1、蘇教版高中數(shù)學(xué)課件1.2.3直線的一般式方程前面我們學(xué)習(xí)了直線的點斜式、斜截式、兩點式方程，經(jīng)過化簡后可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請同學(xué)們思考一下，在平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線是否都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示呢？導(dǎo)語一、直線的一般式方程問題直線y2x1可以化成二元一次方程嗎？方程2xy30表示一條直線嗎？提示y2x1可以化成2xy10的形式，是二元一次方程.2xy30可以化為y2x3，可以表示直線.方程 (A，B不全為0)叫作直線的 .注意點：(1)直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征方程是關(guān)于x，y的二元一次方程；方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列；x的系數(shù)一般

2、不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)；雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程.知識梳理AxByC0一般式方程(2)當(dāng)直線方程AxByC0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時，直線AxByC0有如下性質(zhì)：當(dāng)A0，B0時，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；當(dāng)A0，B0，C0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；當(dāng)A0，B0，C0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；當(dāng)A0，B0，C0時，直線與x軸重合；當(dāng)A0，B0，C0時，直線與y軸重合.例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(2)經(jīng)過A(1,5)，B(2，1)兩點；即2xy30.(3)在x軸、y軸上的截距分

3、別為3，1；(4)經(jīng)過點B(4,2)，且平行于x軸.解y20.即x3y30.反思感悟求直線一般式方程的策略在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式.跟蹤訓(xùn)練1(1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式.x2y402xy30經(jīng)過點P1(3，2)，P2(5，4)的直線方程為_.xy10(2)在y軸上的截距為6，且傾斜角為45的直線的一般式方程為_.xy60解析設(shè)直線的斜截式方程為ykxb(k0)，則由題意得ktan 451，b6，所以yx6，即xy60.二、直線的一般式方程化為其他形式的方程例2(1)已知直線AxByC0(A

4、B0，BC0)，則直線不經(jīng)過A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：l在x軸上的截距是3；l的斜率是1.且2m2m10，解得m2.延伸探究對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值.解直線l與y軸平行，反思感悟含參直線方程的研究策略(1)若方程AxByC0表示直線，則需滿足A，B不全為0.(2)令x0可得在y軸上的截距.令y0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.(3)解分式方程要注意驗根.跟蹤訓(xùn)練2(1)直線xy10與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為解析由題意

5、得直線與坐標(biāo)軸交點為(1,0)，(0，1)，(2)若a，b，c都大于0，則直線axbyc0的圖象大致是圖中的所以直線axbyc0的圖象大致是圖中的D.三、直線一般式方程的應(yīng)用例3已知直線l：5ax5ya30.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率akOA3，a3.延伸探究1.本例中若直線在y軸上的截距為2，求a的值，這時直線的一般式方程是什么？這時直線方程的一般式為7xy20.2.本例中將方程改為“x(a1)ya20”，若直線不經(jīng)過第二象限，則a的取值范圍又是什么？解(1)當(dāng)a10，即a1時，直線為

6、x3，該直線不經(jīng)過第二象限，滿足要求.因為直線不過第二象限，故該直線的斜率大于等于零，綜上，可知a1.反思感悟已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟跟蹤訓(xùn)練3直線l的方程為(a1)xy2a0(aR).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；解當(dāng)a1時，直線l的方程為y30，顯然不符合題意；當(dāng)a1時，令x0，則ya2，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，解得a2或a0.綜上，a的值為2或0.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.解直線l的方程可化為y(a1)xa2，a的取值范圍為(，1.1.知識清單：(1)直線方程的一般式方程.(2)直線五種形式方程的互化.(3)直線一般式方程的應(yīng)用

7、.2.方法歸納：分類討論法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：忽視直線斜率不存在的情況；忽視兩直線重合的情況.課堂小結(jié)隨堂演練12341234A.30 B.60 C.150 D.1201234解析直線l：kxy12k0，即k(x2)(y1)0，當(dāng)x20，y10時過定點，x2，y1，該直線過定點(2,1).3.已知直線l：kxy12k0(kR)，則該直線過定點_.(2,1)4.若直線(2m25m2)x(m24)y5m0的傾斜角是45，則實數(shù)m的值是_.12343課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.過點(2,1)，斜率k2的直線方程為A.x12(y2) B.2xy10C.y

8、22(x1) D.2xy50解析根據(jù)直線方程的點斜式可得，y12(x2)，即2xy50.2.如果axbyc0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件A.bc0 B.a0C.bc0且a0 D.a0且bc012345678910111213141516解析y軸方程表示為x0，所以a，b，c滿足的條件為bc0，a0.123456789101112131415163.直線l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是12345678910111213141516解析將l1與l2的方程化為l1：yaxb，l2：ybxa.A中，由l1的圖象可知，a0，b0，由l2的圖象

9、可知，b0，兩者矛盾，故A錯誤；B中，由l1的圖象可知，a0，由l2的圖象知，b0，a0，兩者矛盾，故B錯誤；C中，由l1的圖象可知，a0，b0，由l2的圖象可知，a0，b0，故C正確；D中，由l1的圖象可知，a0，b0，b0，兩者矛盾，故D錯誤.4.直線axbyc0經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足A.ab0，bc0 B.ab0，bc0C.ab0 D.ab0，bc0因為直線axbyc0經(jīng)過第一、第二、第四象限，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131

10、415166.已知直線a1xb1y10和直線a2xb2y10都過點A(2,1)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是A.2xy10 B.2xy10C.2xy10 D.x2y10解析因為點A(2,1)在直線a1xb1y10上，所以2a1b110，由此可知點P1(a1，b1)在直線2xy10上.因為點A(2,1)在直線a2xb2y10上，所以2a2b210，由此可知點P2(a2，b2)在直線2xy10上，所以過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程是2xy10.7.斜率為2，且經(jīng)過點A(1,3)的直線的一般式方程為_.解析由y32(x1)得2xy10.12345

11、6789101112131415162xy108.已知直線(a2)x(a22a3)y2a0在x軸上的截距為3，則該直線在y軸上的截距為_.12345678910111213141516解析把(3,0)代入已知方程，得(a2)32a0，a6，直線方程為4x45y120，123456789101112131415169.已知直線l：x2y2m20.若直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于4，求實數(shù)m的值.解直線l與兩坐標(biāo)軸的交點分別為(2m2,0)，(0，m1)，化簡得(m1)24，解得m3或m1.10.已知在ABC中，點A的坐標(biāo)為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x2y10和

12、y10，求ABC各邊所在直線的方程.12345678910111213141516解設(shè)AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，其中D，E分別為AB，AC的中點，點B在中線BE：y10上，設(shè)B點坐標(biāo)為(x,1).又A點坐標(biāo)為(1,3)，D為AB的中點，又點D在中線CD：x2y10上，12345678910111213141516B點坐標(biāo)為(5,1).同理可求出C點的坐標(biāo)是(3，1).故可求出ABC三邊AB，BC，AC所在直線的方程分別為x2y70，x4y10和xy20.1234567891011121314151611.直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是綜合運用12345678910111

13、21314151612.設(shè)A(2,2)，B(1,1)，若直線l：axy10與線段AB有交點，則a的取值范圍是12345678910111213141516解析由axy10得，yax1，因此直線l過定點P(0，1)，且斜率ka，如圖所示，當(dāng)直線l由直線PA按順時針方向旋轉(zhuǎn)到直線PB的位置時，符合題意.1234567891011121314151612345678910111213141516解析兩條直線a1xb1y40和a2xb2y40都過點A(2,3)，2a13b140,2a23b240，因此過兩點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線的方程為2x3y40.13.已知兩條直線a1xb1y

14、40和a2xb2y40都過點A(2,3)，則過兩點P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線方程為_.2x3y4014.若直線(m1)x(m2m2)ym1在y軸上的截距等于1，則實數(shù)m的值為_.12345678910111213141516解析由題意可知直線過點(0,1)，代入可得m2m2m1，變形可得m22m30，解得m3或m1，當(dāng)m1時，m1m2m20，不滿足題意，所以m3.3拓廣探究1234567891011121314151615.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,2)，B(2,0)，C(1,0)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH，則直線FH的一般式方程為_.x4y14012345678910111213141516解析過點H，F(xiàn)分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N(圖略).四邊形ACGH為正方形，RtAMHRtCOA，OC1，AMOC1，又MHOA2，OMOAAM3，點H的坐標(biāo)為(2,3)，同理得到F(2,4)，化為一般式方程為x4y140.1234567891011121314151616.已知方程(m22m3)x(2m2m1)y62m0(mR).(1)若方程表示一條直線，求實數(shù)m的取值范圍；解當(dāng)x，y的系數(shù)不同時為零時，方程表示一條直線，令m22m30，解得m1或m3；令2m2m10，解