1、任意角的三角函數”的教學反思一、以學生的學習為視角，可以對這節課的教學進行如下反思：（1）學生對課堂提問，回答是否積極？學生能否獨立或通過合作探索出問題的結果？（2）學生處理課堂練習題情況如何？可能的原因是什么？（3）教學任務是否完成？下面我們著重分析一下提問的效果。在回答教學設計中的各項提問時，大多數學生存在一定困難，特別是“問題1：任意畫一個銳角，借助三角板，找出sin的近似值”和“問題5：現在，角的范圍擴大了，由銳角擴展到了0360內的角，又擴展到了任意角，并且在直角坐標系中，使得角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合在這樣的環境中，你認為，對于任意角，sin怎樣定義好呢？”對于問題

2、1，除了由于時間久而遺忘有關知識外，學生不熟悉獨立地由一個銳角，構造直角三角形并求銳角三角函數的過程是主要原因，他們更習慣于在給定的直角三角形中解決問題。對于問題5，教師強調“在坐標系下怎么樣？”后，有學生開始嘗試回答。這說明這個問題要求的思維概括水平較高，學生僅利用銳角三角函數的有關知識，難以形成當前研究任意角三角函數的思想方法。因此，教師必須要提供必要的腳手架。二、對任意角三角函數概念教學的啟示要建立任意角三角函數概念，角的概念先擴大，角的表示（過程的）：正角、零角、負角，象限角，與角終邊相同的角，+k360到+2k(結構的)，學生對角的概念的圖式重新組織，整理成弧度的形式才更適宜后面內容

3、的學習。任意角三角函數與銳角三角函數的關系是“上下位”關系，即任意角三角函數的概念是抽象度更高、包攝范圍更廣的概念。因此，學生學習這個概念是以順應為主的認知過程，產生與原認知結構不協調的方面是：首先，要建立銳角三角函數的一個等價的表示過程，即放在直角坐標系下，用終邊上點的坐標來表示，進一步用終邊與單位圓的交點的坐標表示。其次，在不同象限下，角所對應的三角函數的表示，符號等；第三，任意角三角函數的定義域、值域。活動1：取一個銳角0放在坐標系下，始邊與軸的正半軸重合，終邊在第一象限內。讓學生觀察，進而探索發現，用終邊上點的坐標計算sin0, cos0, tg0.體驗用單位圓與終邊交點的坐標表示si

4、n0, cos0, tg0. 過程1，學生能內化上面的過程，用符號運算表示出任意的第一象限內的角的三角函數，例如，單位圓與終邊交點P的坐標是（x,y）,則. 活動2，學生觀察終邊在其它象限下的角的三角函數的情形。主要是表示，以及三角函數值的符號的變化。過程2，學生能內化上面的體驗。知道不同的象限角的三角函數與其終邊與單位圓交點的關系，表示，以及函數值符號的變化。對象1，對上述過程進行壓縮，歸納概括出定義，即利用單位圓定義任意角的三角函數，并明確確定其定義域、值域。圖式1，學生能與已有的相關知識建立起聯系。例如弧度的概念，銳角三角函數、函數的概念等等。此時學生能回答諸如“銳角三角函數與任意角三角

5、函數的區別是什么？”學生建構概念意義的過程并非都沿著：活動過程對象圖式的順序線性發展的，而是經常會由對象通過解壓縮返回到過程，或者掌握一個過程的逆過程，由一個過程復合另一個過程形成新的“過程”，等等。例如，上述過程的逆過程包括：由三角函數值判斷角所在的象限；由給出的角（特殊值）求其終邊與單位圓的交點，等等。隨著進一步學習，學生的任意角三角函數概念還要不斷發展，例如角與-，2-，-，+等的三角函數值的關系，此時，學生計算一個角的三角函數值的方法途徑（過程）更多，這樣學生就形成許多新的“過程”，因而在處理有關問題時就更靈活。因此，要使學生形成良好的任意角三角函數概念，就要重視對“過程”的教學和反思

6、。三、數學史的啟發數學史反映了人類探索數學規律的自然發展過程，這個過程對教學設計中如何預設學生的認知發展順序，以及預測學生可能的學習困難都很有啟發。以本設計為例。陳振宣先生在2008年第10期中小學數學（高中版）上撰文“三角函數定義的比較研究”，提出原來教材中采用的定義方式其實是歐拉于1748年提出的，現教材中定義的方式是上述方法與單位圓相結合后的產物，所以從認知的角度講，可能前面的方法更容易讓學生接受，當然單位圓的方法有更多優點，特別是在后面的學習中，它的作用會愈發突出。因此，在采用單位圓定義之前，可以先用坐標系的方法作為鋪墊，這在白濤老師關于“任意角三角函數”的教學設計中已有體現。四、對新

7、的教學設計的建議綜上，作為任意角三角函數的第一節課，我認為中心任務應該是讓學生建立起計算一個任意角的三角函數與其終邊上點的坐標之間的關系（過程的），并在此基礎上初步建立任意角三角函數概念的意義（對象的）。因為大量有關三角函數的運算還要依賴后面的知識才能完成。以上述理論為基礎，對任意角三角函數概念的教學設計，可以在原設計方案基礎上，當學生組織起銳角三角函數的概念，例如計算方法、定義域、值域、符號表示、有關結論（與點的位置的選取無關）后，首先提供“坐標系”作為腳手架，并引發學生的認知沖突“在坐標系下，如何研究一個任意角的三角函數？”并以坐標系為平臺，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認識研究方法的變化，以及符號表示的變化）02范圍內的角（認識該范圍內角的三角函數的表示方法，特別是值域的變化）不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數的操作過程）。通過觀課及課后的研討，我的另一點體會是，教學設計既要重視“承上”，即與學生原有認知結構的聯系，也要重視“啟下”，即從后續知識發展的角度審視教學安排。有關的例子，銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不