1、第五講回歸設(shè)計(jì)及統(tǒng)計(jì)分析設(shè)目標(biāo)性狀y與Zl、Z2.Zm等因素有關(guān)，我們可以應(yīng)用回歸分析的方 法建立y與諸因素的回歸方程，以此對(duì)y進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，或篩選），的最優(yōu) 指標(biāo)。Zl、Z2 Zm構(gòu)成一個(gè)因子空間，每一組Zl、Z2 Zm值對(duì)應(yīng)一個(gè)y值。 如何在因子空間中選擇最適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)點(diǎn)，以最少的試驗(yàn)點(diǎn)尋求y的最優(yōu)區(qū)域, 這就要將回歸分析與正交設(shè)計(jì)結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，稱為回歸正交設(shè)計(jì)。按回歸模 型的次數(shù)，回歸正交設(shè)計(jì)又分為一次回歸正交設(shè)計(jì)和二次回歸正交設(shè)計(jì)。一次回歸正交設(shè)計(jì)-次回歸正交設(shè)計(jì)主要是應(yīng)用2水平正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)和分析步驟如下。確定試驗(yàn)因素的變化范例如研究m個(gè)栽培因素8、及.而與作物產(chǎn)量y的數(shù)量關(guān)

2、系，首先需確 定各個(gè)栽培因素的變化范圍。設(shè)因素勾的變化區(qū)間為（Zlj，Z2j），則Zlj和Z2j分 別為因素勾的下水平和上水平。那么為因素勾的零水平。為因素ZJ的變化區(qū)間。.對(duì)各因素的水平編碼編碼就是對(duì)各個(gè)因素的取值作如下線性變換:77Xj =式中Xj為編碼值。如:4 j + 妾 jz -Z 勺 一=Z = -17、 弓廠勺24 j + 2 jz，iH. 2j 7改=1X 勺一勺2這樣就建立了 Zj與為的對(duì)應(yīng)關(guān)系:下水平一 Z1JX1J (-1)零水平 k Zoj%0j （0 ）上水平 ZOjX0J （+1）通過(guò)上面的編碼可知，當(dāng)Zj在區(qū)間（我，Z2J）變化時(shí)，它的編碼值Xj就在區(qū) 間（1，+

3、1）內(nèi)變化。多個(gè)因素的編碼工作可在因素水平編碼表（表1）上進(jìn)行。Z/因素Z1Z：.Zm下水平ZhZ12乙m零水平ZoiZo2Zom上水平z22Za變化間距AiAz.Amj表1因素水平編碼表對(duì)因素的水平進(jìn)行編碼后，y對(duì)Zl、Z2Zm的回歸問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為對(duì)由、X2而的回歸問(wèn)題。在Zl、Z2Zm因子空間選擇試驗(yàn)點(diǎn)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為XI、X2.Xm為坐標(biāo)軸的編碼空間選擇試驗(yàn)點(diǎn)。在二次回歸設(shè)計(jì)中也要進(jìn)行 因素的編碼工作。.選擇合適的二水平正交表常用的二水平正交表有乙4。）、乙8（27）、乙2（211）、L16（215）等。選用哪一種 二水平正交表要依據(jù)因素個(gè)數(shù)及需要研究的交互作用而定。正交表確定以后, 把表中

4、的“2”改為“.1”。這樣正交表中的既表示因素的不同水平，也 表示Xj的取值。表2列舉了經(jīng)代換后的兒張常用二水平正交表。表2常用二水平正交表4（2，）試驗(yàn)號(hào)XX 3X3111121-1-13-11-14-1-11試驗(yàn)號(hào)XiX211121131-141-15-116-117-1-18-1-1Ls(27)X3XlX2Xi X3X2X3Xl X2 X311111-11-1-1-11-11-1-1-1-1-1111-1-11-1-1-11-1111-1-11-1111-1L12(2n)試驗(yàn)號(hào)X/X2X3X4X5X6X7X8X9X/0X111111111111112111111-1-1-1-1-1311

5、-11-1111-1-1-141-111-11-1-111-151-1-11-111-11-1161-1-1111-11-1117-11-1111-1-11-118-11-11-11-1111-19-1111-111-1-11110-1-1-11111-1-11-111-1-11111111-1-112-1-111-11-11-1-11如設(shè)i 一個(gè)3因素試驗(yàn)，可選用乙8（2，）正交表，表中Xl X2工3分別代表3、Z2、Z3的編碼值。若因素間有互作存在，在回歸中可用非線性項(xiàng)X1X2、XI 為、X2 X3等表示。每種交互作用占改造后二水平正交表的1列，該列的取值 可由某兩列上元素對(duì)應(yīng)相乘得到。如

6、表2乙8(27)中列的元素是由與 X2列上的對(duì)應(yīng)元素相乘而得。用二水平正交表設(shè)計(jì)的這種試驗(yàn)具有正交性。若以表示在第a試驗(yàn)中第j個(gè)變量的編碼值，于是在試驗(yàn)計(jì)劃中有|任_列的和0 a任兩列的內(nèi)積知七=a具有以上兩個(gè)性質(zhì)的設(shè)計(jì)為正交設(shè)計(jì)。.建立回歸方程對(duì)于3因素試驗(yàn)，若考慮因素間的交互作用，則回歸方程為y=b。+ +b2x2 +y + +婦祥例如用乙8（2，）正交表設(shè)計(jì)該試驗(yàn)，那么它的結(jié)構(gòu)矩陣為11111111信息矩陣（系數(shù)矩陣）為A = X =_0相關(guān)矩陣為I*-1C = A =001/8作.常數(shù)項(xiàng)矩陣為B = XY =am a/n-1 J a4.bm bm-l -J%（Q = 1，2,，8）為試

7、驗(yàn)結(jié)果，于是可算出回歸系數(shù)矩陣那么各類(lèi)回歸系數(shù)即由下式算出咨=1/8眼必（，=12,3）% =j = L2,3.i 力 j）_回歸系數(shù)的具體計(jì)算可在正交表上進(jìn)行（表3）.表中但為各回歸系數(shù)，Q 為偏回歸平方和。從而建立回歸方程。表3 3因素一次回歸正交設(shè)計(jì)計(jì)算表試驗(yàn)號(hào)X。Xi2.VA/ A2XjX3X2X3試驗(yàn)結(jié)果11111111yi2111-11-1-1y：311-11-11-1V3411-1-1-1-11V451-111-1-11ys61-11-1-11-1V671-1-111-1-1V781-1-1-1111ys光XxaiyaSXrWa端站.方4公8888888b. = Bjd.爵8Bi

8、/S時(shí)8妃8B&SQjfBj時(shí)g：/s此/8此/8氐/8從以上計(jì)算可看出,各變量的偏回歸平方和Qj=bJBJ=nbj ,|=與偏回歸系數(shù)勿的平方成正比。但的絕對(duì)值越大，也越大。這就意味著，在利 用正交表所得到的回歸方程中，每一個(gè)回歸系數(shù)但的絕對(duì)值大小，反映|=了對(duì)應(yīng)變量為對(duì)y作用的大小。這是因?yàn)榻?jīng)過(guò)無(wú)量綱編碼后，所以變量 的取值都是1和1,它們?cè)谒芯康膮^(qū)域內(nèi)取值是平等的，且不受單位的 影響，因此所求回歸系數(shù)但直接反映了因素勾作用的大小，回歸系數(shù)的 符號(hào)反映因素作用的性質(zhì)。在要求不太高的情況下，一次回歸正交設(shè)計(jì)可 省略方差分析，直接把回歸系數(shù)與零相差不大的因素從回歸方程中剔除, 不需重新計(jì)算其

9、它回歸系數(shù)，剔除因素對(duì)結(jié)果的影響可并入試驗(yàn)誤差。但 對(duì)精度要求較高的試驗(yàn)，應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行回歸關(guān)系的顯著性測(cè)驗(yàn)。.回歸方程及回歸系數(shù)的顯著性測(cè)驗(yàn) 一次回歸正交設(shè)計(jì)的方差分析如表4O表4 一次回歸正交設(shè)計(jì)的方差分析表X1X21a：=變異來(lái)源自由度平方和均方F值回歸如=，(? +1)/2SS回 Q + 0 +SS回1 df回ss/或回SSM離回歸如=必.-伽ss離=ss總- SS回ss 離/*%總#總=-1SS總=盅-B亦1.0=.0.aX1.ss離/或離.1.Qm = B；Jn.Q.n.0,XmSSM對(duì)回歸方程的顯著性假設(shè)測(cè)驗(yàn)可通過(guò)表4中的F測(cè)驗(yàn)進(jìn)行。但這種測(cè)驗(yàn)只是說(shuō)明m個(gè)變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是顯著的

10、,|=而在研究區(qū)域內(nèi)回歸方程與實(shí)測(cè)值的擬合情況，即采用一次回歸模型是不是最合適，從以上 測(cè)驗(yàn)中沒(méi)有得到這方面的信息。為了了解回歸方程的擬合情況，需在零水 平（S S或）安排一些重復(fù)試驗(yàn)，如在安排p次重復(fù)試驗(yàn)所得試驗(yàn)結(jié)果 為）漏）掠，其平均數(shù)為死,則p 2%誤=（）奇-），0）,酒誤=-1由此可用t測(cè)驗(yàn)對(duì)回歸方程中的擬合情況進(jìn)行測(cè)驗(yàn)：|禹_%|何”誤Jss 離+SS 誤 /+1/p若求得14頃始+皿），則認(rèn)為所與殳無(wú)顯著差異，一次回歸方程與實(shí)測(cè)值 擬合得較好。反之，就認(rèn)為用一次回歸來(lái)描述問(wèn)題不夠確切，可考慮建立 高次方程。擬合度測(cè)驗(yàn)也可通過(guò)F測(cè)驗(yàn)進(jìn)行：SS擬二SS離- SS誤df擬=df離-df

11、誤F =擬/逝擬1 ss誤/或誤若FiFo.O5,則說(shuō)明回歸方程的擬合度較好。一般先進(jìn)行擬合測(cè)驗(yàn)，在方程擬合情況較好的情況下，再進(jìn)行回歸方程的顯著性測(cè)驗(yàn)。故將擬合度測(cè)驗(yàn)的F值記作Fi,而回歸顯著性測(cè)驗(yàn)的F值記作F2o回歸系數(shù)的顯著性測(cè)驗(yàn)可由表4的尸測(cè)驗(yàn)進(jìn)行，也可通過(guò)檢驗(yàn)給出o服從心皿的1分布。V例研究氮、磷、鉀施用量對(duì)大豆籽粒產(chǎn)量的影響，試作一次回歸 正交設(shè)計(jì)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。1.確定各試驗(yàn)因素水平并進(jìn)行編碼首先各因素的上、下水平，將3個(gè)因素的變化范圍分別定在（2,6）、 （3,9）、（3,9）,單位為斤/畝。然后計(jì)算各因素的零水平和變化間距，列出 因素水平編碼表（表5）o表5因素水平編

12、碼表因素變化間距一-1水平編碼0+1Z1氮（尿素）2斤/畝246Z2磷（三料磷）3斤/畝369Z3鉀（硫酸鉀）3斤/畝369制定實(shí)施方案選擇屁（2，）正交表，實(shí)施方案如表6o表6氮、磷、鉀肥料三因素試驗(yàn)實(shí)施方案試驗(yàn)X2試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣實(shí);施方案X3尿素（斤房）三料磷 （斤/畝）侃酸鉀（斤房）號(hào)X11111699211469331-1163941-146335-1112996-1142937-1-112398-1-1-1233表7試驗(yàn)結(jié)構(gòu)及數(shù)據(jù)分析試驗(yàn)號(hào)X0XIX2X3X1X2Xl X3X2 X3y（公斤/ 畝）11111111155.32111-11-1-1180.7311-11-11-1180.

13、7411-1-1-1-11178.351-111-1-11121.761-11-1-11-1153.671-1-111-1-1112.081-1-1-1111116.191000000158.3101000000163.3111000000166.0121000000150.8計(jì)算回歸系數(shù)，建立回歸方程產(chǎn)量結(jié)果列在表7的最后一列。計(jì)算可在表7上進(jìn)行。各項(xiàng)數(shù)值的計(jì) 算過(guò)程如下：= 1x155.3+1x180.7+1x150.8 = 1836.8用二 xd，= 1x155.3+1x180.7+0 x150.8 = 191.6= x2x3 y = 1 x 155.3+(-1) x 180.7+0 x

14、150.8 = 55.6d = I2 +12 +12 =12i= I2 -I-12 +(/) + O2 =8= (工2與)2 = F + (-12) + +12 + +。2 = 8,191.6 ” *=1 = 23.951 dA 12, 打小-55.6= 6.95d” 8G =如0 = 23.95x191.6 = 4588.82Q23 = b23B2i = (-6.95)x (-55.6) = 386.42 由以上計(jì)算得如下回歸方程：y = 153.1 + 23.95工+3.025.s -7.375玉-8.7752 +1.625x3 -6.95x2x3回歸方程的假設(shè)測(cè)驗(yàn)先計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

15、12112121Q2 = Ey；-7T(ZyJ： = .y-7f = 287663.44 = 6510.59 = 12-1 = 11a=l Ia=i a=iSS|，| = N0 = 4588.82 + 73.205+ +386.42 = 6120.7垢二 3x(3 + l)/2 = 6 TOC o 1-5 h z SS 頃=SS. SS 問(wèn)=65100.59 6120.7 = 389.89 m起凹df離=11-6 = 5121 121SS誤= 】(%)= 12022.42-淀638必=133.78 df., =4-1 = 3 。=94 a=94SS 擬=SS 離 一 SS 誤=389.89-1

16、33.78 = 256.11 df擬=5-3 = 2首先對(duì)回歸方程的擬合度進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，可用尸測(cè)驗(yàn)和測(cè)驗(yàn)兩種方法。尸測(cè)驗(yàn)二 A6.ll/2 = 2 77 0.01，12 0.05,3、23 ，0.10，2、，13彳、顯者 (2) F測(cè)驗(yàn)-73.205F,= 0.9477.98廠 435.125F. = 3.38377.98222.7,9077.98= 0.2777.98蛙= 4.9677.98查表得F(ho,i,5 = 4.06, %05 偵=6.61, FOO11S = 16.3,由以上測(cè)驗(yàn)知氏 %.05,片、弓 %.10，尸2、%不顯著。與t測(cè)驗(yàn)結(jié)果相同。將不顯著的變量X2和XI X3從回歸方程中剔除，則回歸方程為y = 153.1 + 23.95x1 7.375x3 8.775玉易6.95x2a:3作業(yè)：有一3因素一次回歸正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)構(gòu)矩陣及結(jié)果列于下表