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文檔簡介

1、Jensen不等式證明HOlde不等式及其推廣引理1：Jensen不等式若f(x)在a,b為凹函數，則對于任意a,b.a,b.(i1,2,n),.0(i1,2,iiiii=1工xf(x),iii1(i1,2,n)用Jensen不等式證不等式令f(x)=lnx,則f(x)0,所以f(x)在(0,+“)為凹函數，則對于任意x2xi,y.0(i1,2,n),1由Jensen不等式可知ln(、xy匸+匸ln(、xy匸+匸Vpq丿11lnx+lnyp.q兩邊取e為底的對數可得令x.X-工apii1ap.,yibqTbqii1貝y工x+1工xpyqpqi1iii1工apJ丿工abii-4=1、丄廠匸整理后

2、即得到Holder不等式:工ab”ii11工bqi丿推廣的證明：設a0(.1,2,ij則有i1證明工Ia”工j1Vj1ijapji1ij丿、丄pj，其中j1,2,s)所以所以f(x)在(0,+8)為凹函數，則對于任意令f(x)=lnx，則f(x)=0,x2a0(i，1,2,n)(j=1,2,ij，1由Jensen不等式可知PjlnLLL吆(i,1,2,(,1P,丿Pj兩邊取e為底的對數可得工jIlxPj(i，1,2,n)j，1Pjap,可以得到apjiji，1LL二，LL二，1L，j，1i，1Pji，1j，1Pji，1j=1lJLa(Hap,j，11J丿整理后得到La(Li，1jTijjTIap-iji，i/

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