1、三角形的五心在本節中將分三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應用別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,這點稱為三角形的外心（外接圓圓心）三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內；直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內心三角形的三條內角平分線交于一點,這點稱為三角形的內心（內切圓圓心）三角形的內心到三邊的距離相等,都等于三角形內切圓半徑內切圓半徑r的計算1S設三角形面積為S,并記p=2（a+b+c）,則r=S

2、2p特別的，在直角三角形中，有r=2（a+bc）.3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點，這點稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結論：三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為1：2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點，這點稱為三角形的垂心.斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點.所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組”.Ia5、三角形的旁心三角形的一條內角平分線與另兩個外角平分線交于一點，稱為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個三角形都有三個旁切圓.A類例題例1證明重心定理。證法1如圖，D、E、F為三邊中點，設BE、CF交于G,連接EF，A

3、FE顯然EF=y1BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又設AD、BE交于G，同理可證GB=2GE,GA=2GD，即卩G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G、G重合.即三條中線AD、BE、CF相交于一點G.EF、FH、HI、IE，因為EF=y1BC,HI2BC,證法2設BE、CF交于G,BG、CG中點為H、I.所以EFHI為平行四邊形所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF同證法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共點.即定理證畢.鏈接證明外心、內心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設AB、BC的中垂線交于點O,則有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂線上

4、，因為O到三頂點的距離相等，故點O是AABC外接圓的圓心.因而稱為外心.內心定理的證明：如圖，設ZA、ZC的平分線相交于I、過I作ID丄BC,IE丄AC,IF丄AB,則有IE=IF=ID.因此I也在ZC的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點.上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學們自己完成.例2證明垂心定理分析我們可以利用構造外心來進行證明。證明如圖，AD、BE、CF為AABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成AABC,顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為ACAB的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證.鏈接（1）對于三線共點問題還可以利用Ceva定理進行證明，同

5、學們可以參考第十八講的內容。（Ceva定理）設X、Y、Z分別為AABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于點的充要條件是AZBXCY=1是ZBXCYA（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（三3）邊形某頂點同除該點以外的nT個頂點所決定的nT邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當nT=2時，nT邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線（若有重合，只算一條）相交于一點，各中線被該點分為：（n-1）:1的兩條線段，這點叫n邊形的重心.請同學們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。NGC情景再現1.設G為ABC的重

6、心，M、N分別為AB.CA的中點，求證:四邊形GMAN和AGBC的面積相等.2.三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍.B類例題例3過等腰AABC底邊BC上一點P引FMIICA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點P關于MN的對稱點P.試證：P點在AABC外接圓上.（杭州大學中學數學競賽習題）PA分析分析點M和N的性質，即能得到解題思路。MBCP證明由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點M是APEP的外心，點N是厶PPC的外心.于是有ZBPP=2zBMP=*ZBAC,ZPPC=|zpNC=2zbAC.ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.從而，P點與A、B、C共

7、圓，即P在AABC外接圓上.鏈接本題可以引出更多結論，例如PP平分ZBPC、PB:PC=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是AABC的三條中線，P是任意一點.證明：在厶P4D,APBE,PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.(第26屆莫斯科數學奧林匹克)證明設G為A4BC重心，直線PG與AB，BC相交從A，C，D，E，F分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F.AFFGEEDDCCCPA易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，有SPGeTSPGDSPGF.兩邊各擴大3倍，有例5設A1A2A3A4為OO內接四邊形，一1，一2它一4心八八jpvn的垂心求證：比，H2,H3,

8、H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置.證明連接a2H,A/,耳乞，記圓半徑為尺由厶a2aa4知AH21=2R=A2H=2RcosZA3A2A4；sinAAH21324231由AA3A4得A1H2=2RcosZA3A1a4.+Sapcf.,H,H2,H3,H4依次為A2A3A4A3A4Ai，（1992，全國高中聯賽）a4a1a2,a1a2a3A2A1H1OH2.EE=DD+FF.但ZA3A2a4=ZA3A1A4，故A2H1=a1H2.易證a2h1a1a2,于是，a2h1=7a1h2,故得H1H2A扎設HA與/A?的交點為M,故H1H2與人宀關于M點成中心對稱.同理，h2h3與a2a3,h3h4與

9、a3a4,h4h1與a4a1都關于m點成中心對稱.故四邊形h1h2h3h4與四邊形AA2AA4關于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2,H3,H4在同一個圓上后者的圓心設為Q,Q與O也關于M成中心對稱由O,M兩點，Q點就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯系，如：三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；三角形的外心到三頂點的距離相等；三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構成的三角形的垂心；三角形的內心、旁心到三邊距離相等；三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心;三角形的外心是它的中點三角形的垂心

10、；三角形的重心也是它的中點三角形的重心；三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現3.在AABC的邊AB,BC,CA上分別取點P,Q,S.證明以APS,ABQP,CSQ的外心為頂點的三角形與ABC相似.(B波拉索洛夫中學數學奧林匹克)K4如果三角形三邊的平方成等差數列,那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6H為A4BC的垂心，D,E,F分別是BC,CA,AB的中心.一個以H為圓心的0H交直線EF,分析證明FD,DE于A”A2,B,B2,q,C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數學奧林匹克訓練題)只須證明AA

11、=BB1=CC1即可.設BC=a,CA=b,AB=c,ABC外接圓半徑為R,OH的半徑為r.連HA,AH交EF于M.AA2=AM2+A,M2=AM2+r2MH2111=r2+(AM2MH2),B2AA1FH2MEBHDH1C1A2例7證明又AM2-HM2=(2aH)2-(AH-*AH)2=AHAHAH2二AH2ABAH2=cosAbcAH2,AH而SnABH=2RnAH2=4R2co沁a=2Rna2=4R2sin2A.sinA.AH2+a2=4R2,AH2=4R2a2.由、有b2+c2一a2AA2=r2+bc(4R2a2)12bc=2(a2+b2+c2)4R2+r2.同理，BB1=2(a2+b

12、2+c2)4R2+r2,CC2=1(a2+b2+c2)4R2+r2.12故有AA1=BB1=CC1.已知0O內接ABC,0Q切AB,AC于E,F且與0O內切.試證:心.（B波拉索洛夫中學數學奧林匹克）CC2B1EF中點P是ABC之內r如圖，顯然EF中點P、圓心Q,bc中點K都在ZBAC平分線上易知AQ=-sin:QKAQ=MQQN,MQQN(2R一r)rr/sina=sina(2R一r).由RtEPQ知PQ=sina-r.PK=PQ+QK=sina-r+sina(2R一r)=sina-2R.PK=BK.利用內心等量關系之逆定理，即知P是AABC這內心.說明在第20屆IMO中，美國提供的一道題實

13、際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8在直角三角形中，求證：r+r+rb+r=2p.式中r，r，rb，r分別表示內切圓半徑及與a，b，c相abcabc切的旁切圓半徑，p表示半周.(杭州大學中學數學競賽習題)證明設RtAABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).*.*p(p-c)=2(a+b+c)*(a+b-c)rcO3AK=4(a+b)2-c2=2。方；OrErCaO1O2rb(p-a)(p-b)=2(a+b+c)J(a-b+c)=4】c2(ab)2=gab.p(p-c)=(p-a)(p-b).觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-B

14、C=p-arc=CK=p.而r=2(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.例9由及圖形易證.M是ABC邊AB上的任意一點.r”r2,r分別是AAMC,BMC,ABC內切圓的半徑，q”rr亠=.(IMO-12)qq2rq2,q分別是上述三角形在ZACB內部的旁切圓半徑.證明2q1證明對任意ABC，由正弦定理可知AOD=OA性=ABBsin-2sinAOBAsin-2A.E=ABABsin，sin-22.A+Bsin2OE=ABABcoscos-22.A+Bsin2ODABOE亦即有rACMACNBB亠=tgtgtgtgq2

15、2222ABr=tg2tg2q例10銳角AABC中，O,G,H分別是外心、重心、垂心設外心到三邊距離和為d,重心到三邊外距離和為d，垂心到三邊距離和為d.重垂求證：1d+2d=3d.垂外重證明設ABC外接圓半徑為1,三個內角記為A,B,C.易知d=OO+OO+OO外123=cosA+cosB+cosC,2d=2(cosA+cosB+cosC).外：AH=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC,同樣可得BH2CH.：.3d=ABC三條高的和重=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)BH=2,sinBCH.HH廠cosCBH=2cosBcosC.同樣可得hh2

16、,hh3.d=HH+HH+HH垂123=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)OGIH2O1G1H1欲證結論，觀察、,須證（cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.說明本題用了三角法。情景再現設在圓內接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC,CD二DE,EF=FA.試證：（1）AD,BE,CF三條對角線交于一點；AB+BC+CD+DE+EF+FA三AK+BE+CF.（1991,國家教委數學試驗班招生試題）ABC的外心為0,AB=AC,D是AB中點，E是AACD的重心.證

17、明OE丄CD.（加拿大數學奧林匹克訓練題）ABC中ZC=30,0是外心，I是內心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：0I丄DE,OI=DE.（1988，中國數學奧林匹克集訓題）習題171.在AABC中，乙A是鈍角，H是垂心，且AH=BC,則cosZBHC=（）A22B.22C.33D.如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的（）A.內心B.外心C.重心D.垂心（1996年全國初中聯賽）（1997年安徽省初中數學競賽）若0AABC周長.（1982，澳大利亞數學奧林匹克）T的三邊分別等于AT的三條中線，且兩個三角形有一組角相等求證這兩個三角形相似

18、.（1989，捷克數學奧林匹克）I為AABC的內心.取A/BC,AICA,AIAB的外心O,O2，o3.求證：O1O2O3與aabc有公共的外心.（1988，美國數學奧林匹克）AD為aabc內角平分線.取aabc,ABD,ADC的外心O,O,O2.則厶OO02是等腰三角形.12.AABC中ZCABC周長.（1982,澳大利亞數學奧林匹克）2.T的三邊分別等于厶T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等求證這兩個三角形相似.（1989,捷克數學奧林匹克）3.I為AABC的內心.取IBC,ICA,IAB的外心OO2，O3.求證：OO2O3與ABC有公共的外心.（1988，美國數學奧林匹克）AD為AABC內角平分線.取ABC,AABD,AADC的外心O,OO2.則OOO2是等腰三角形.ABC中ZC90,從AB上M點作