC3，則OH1OC3，tan60QH，22OH333QHOHtan60322，Q(333)，22把x33代入y3x29x3，244得：y273333，81

36、62假設不成立，當點Q在y軸右邊時，不存在QCO為等邊三角形；當點Q在y軸的左邊時，如圖2所示：假設QCO為等邊三角形，過點Q作QTOC于T，點C(0,3)，OC3，則OT1OC3，tan60QT，22OT333QTOTtan60322，把B、C的坐標代入則，k，BC直線的解析式為：yx3，(x2x3)(x3)x3，M的半徑為：MD3；，Q(333)，22把x33代入y3x29x3，244得：y273333，8162假設不成立，當點Q在y軸左邊時，不存在QCO為等邊三角形；綜上所述，在拋物線上不存在一點Q，使得QCO是等邊三角形；（3）令3x29x30，44解得：x1，x4，12B(4,0)，

37、設BC直線的解析式為：ykxb，04kb3b3解得：4b334當M在線段BC上，M與x軸相切時，如圖3所示：延長PM交AB于點D，則點D為M與x軸的切點，即PMMD，設P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444則PD3x29x3，MD3x3，44439334444解得：x1，x4（不合題意舍去），123944(x2x3)(x3)x，當M在線段BC上，M與y軸相切時，如圖4所示：延長PM交AB于點D，過點M作MEy軸于E，則點E為M與y軸的切點，即PMME，PDMDEMx，設P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444則PD3x29x3，MD3x3，444393444解得：x8，x0（

38、不合題意舍去），132M的半徑為：EM83；當M在BC延長線，M與x軸相切時，如圖5所示：點P與A重合，M的橫坐標為1，M的半徑為：M的縱坐標的值，即：3(1)315；44當M在CB延長線，M與y軸相切時，如圖6所示：(x2x3)(x3)x，延長PM交x軸于D，過點M作MEy軸于E，則點E為M與y軸的切點，即PMME，PDMDEMx，設P(x,3x29x3)，M(x,3x3)，444則PD3x29x3，MD3x3，444393444解得：x16，x0（不合題意舍去），132M的半徑為：EM16；3綜上所述，M的半徑為9或8或15或163443【點評】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求

39、解析式、等邊三角形的性質、圓的性質、三角函數等知識；熟練掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵9已知二次函數yax24axc(a0)的圖象與它的對稱軸相交于點A，與y軸相交于點C(0,2)，其對稱軸與x軸相交于點B（1）若直線BC與二次函數的圖象的另一個交點D在第一象限內，且BD2，求這個二次函數的表達式；（2）已知P在y軸上，且POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，試直接寫出a的值（C【分析】1）先求得對稱軸方程，進而得B點坐標，過D作DHx軸于點H，由B，的坐標得OBC45，進而求得DH，BH，便可得D點坐標，再由待定系數法求得解析式；（2）先求出A點的坐標，再分兩種情況：A點在x軸

40、上時，OPA為等腰直角三角形，符合條件的點P恰好有2個；A點不在x軸上，AOB30，OPA為等邊三角形或頂角為120的等腰三角形，符合條件的點P恰好有2個據此求得a【解答】解：（1）過點D作DHx軸于點H，如圖1，二次函數yax24axc，對稱軸為x4a2，2aB(2,0)，C(0,2)，OBOC2，OBCDBH45，BH2，BHDH1，OHOBBH213，D(3,1)，把C(0,2)，D(3,1)代入yax24axc中得，9a12ac1c2，a1c2二次函數的解析式為yx24x2；（2）yax24axc過C(0,2)，c2，yax24axca(x2)24a2，A(2,4a2)，P在y軸上，且

41、POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，當拋物線的頂點A在x軸上時，POA90，則OPOA，這樣的P點只有2個，正、負半軸各一個，如圖2，此時A(2,0)，4a20，解得a1；2當拋物線的頂點A不在x軸上時，AOB30時，則OPA為等邊三角形或AOP120的等腰三角形，這樣的P點也只有兩個，如圖3，ABOBtan30232333，|4a2|233，a3或311112626綜上，a1或113或11322626【點評】本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵10如圖，拋物線yax2bx2交

42、x軸于點A(3,0)和點B(1,0)，交y軸于點C（1）求這個拋物線的函數表達式（2）點D的坐標為(1,0)，點P為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值（3）點M為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點N，使MNO為等腰直角三角形，且MNO為直角？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）拋物線的表達式為：ya(x3)(x1)a(x22x3)ax22ax3a，即3a2，即可求解；四邊形ADCPS（2）SAPOSCPOSODC，即可求解；（3）分點N在x軸上方、點N在x軸下方兩種情況，分別求解【解答】解：（1）拋物線的表達式為：ya(x3)(x1

43、)a(x22x3)ax22ax3a，即3a2，解得：a2，3故拋物線的表達式為：y2x24x2，33（2）連接OP，設點P(x,2x24x2)，33四邊形ADCPS則SSAPOSCPOS1112AOyOCxPPODC22COOD3(x2x2)2(x)21x23x2，1241123322時，S的最大值為10，故S有最大值，當x317；24（3）存在，理由：MNO為等腰直角三角形，且MNO為直角時，點N的位置如下圖所示：33當點N在x軸上方時，點N的位置為N、N，12N的情況(MNO):111設點N的坐標為(x,2x24x2)，則MEx1，1144444444（2）如圖，過點P作y軸垂線交y軸于點

44、N，連接MN交BC于點Q，當MQ過點N作x軸的垂線交x軸于點F，過點M作x軸的平行線交NF于點E，111FNOMNE90，MNEEMN90，EMNFNO，1111111111MENNFO90，ONMN，111111MNENOF(AAS)，MENF，11111即：x12x24x2，解得：x773（舍去負值），334則點N(773，373)；1N的情況(MNO):222同理可得：點N(173，373)；2當點N在x軸下方時，點N的位置為N、N，34同理可得：點N、N的坐標分別為：(173，373)、(773，373)34(綜上，點N的坐標為：773，373)或(173，373)或(173，373)

45、或(773，4444444373)4【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性質、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏11如圖，直線yx4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線yx2bxc經過B，C兩點，與x軸另一交點為A點P以每秒2個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M（1）求拋物線的解析式；1時，求t的值；NQ2（3）如圖，連接AM交BC于點D，當PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值【分析】（1）求直線yx4與x軸交點B，與y軸交點C，用待定系數法

46、即求得拋物線解析式（2）根據點B、C坐標求得OBC45，又PEx軸于點E，得到PEB是等腰直角三角形，由PB2t求得BEPEt，即可用t表示各線段，得到點M的橫坐標，進而用m表示點M縱坐標，求得MP的長根據MP/CN可證MPQNCQ，故有MPMQ1，把用t表示的MP、NC代入即得到關于t的方程，NCNQ2求解即得到t的值（3）因為不確定等腰PDM的底和腰，故需分3種情況討論：若MDMP，則MDPMPD45，故有DMP90，不合題意；若DMDP，則DMPMPD45，進而得AEME，把含t的式子代入并解方程即可；若MPDP，則PMDPDM，由對頂角相等和兩直線平行內錯角相等可得CFDPMDPDMC

47、DF進而得CFCD用t表示M的坐標，求直線AM解析式，求得AM與y軸交點F的坐標，即能用t表示CF的長把直線AM與直線BC解析式聯立方程組，解得x的值即為點D橫坐標過D作y軸垂線段DG，得等腰直角CDG，用DG即點D橫坐標，進而可用t表示CD的長把含t的式子代入CFCD，解方程即得到t的值【解答】解：（1）直線yx4中，當x0時，y4C(0,4)當yx40時，解得：x4B(4,0)拋物線yx2bxc經過B，C兩點164bc0b3解得：00c4c4拋物線解析式為yx23x4（2）B(4,0)，C(0,4)，BOC90OBOCOBCOCB45MEx軸于點E，PB2tBEP90RtBEP中，sinP

48、BEPEMP2PB2BEPE2PBt2xxOEOBBE4t，yPEtMPP點M在拋物線上y(4t)23(4t)4t25tMMPyyt24tMPPNy軸于點NPNONOEPEO90四邊形ONPE是矩形ONPEtNCOCON4tMP/CNMPQNCQMQ1NCNQ2t24t14t2解得：t1，t4（點P不與點C重合，故舍去）122t的值為12（3）PEB90，BEPEBPEPBE45MPDBPE45若MDMP，則MDPMPD45DMP90，即DM/x軸，與題意矛盾若DMDP，則DMPMPD45AEM90AEMEyx23x40時，解得：x1，x412A(1,0)由（2）得，x4t，MEyt25tMM

49、AE4t(1)5t5tt25t解得：t1，t5(0t4，舍去）12若MPDP，則PMDPDM如圖，記AM與y軸交點為F，過點D作DGy軸于點GCFDPMDPDMCDFCFCDA(1,0)，M(4t,t25t)，設直線AM解析式為yaxmam0at解得：a(4t)mt25tmt直線AM:ytxtF(0,t)CFOCOF4ttxtx4，解得：x4tt1DGx4tDt1CGD90，DCG45CD2DG2(4t)t14t2(4t)t1解得：t21綜上所述，當PDM是等腰三角形時，t1或t21【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，解二元一次方程組和一元二次方程，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和

50、性質，涉及等腰三角形的分類討論，要充分利用等腰的性質作為列方程的依據12已知：如圖，拋物線yax2bx3與坐標軸分別交于點A，B(3,0)，C(1,0)，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點（1）求拋物線解析式；（2）當點P運動到什么位置時，PAB的面積最大？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE/x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由【分析】（1）用待定系數法即可求拋物線解析式（2）設點P橫坐標為t，過點P作PF/y軸交AB于點F，求直線AB解析式，即能用t表示點F坐標，進而表示PF的長把PAB分成

51、PAF與PBF求面積和，即得到PAB面積與t的函數關系，配方即得到t為何值時，PAB面積最大，進而求得此時點P坐標（3）設點P橫坐標為t，即能用t表示PD的長根據對稱性可知點P、E關于拋物線對稱軸對稱，用中點坐標公式可得用t表示點E橫坐標，進而用t表示PE的長（注意點P、E左右位置不確定，需分類討論）由于PDE要成為等腰直角三角形，DPE90，所以PDPE，把含t的式子代入求值即得到點P坐標【解答】解：（1）拋物線yax2bx3過點B(3,0)，C(1,0)9a3b30a1解得：ab30b2拋物線解析式為yx22x3（2）過點P作PHx軸于點H，交AB于點Fx0時，yx22x33A(0,3)直

52、線AB解析式為yx3點P在線段AB上方拋物線上設P(t，t22t3)(3t0)F(t,t3)PFt22t3(t3)t23tPBF1SPABSPAFS1133327PFOHPFBHPFOB(t23t)(t)22222228215，PAB面積最大點P運動到坐標為(，3)4（3）存在點P使PDE為等腰直角三角形設P(t，t22t3)(3t0)，則D(t,t3)PDt22t3(t3)t23t拋物線yx22x3(x1)24對稱軸為直線x1PE/x軸交拋物線于點Eyy，即點E、P關于對稱軸對稱EPxExP12x2x2tEPPE|xx|22t|EP22PDE為等腰直角三角形，DPE90PDPE當3t1時，P

53、E22tt23t22t解得：t1（舍去），t212P(2,3)當1t0時，PE22tt23t22t解得：t517，t517（舍去）12P(5175317，)22綜上所述，點P坐標為(2,3)或(517，5317)時使PDE為等腰直角三角形2213拋物線yx2bxc與x軸交于A(1,0)，B(5,0)兩點，頂點為C，對稱軸交x軸于點D，點P為【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，求二次函數最值，等腰直角三角形的性質，中點坐標公式，一元二次方程的解法分類討論進行計算時，要注意討論求得的解是否符合分類條件，是否需要舍去29拋物線對稱軸CD上的一動點（點P不與C，D重合）過點C作直線PB的垂線交PB

54、于點E，交x軸于點F（1）求拋物線的解析式；（2）當PCF的面積為5時，求點P的坐標；（3）當PCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標（2）確定PB、CE的表達式，聯立求得點F(22m，0)，SPCFPCDF(2m)(22)5，【分析】（1）函數的表達式為：y2(x1)(x5)，即可求解；9112m3223即可求解；（3）分當CPCF、CPPF、CFPF三種情況，分別求解即可【解答】解：（1）函數的表達式為：y2(x1)(x5)2x28x10；9999（2）拋物線的對稱軸為x2，則點C(2,2)，設點P(2,m)，將點P、B的坐標代入一次函數表達式：ysxt并解得：函數PB的表達式為：y1m

55、x5m，33CEPB，故直線CE表達式中的k值為3，m將點C的坐標代入一次函數表達式，同理可得直線CE的表達式為：y3x(26)，mm解得：x22m，3故點F(22m，0)，3PCFPCDF(2m)(22)5，S112m223CP2(2m)2，CF2(2m)24，PF2()2m2，解得：m5或3，故點P(2,3)或(2,5)；（3）由（2）確定的點F的坐標得：2m33，當CPCF時，即：(2m)2(2m)24，解得：m0或36(0舍去）35當CPPF時，同理可得：m9313，2當CFPF時，同理可得：m2（舍去2)，故點P(2,36)或(2,2)或(2,9313)或(2,9313)522【點評

56、】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、等腰三角形性質、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏14如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線yax2bxc與y軸交于點A(0,6)，與x軸交于點B(2,0)，C(6,0)（1）直接寫出拋物線的解析式及其對稱軸；（2）如圖2，連接AB，AC，設點P(m,n)是拋物線上位于第一象限內的一動點，且在對稱軸右側，過點P作PDAC于點E，交x軸于點D，過點P作PG/AB交AC于點F，交x軸于點G設線段DG的長為d，求d與m的函數關系式，并注明m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若PDG的面積為49，12求點P的坐標；設M為

57、直線AP上一動點，連接OM，直線OM交直線AC于點S，則點M在運動過程中，在拋物線上是否存在點R，使得ARS為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M及其對應的點R的坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）已知拋物線與x軸交點B、C，故可設交點式，再把點A代入即求得拋物線解析式用配方法或公式求得對稱軸（2）過點P作PHx軸于點H，由PDAD于點E易證PDH45，故DHPHn由PG/AB易證PGHABO，利用對應邊成比例可得GHBOPH2PH1n，把含m的式子代入dDHGH即AO63得到d與m的函數關系式，再由點P的位置確定2m6，求得n的值（舍去負值），再利用nm22m6（3）用n表示DG、PH

58、，代入SPDG1491DGPH2122解關于m的方程即求得點P坐標因為ARS為等腰直角三角形且AS與y軸夾角為45，故AR與y軸夾角為45或90由于不確定ARS哪個為直角頂點，故需分3種情況討論，畫出圖形，利用45或90來確定點R、S的位置，進而求點R、S坐標，再由S的坐標求直線OM解析式，把直線OM與直線AP解析式聯立方程組，解得點M坐標【解答】解：（1）拋物線與x軸交于點B(2,0)，C(6,0)設交點式ya(x2)(x6)拋物線過點A(0,6)12a6a12拋物線解析式為y(x2)(x6)x22x6(x2)28111222拋物線對稱軸為直線x2（2）過點P作PHx軸于點H，如圖1PHD90點P(m,n)是拋物線上位于第一象限內的一動點且在對稱軸右側2m6，PHnm22m6，n0PH12OAOC6，AOC90ACO45PDAC于點ECED90CDE90ACO45DHPHnPG/ABPGHABOPGHABOGHA