1、第一章解三角形習題課正弦定理和余弦定理的綜合應用課后篇鞏固提升基礎鞏固1.在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,則邊AC上的高為()A.322B.332C.32D.33解析由BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,可得13=9+16-234cos A,得cos A=12.A為ABC的內角,A=3,邊AC上的高h=ABsin A=332=332.答案B2.已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若mn,則角B的大小為()A.30B.60C.120D.150解析mn,(a+b)(sin B-sin

2、A)-sin C(3a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(3a+c),即a2+c2-b2=-3ac.由余弦定理的推論,得cos B=-32.又B為ABC的內角,B=150.故選D.答案D3.已知在ABC中,sin A+sin B=(cos A+cos B)sin C,則ABC的形狀是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析根據正弦定理,原式可變形為c(cos A+cos B)=a+b,所以cb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac=a+b,整理得a2+b2=c2,可得C=90.故選D.答案D4.在ABC中,BAC=6,AB=33,AC=3,點D在邊

3、BC上,且CD=2DB,則AD=()A.19B.21C.5D.27解析設AD=x.因為BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=27+9-233332=9,所以BC=3,所以BD=1,CD=2.解法一因為cosADB=cos(-ADC),即cosADB=-cosADC,所以x2+1-272x=-x2+4-94x,所以x=19,即AD=19.解法二因為AC=BC=3,BAC=6,所以BCA=23,所以x2=AC2+CD2-2ACCDcosBCA=32+22-232cos23=19,故x=19,即AD=19.答案A5.已知ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bcos C=2a+

4、c,若b=3,則ABC的外接圓面積為()A.48B.12C.12D.3解析2bcos C=2a+c,若b=3,cos C=2a+c2b=a2+b2-c22ab,可得a2+c2-b2=-ac,cos B=a2+c2-b22ac=-12,由B(0,),可得B=23,設ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理可得2R=bsinB=332,解得R=3,可得ABC的外接圓面積為S=R2=3.故選D.答案D6.設ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,則角C=.解析由3sin A=5sin B結合正弦定理,得3a=5b.因為b+c=2a,所以b=35a,c=

5、75a.由余弦定理的推論,得cos C=a2+35a2-75a22a35a=-12,故C=120.答案1207.在ABC中,B=60,a=1,c=2,則csinC=.解析由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=3,b=3,由正弦定理得,csinC=bsinB=332=2.答案28.已知ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acos B=5bcos A,asin A-bsin B=2sin C,則邊c的值為.解析acos B=5bcos A,由余弦定理的推論可得aa2+c2-b22ac=5bb2+c2-a22bc,整理可得3(a2-b2)=2c2.又asin A-bsin

6、B=2sin C,由正弦定理可得a2-b2=2c,6c=2c2,解得c=3.答案39.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值;(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R為ABC外接圓半徑,則2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=

7、3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A0,因此cos B=13.(2)由BABC=2,得accos B=2.由(1)知cos B=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.能力提升1.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且ccos A+acos C=2c,若a=b,則sin B等于()A.154B.14C.34D.32解析ccos A+acos C=2c,由正弦定理可得sin Ccos A+sin Acos C=2sin C,sin(A+C)=2sin C,si

8、n B=2sin C,b=2c.又a=b,a=2c.cos B=a2+c2-b22ac=4c2+c2-4c222c2=14,B(0,),sin B=1-cos2B=154.答案A2.如圖,在ABC中,B=45,D是BC邊上一點,AD=5,AC=7,DC=3,則AB的長為()A.615B.5C.562D.56解析在ADC中,由余弦定理的推論,得cosADC=AD2+DC2-AC22ADDC=25+9-49253=-12,所以ADC=120,則ADB=60.在ABD中,由正弦定理,得AB=ADsinADBsinB=53222=562.答案C3.在ABC中,三邊上的高依次為113,15,111,則A

9、BC為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形解析設ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,113,15,111分別為a,b,c上的高.因為SABC=12a113=12b15=12c111,所以可設a=13k,b=5k,c=11k(k0).由余弦定理的推論,得cos A=(5k)2+(11k)2-(13k)225k11k=-231100,則A2,所以ABC為鈍角三角形,故選C.答案C4.在ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B=3,ABBC=-2,且滿足sin A+sin C=2sin B,則該三角形的外接圓的半徑R為()A.433B.233C.3D.23

10、解析因為ABBC=accos(-B)=-12ac=-2,所以ac=4.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B.又因為sin A+sin C=2sin B,所以a+c=2b.所以(a+c)24=(a+c)2-3ac,所以3(a+c)24=12,所以(a+c)2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=bsinB=2sin60=433,所以R=233.答案B5.在ABC中,B=3,AC=3,且cos2C-cos2A-sin2B=-2sin Bsin C,則BC=.解析cos2C-cos2A-sin2B=-2sin Bsin C,(1-sin2C)-(1-sin2A)-sin2B=-2s

11、in Bsin C,-sin2C+sin2A-sin2B=-2sin Bsin C,由正弦定理可得a2-c2-b2=-2bc,cos A=22,A=4.由正弦定理可得BCsinA=ACsinB=332=2,BC=222=2.答案26.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=3,3+bc=sinC+sinAsinC+sinA-sinB,則b+2c的最大值等于.解析原等式可化為a+bc=c+ac+a-b,整理,得a2=b2+c2-bc,故cos A=b2+c2-a22bc=12,由A(0,),可得A=3.因為bsinB=csinC=asinA=2,可得b+2c=2sin B+4si

12、n C=2sin B+4sin23-B=4sin B+23cos B=27sin(B+),其中為銳角,tan =32.由于B0,23,故當B+=2時,b+2c取得最大值為27.答案277.在ABC中,內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,且滿足cacos B-12b=a2-b2.(1)求角A的大小;(2)若a=3,求b+c的取值范圍.解(1)cacos B-12b=a2-b2,a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,即a2=b2+c2-bc.a2=b2+c2-2bccos A,cos A=12.又A(0,),A=3.(2)由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=2,b=2sin B

13、,c=2sin C,b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin(A+B)=2sin B+2sin Acos B+2cos Asin B=3sin B+3cos B=23sinB+6.B0,23,B+66,56,sinB+612,1,b+c(3,23.8.在ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=3,試判斷ABC的形狀.解(1)2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,cos A