1、解題方法 7：解答綜合題 綜合題是指在一道題中將代數、 幾何等內容進行綜合考查的題目,這類題目有這樣一些特點：1、常常作為中考數學試卷的壓軸題,通常在一個大題下,以幾個小題的形式顯現；2、通常是全卷最難的題目,但每個小題的難度卻不相同,往往（1）小題可能比前面的題目要簡潔許多,而（度增加；2）小題、（3）小題的難度會逐步以較大幅3、題目的閱讀量不肯定很大,但運算量卻較大,對運算的嫻熟程度要求較 高,稍有不慎可能會做而做錯；4、題目放在最終,時間緊急,心理壓力大,不簡潔集中精力,往往不能很 好的發揮自己的水平；依據這些題目的特點,提出以下建議：對于中等水平的考生,可以舍棄這些題目的解答,將時間用

2、在前 110 分的 題目上,完成這些題目的解答后將剩余的時間用來檢查前面題目的解答是否正 確,保證將會做得題目做對,將分拿到手；對于平常程度較好的同學, 在保證前面分能夠拿到手之后仍有時間,不妨完 成在最終這道題目的前面的小題,爭取做對,多拿一些分；對于數學成果特殊優秀的同學, 完成前面的題目用不了許多時間,會留下很 多時間,但不應急于解答壓軸題, 也應當先檢查前面解答題目的過程和結果是否 正確,確保前面分拿到手,然后集中精力完成最終一題的解答；本文中挑選了一些題目和解答供有才能的同學選用；例 1 如圖,矩形 ABCD 的長、寬分別為3 2和 1,且OB1,點 E3 2, ,2連接 AE,ED

3、（1）求經過 A, ,D三點的拋物線的表達式；（2）如以原點為位似中心,將五邊形AEDCB 放大,使放大后的五邊形的邊長是原五邊形對應邊長的 3 倍在下圖網格中畫出放大后的五邊形 A/E /D /C /B /；（3）經過 A,E,D 三點的拋物線能否由（ 1）中的拋物線平移得到？請說明理由y解：（1）設經過 A, ,D 三點的拋物線為 76y ax 2bx c（a 0）54A 1,32,E 32, ,2 D 2,32321 A EDB C xa b c 3 O 1 2 3 4 5 6 729a 3b c 2,4 24 a 2 b c 32a 2解得 b 6c 52過 A, ,D 三點的拋物線的

4、表達式為 y 2 x 26 x 52確定二次函數的解析式通常使用“ 待定系數法”程組；y,關鍵是正確列、解多元方（2）7 6AEx5 4 3ADED CBC21BO1 2345 67（3）不能理由如下：設經過 A,E,D三點的拋物線的表達式為ya x2b xc（a / 0）,E9, ,6D6,92,A3,92299 a 3 b c281 a 9 b c 64 2936 a 6 b c2解得 a 23a 2,a 23 a a經過 A,E,D 三點的拋物線不能由（ 1）中拋物線平移得到留意：解題中使用的 a a 作為依據來說明 “ 經過 A,E,D 三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到” ,

5、a a 說明兩條拋物線的開口大小不同,因此,兩條拋物線的外形不同；此題仍可以這樣來解：過 A, ,D三點的拋物線的表達式為y22 x6x5= -2（x- 2 3 ）2+22點 E（3 ,2）正好是拋物線的頂點 2將 y= -2（x-3 ）2+2 變形為 y- 2= -2（x- 2 3 ）2令 y- 2=y / ,x-3 = x /2過 A、E、D 三點的拋物線為： y / = - 2 x /2E/（假設經過 A,E,D三點的拋物線由（ 1）中拋物線平移得到,那么點9 ,6）應當仍是拋物線的頂點,將點 2E（3 ,2）平移到點 E/（29 ,6）,橫 2坐標向右平移了 3 個單位,縱坐標向上平移

6、了4 個單位,這時拋物線的方程可以寫成： y / -4= -2 （x /- 3）2,就經過 A,E,D 三點的拋物線應是：y= - 2（x- 2 9 ）2+6,這時點 A /（3,9 ）應當在拋物線 y= - 2（x-2 9 ）2+6 上,但將 2其坐標代入等式不成立；故經過 A,E,D 三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到；留意：這里使用了“ 反證法”,即提出與結論相反的假設,然后進行推理,推出錯誤,反究錯誤產生的緣由是“ 假設” 錯誤；因此原結論成立；也就是說,我們從上面的草圖中看出“經過 A,E,D三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到 ” ,這時,為了說明這個結論是正確的,我們提

7、出了與結論相反的“ 假設” ,然后進行推理,最終,點 A /（3,9 ）應當在拋物線2y= -2（x- 3）2+8 上,其坐標代入拋物線的解析式后等式應當成立,但實際代入后不成立, 說明前面肯定顯現了錯誤, 但整個推理過程都是正確的,究其錯誤原因是假設錯誤,由此可得出結論“經過 A,E,D 三點的拋物線不能由（ 1）中拋物線平移得到；”另外,將點 M （x,y）向右平移 2 個單位后,得到點 M/（x-2,y ）,再將點M/向上平移 3 個單位后,得到點 M/（X-2,Y-3 ）；同理,拋物線 y / = -2 x /2 上所有點橫坐標向右平移了3 個單位,縱坐標向上平移了4 個單位,這時拋物

8、線的方程可以寫成： y / -4= -2 （x /-3） 2；例 2 如圖,拋物線 y 1 2 x2bx2 與 x 軸交于 A,B 兩點,與 y 軸交于 Cy點,且 A1,0（1）求拋物線的解析式及頂點 D 的坐標；（2）判定ABC 的外形,證明你的結論；A O B x解：（1）點 A 10, 在拋物線 y 1x 2bx 2 上,C2 D1 1 2b 1 2 0,b 32 2拋物線的解析式為 y 1x 2 3x 22 22y 1 x 2 3 x 2 1 x 23 x 4 1 x 3 25,2 2 2 2 2 8頂點 D 的坐標為 3,252 8（2）當 x 0 時,y 2,C 0,2,OC 2

9、當 y 0 時,1x 2 3x 2 0,x 1 1,x 2 4,B 4 0, 2 2OA 1,OB 4,AB 5AB 225,AC 2OA 2OC 25,BC 2OC 2OB 220,2 2 2AC BC AB ABC 是直角三角形留意：1、利用“ 配方法” 求拋物線的頂點坐標是一種常用的方法,特殊是不使用y運算器時,不失為一種便利、快捷的方法；由于中考可P（ x,y）N以 使 用 計MO算器,我們不常常使用配方法,但上高中以后會常常用x到；2、如圖,在平面直角坐標系中,點的坐標與線段的程度有關,一般情形下x= PM, y= PN,只有點P 落在第一象限時才有x= PM, y= PN；因此,在

10、這類 題目中使用的點常常在第一象限；題目通過圖象上的點的坐標轉換為線段的長 度,將代數與幾何等聯系起來；3、在解這類題目時,正確的畫出函數圖象和從圖象（或圖形）中獵取信息 非常重要；在判定 ABC 的外形時,我們從圖形上可以直觀感覺到是直角三角形,然后使用勾股定理的逆定理去判定；例 3 如圖,在平面直角坐標系中,二次函數yax2bxca0的圖象的頂點為 D 點,與 y 軸交于 C 點,與 x 軸交于 A、B 兩點, A 點在原點的左側,B 點的坐標為（ 3,0）,OBOC ,tanACO1 3EAyBx（1）求這個二次函數的表達式O（2）經過 C、D 兩點的直線,與 x 軸交于點 E,在該拋物

11、線上是否存在這樣的點F,使以點 A、C、CDE、F 為頂點的四邊形為平行四邊形？如存在,懇求出點 請說明理由F 的坐標；如不存在,解：（1）方法一：由已知得： C（0,3）,A（1,0）A、B、C 三點在拋物線上a b c 0 a 19 a 3 b c 0 解得 b 2c 3 c 3y x 2 2 x 3方法二：點 A（ 1,0）, B（3,0）是拋物線與 x 軸的交點設拋物線為：y a x 1 x 3 （a0）點 C（0,-3）在拋物線上a（0+1）（0-3）=-3 解得a1yx22x3（2）方法一：存在,如圖中F 點y過 C 作 CF AE,CF 與拋物線相交于點F（x,-3）EACODF

12、BxD 是拋物線的頂點xD=b212 a2 133yD=4 acb24 1144 aD（1, 4）設過 C、D 的直線為： y=kx+b（k 0）bb334解得k1kb3yxE 點的坐標為（ 3,0） AE=2 F（x,-3）在拋物線yx22x3上F（2, 3）CF=2 CF AE,CF=AE=2 以 A、C、E、F 為頂點的四邊形為平行四邊形存在點 F（2, 3）F2y方法二：同上,可求得E（ 3,0）如圖,以 A、C、E 為頂點的平行四邊形的第四個頂點為F1、F2、EAOxF3,明顯,只有 F1 在拋物線上F3CF1存在點 F（2,3）留意：解（ 2）的方法一利用點坐標來證明“ 有一組對邊

13、平行且相等的四邊形是平行四邊形” ；這里由于過 C 作 CF AE,這時,點 C 與點 F 的縱坐標相等；只要求出點 F 的橫坐標,就可以算出線段 CF 的長度；解（ 2）的方法二是一種傳統方法,如上圖可知,在平面直角坐標系中,如果已知一個平行四邊形的三個頂點, 那么這個平行四邊形的第四個頂點就有三種情形；例 4 如圖,在梯形 ABCD 中, ADBC,AB DC AD ,C 60 , AE BD 于點 E,F 是 CD 的中點, DG 是梯形 ABCD 的高（1）求證 :四邊形 AEFD 是平行四邊形；（2）設 AE x ,四邊形 DEGF 的面積為 y,求 y 關于 x 的函數關系式 .

14、（1）證明： AB DC梯形 ABCD 為等腰梯形 C=60BAD ADC 120在 ABD 中, AB AD BAD ADC 120ABD ADB 30BDC=90 AE BDAEC 90 BDC=AED =90AE DF.在 Rt AED 中, ADE =30AE= 12 AC F 是 CD 的中點DF= 1 CD= 1 AC=AE 2 2在四邊形 AEFD 中, AE DF AE. =DF 四邊形 AEFD 是平行四邊形 . （2）解：在 Rt AED 中, ADB30 AExAD2x . 在 Rt DGC 中 C=60sin60 = DG CDDG=CDsin60 =3 x DGBC

15、DGEFS 四邊形 DEGF= 1 2EF DG=3 x2留意：這道題很有意思,在圖中 ABE、ADE、FED、FEG、CDG 這五個三角形全等；它們都是有一個 例 5 如圖,四邊形60 角,有一條長直角邊相等的直角三角形；ABCD 中, ADCD, DAB ACB90,過點 D作 DEAC,垂足為 F,DE 與 AB 相交于點 E已知 AB15 cm,BC9 cm,P 是射線 DE 上的動點設 DPx cm（x0）,四邊形 BCDP 的面積為 y cm2（1）求 y 關于 x 的函數關系式；（2）當 x 為何值時,PBC 的周長最小,并求出此時y 的值ECB解：（1） DEAC DFC FC

16、B90DBC DFP四邊形 BCDP 是梯形在 Rt ABC 中AC 2+BC 2=AB 2FACAB2BC21529212A在 ACD 中, DA=DCDFACCF=AF=6 y1（2x9）63 x27（x0）D（2） BC9（定值）最小要使 PBC 的周長最小,只需PBPCAFEPCB點 P 是線段 AB 垂直平分線上的點PA=PCPB+PCPB+PA故只要求 PB+PA 最小如圖,明顯當 P 與 E 重合時 PB+PA 最小 此時 x=DPDE,PB+PAAB 在 DAE 和 ABC 中BC DFAEF=BDFA=ACB=90 DAE ACB AD DEAC即AD12ABx15在 AFE

17、 和 ACB 中FAE=CABAFE=ACB=90 AFE ACB EF AEBC即6 AE12AE=15 2AB15在 Rt ADE 和 CAB 中當 AEF=B tanAEF=tanB y129AD AEAC即AD12BC1592AD=10 x252x25時, PBC 的周長最小,此時22留意：這道題的其次問的解答太復雜,可以不看；但是,這里介紹了一種求 線段長度的方法； 我們知道,可以利用“ 全等三角形對應邊相等”求線段的長度,實際上,仍可以利用“ 相像三角形對應線段成比例” 求線段的長度；題目中先后 兩次使用相像三角形；例 6 如圖, P 是邊長為 1 的正方形 ABCD 對角線 AC

18、 上一動點（ P 與 A、C 不重合）,點 E 在射線 BC 上,且 PE=PB. 設 AP=x, PBE 的面積為 y. （1）求出 y 關于 x 的函數關系式,并寫出x 的取值范疇；（2）當 x 取何值時, y 取得最大值,并求出這個最大值. PD解：（1）過 P 作 PFBC,垂足為 FA在 Rt CPF 和 Rt CAB 中PCF=ACBCFP=CBA=9022x CPF CABPFBFECCPCFCACBABCFPF11CF=PF=1-2 x BE=2BF= 2 x2y=12 x（1-2 x ）= 1 x 2 2 x （0 x2 ）2 2 2 2（2）y= 1x 2 2 x = y

19、1x 2 2x 1 x 2 2 1 . 2 2 2 2 2 2 4a 10 當 x 2 時, y最大值 1 . 2 2 4留意：在這個問題中二次函數 y= 1x 2 2 x（0 x2 ）中自變量 x 有2 2實際意義 - 線段 AP 的長度,且 0 x2 ,因此,這個函數的圖象只能是二次函數 y=1x22x圖象上 0 x2 的一段,這時拋物線的頂點（2,1 4）222正好在這一段上；例 7 如圖,直線 y 4x 4 和 x 軸, y 軸的交點分別為 B,C,點 A的坐3標是 2 0, 動點 M 從點 A 動身沿x軸向點 B 運動,同時動點 N 從點 B 動身沿線段 BC 向點 C 運動,運動的速度均為每秒 點時,它們都停止運動1 個單位長度當其中一個動點到達終（1）試說明ABC 是等腰三角形；（2）設點 M 運動 t 秒時,MON 的面積為 S 求 S 與 t 的函數關系式；（3）當點 M 在線段 OB 上運動時,是否存在 S 4 的