1、齊次線性方程組12本章主要內容齊次方程組非齊次方程組線性方程組的幾何應用 即除幾何應用外，都是在 一般的數域 F上討論線性方程組。35.1.1 齊次線性方程組的表示形式陣4即5齊次方程組的內容只有零解的充要條件；無窮多解的充要條件；解的性質及解集合的結構；求解方法.65.1.2 齊次線性方程組有解的條件證 AX = 0 有非零解 x11+x22+ xnn =0有非零解 A的列向量組1,2 ,n線性相關 r(A)= r(1,2 ,n)n.設 階矩陣, 則齊次性方程組 AX= 0 有非零解 r(A)n; AX= 0 只有零解 r(A)=n.定理5.1AX = 0只有零解 x11+x22+ xnn

2、=0只有零解 A的列向量組1,2 ,n線性無關 r(A)= r(1,2 ,n)=n.75.1.3 齊次方程組解的性質及結構若有非零解, 這些解具有哪些性質?解集合的整體結構如何?問題也是 AX=0 的解.由 是AX=0的解, 即性質1也是 AX = 0 的解.性質2 由 是AX = 0的解, 即 k, 8定理5.2AX = 0 的解集合構成向量空間, 記為N(A), 稱其為AX = 0的解空間. 若AX = 0 有非零解, 則這些解的任意線性組合仍是解, 所以必有無窮多個解.由性質1,2可知解集合對線性運算是封閉的.所以得到如下結果:只要找到N(A)的一個基(基礎解系),就能表示所有解.注 A

3、X = 0與 PAX = 0 是同解方程組， 其中P為可逆矩陣.9則稱 為AX = 0的基礎解系.定義 r(A)= r n ,若AX = 0的一組解為 (1) 線性無關;(2) AX = 0 的任一解都可由這組解線性表示.稱的通解為AX = 0（其中k1,k2, kn-r為任意常數).齊次線性方程組的關鍵問題就是求通解，而求通解的關鍵問題是求基礎解系.,且滿足：10定理5.3 設 任一基礎解系中均含有n r 解向量,為N(A)的一個基,即(1)若 則 AX = 0沒有基礎解系;(2)若 則 AX = 0有基礎解系,且dim(N(A)=證N(A)=0 (2)(1)則 AX = 0沒有基礎解系.(

4、求基礎解系的方法)111.不妨設 A 的前r 個列向量線性無關C為行最簡形矩陣. 12得同解方程組CX=0, 即2. 前r 個變量為基本未知量, 其余的n-r個 變量為自由未知量. (為個)令133.代入同解的方程組CX=0中得從而得到AX = 0的n-r個解為14且線性無關.設是 AX = 0的任一解,15下證 線性相關.令 ,則所以 線性相關,于是 可由 線性表示.所以 是N(A)的一個基,dim(N(A)=即16為方程組 AX = 0的基礎解系.這樣求出的其中 為任意常數.AX = 0的通解為故17總 結 (1)是解;(2)線性無關;(3)n-r(A) 個.2.求通解的三步:（行最簡形）

5、; 寫出同解方程組CX =0.(3) 寫出通解(2) 求出CX =0的基礎解系 ;(1)1.基礎解系的三要素:其中 為任意常數.18例1求下列方程組的基礎解系及通解:解 有無窮多個解.19得同解方程組令得基礎解系20方程組的通解是:其中 k1, k2 是任意常數. 21例2求下列方程組的基礎解系:解用初等行變換化系數矩陣為階梯形:有無窮多個解.22得同解方程組為:23令代入上述方程組解得基礎解系為:24例3已知是的基礎解系,若,討論t滿足什么條件時,也是的基礎解系.解是的解,且也是4個.只須證線性無關.25線性無關即所以當t 1時,也是的基礎解系.26例4已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且

6、r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.解 由r(A)=n-1知AX=0的基礎解系有一 個非零解向量. 又即為所求通解.k為任意常數275.2 非齊次線性方程組285.2.1非齊次線性方程組的表示形式稱為 的導出組(2)陣增廣矩陣： (A b)2930非齊次線性方程組的內容方程組有解的條件； 有唯一解、無窮多解的條件；解的性質及解集合的結構； 求解方法.315.2.2 非齊次線性方程組有解的條件AX = b 有解 x11+x22+ xnn = b 有解 b可由A的列向量1,2 ,n線性表示 1,2 ,n與1,2 ,n, b等價 r(1,2 ,n) = r(1,2 ,n,b ) 定理5.4

7、方程組 AX = b有解r(A)=r(A b)注當r(A)r(A b )方程組 AX = b無解.r(A)=r(A b)得出定理325.2.3 非齊次方程組解的性質及結構若解不唯一, 這些解具有哪些性質? 解集合的整體結構如何?問題性質1 若1, 2是AX= b的解,A1=b, A2= b A(1- 2 )=A1- A2=b-b = 0 1-2是 AX= 0的解.性質2 若 是 AX= 0的解, 是AX = b的解 A( +) = A +A = 0+b = b + 是AX= b的解. 注 非齊次方程組有解的條件下,有兩種情況33定理5.5 (2) AX= b 有無窮多解 r(A)=r(A b)

8、 n,證 (1)AX = b有解,所以r(A)=r(A b)(1) AX = b有唯一解r(A)=r(A b) =n.又因為(1)的解唯一,由性質2知(2)有唯一零解,所以r(A)=n,即r(A)=r(A b) =n.兩個以上不同的解,則由性質1知(2)有非零因為 r(A)=r(A b) 所以(1)有解,若有解,這與r(A)=n矛盾.故(1)只有唯一解.34(2)AX = b有解,所以r(A)=r(A b)又因為(1)有無窮多解,由性質2知(2)有非零解,所以r(A) n,即r(A)=r(A b) n.因為r(A)=r(A b)所以(1)有解,又因為r(A) n,所以(2)有無窮多解,由性質2

9、知(1)有無窮多解. 注 當A為方陣時AX = b有唯一解35求 AX = b 的解1. AX = b與 PAX = Pb 是同解方程組.其中P 為可逆矩陣.2.用初等行變換求解不妨設前r列線性無關(增廣矩陣)36其中 所以知時,原方程組無解.時,原方程組有唯一解.時,原方程組有無窮多解.通解為為(2)的基礎解系， 為任意常數.的特解，為(1)37例1求下列方程組的通解解用初等行變換化增廣矩陣為行最簡形r(A)=r(A b)=25故有無窮多解.38導出組的基礎解系為:同解方程組為導出組有自由未知量 x3, x4 , x5, 在非齊次方程組中,令x3= x4= x5=0, 求出一個特解:39原方

10、程組的通解為:為任意常數.40例2 設X1,X2, Xt 是非齊次線性方程組 AX =b0 的解向量,證明 X0=k1 X1+k2 X2+kt Xt 當k1 +k2+kt =1時, 是AX=b的解. 當k1 +k2+kt =0時, 是AX=0的解.證 AX0=A(k1 X1+k2 X2+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+ktAXt =k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b 當k1+k2 +kt=1時, AX0 =b 當k1 +k2+kt =0時, AX0=0故4142例3由此可見, 非齊次方程組的解對于線性組合并不一定封閉,只有組合系數的和等于1的時候,解向量組的線性組合

11、才是解!是 的解,且滿足 設A是4階方陣, (0)是41矩陣,試求方程組 的通解.43解先求 的一個特解再求 的一個基礎解系44 且 線性無關,所以的一個基礎解系.故原方程組 的通解為為任意常數.45例4判斷下列命題是否正確, A為mn矩陣.(1)若AX=0只有零解,則AX=b有唯一解.答:錯, 因r(A)=n, r(A)= n = r(A b)?(2)若AX=0有非零解,則AX=b有無窮多解.答:錯, 因r(A)n, r(A)= r(A b) ?(3)若AX=b唯一解,則AX=0只有零解.答:對, r(A)= r(A b) =n.46(5)若r(A)=r =m,則AX=b必有解. 答:對,r

12、(A)=r =m= r(A b) .(6)若r(A)=r =n, 則AX=b必有唯一解.答:錯,A為mn,當mn時, 可以r(A b) =n+1.(4)若AX=0有非零解,則ATX=0也有非零解. 答:錯,A為mn, r(A)=m n, r(AT)=m, 這時ATX=0只有零解. 例如A為34, R(A)=3 4, r(AT)=3=m.47例5已知 為 的兩個不同解,為AX = 0的基礎解系,k1,k2是兩個任意常數,則 的通解為:預習 幾何應用及習題課48(-), Bye!49例6證 因為, 如果AX=0, 則AT (AX)=0, 所以 (I)的解都是(II)的解. 反之, 若X Rn是ATAX=0的任一解, 則有 XT(ATAX) =0即 (AX)