一維開集閉集的構造_第1頁
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第四節(jié) 一維開集、閉集、完備集的構造維空間中的點集1定理1 中任何非空的有界開集都是有限 多個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并。證明： 設 是有界開集，則存在 ，使得 。對任意 ，由 是開的，知存在開區(qū)間 ，使 。 2定理2 設F是一非空的有界閉集，則F中必有一最大點(最大數(shù))和一最小點(最小數(shù)).類似可證F有最小點3問題：根據(jù)開集與閉集的互余關系，如何 構造直線上的閉集？定理3 設 是非空的有界閉集，則 是由 一閉區(qū)間中去掉有限個或可數(shù)個互 不相交的開區(qū)間而成。4定理3的證明： 設 ，則由定理2知 ， ，故 是開集.由定理1知，存在有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間 ，使從而 。證畢。5問題：直線上什么樣的閉集是完備的？所有 的完備集都是這樣的嗎？定理4 假設 是非空有界閉集，則 F 是完備 集當且僅當 F 是從一閉區(qū)間a,b中去掉 有限個或可數(shù)個彼此沒有公共端點且與a,b 也無公共端點的開區(qū)間而成。6定理4的證明： 若 是完備集；則顯然挖去的開區(qū)間彼此無公共端點，否則這個公共端將是 的孤立點，故必要性是顯然的。再證充分性，只需證明任意 都是 的聚點。若不然，假設 是其孤立點，則存在 ，使 ，且 ，由 的

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