1、6.2.3 排列組合的綜合運用（精講）思維導圖常見考法考法一 全排列【例1】（2020全國專題練習）在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫院采訪，則不同的采訪順序有（ ）A4種B12種C18種D24種【答案】D【解析】由題意可得不同的采訪順序有種，故選：D.【一隅三反】1（2020全國專題練習）2020年初，我國向相關國家派出了由醫療專家組成的醫療小組現有四個醫療小組和4個需要援助的國家，每個醫療小組只去一個國家，且4個醫療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法有（ ）A64種B48種C24種D12種【答案】C【解析】4個醫療小組全排列后按順序到四個國家即可，共有種方法故選：C2（2

2、020吉林吉林市高二期末）將5本不同的數學用書放在同一層書架上，則不同的放法有（ ）A50B60C120D90【答案】C【解析】由題意，將5本不同的數學用書放在同一層書架上，即將5本不同數學書全排列，故有種，故選：C3（2020靈丘縣豪洋中學高二期末）3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法有（ ）A3種B6種C12種D5種【答案】B【解析】3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，全排列：.故選：B考法二 相鄰問題【例2】（2021河北張家口市）某班優秀學習小組有甲乙丙丁戊共5人，他們排成一排照相，則甲乙二人相鄰的排法種數為（ ）A24B36C48D60【答案】C【解析】先

3、安排甲乙相鄰，有種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，故有排法種數為.故選：C【一隅三反】1（2020全國專題練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲乙丙丁戊五位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙丁必須排在一起，則這五位專家的不同發言順序共有（ ）A8種B12種C20種D24種【答案】C【解析】當甲排在第一位時，共有種發言順序，當甲排在第二位時，共有種發言順序，所以一共有種不同的發言順序.故選：C.2（2020湖北隨州市高二期末）5個人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有多少種排列的方法（ ）A24種B36種C48種D72種【答案】C【解析】5個人排成一排照相，甲乙要相鄰，則

4、有種排列的方法.故選：C.3（2020重慶高二期末）6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（ ）種排法.A24B120C240D140【答案】C【解析】將2名女生捆綁在一起，當作1個元素，與另4名男生一起作全排列，有種排法，而2個女生可以交換位置，所以共有排法，故選：C.4.（2020深圳市龍崗區龍城高級中學）把座位號為、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數為（ ）ABCD【答案】B【解析】因為每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，又分給甲、

5、乙、丙、丁四個人，則在座位號、的五個空位插3個板子，有種，然后再分給甲、乙、丙、丁四個人，有種，所以不同的分法種數為,故選：B考法三 不相鄰問題【例3】（2020河北石家莊市石家莊二中高二期中）省實驗中學為預防秋季流感爆發，計劃安排學生在校內進行常規體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學校現有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有（ ）種安排方式.A12B24C36D48【答案】B【解析】6間空教室，有3個空教室不使用，故可把作為檢查項目的教室插入3個不使用的教室之間，故所有不同的安排方式的總數為.故選：B.【一隅三反】1（2

6、020北京高二期末）3位老師和4名學生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據題意，分2步進行：將4名學生站成一排，有種排法；4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排三名教師，有種情況；則有種排法；故選：D.2（2020北海市教育教學研究室高二期末）若5個人排成一列縱隊，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（ ）A12種B14種C5種D4種【答案】A【解析】分兩步完成：第一步，5個人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有種排法；第二步，從3個可插空檔給甲、乙、丙3人排隊有種插法.由分步乘法計數原理可知，一共有種排法.故答案選A3（2020四

7、川省新津中學）五名學生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意五名老師不能相鄰用插空法，排法數為故選：B4（2020重慶市第七中學校高二月考）現“學習強國”平臺設有“閱讀文章”、“視聽學習”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學習者準備學習這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有（ ）種.A24B36C72D144【答案】C【解析】根據題意，分2步進行分析：，在4個視頻中任選2個進行學習，有種情況，將選出的2個視頻與2篇文章依次進行學習，共有種情況，其中2篇文章學習順序相鄰的情況有種情況，故2篇文章學習順序不相

8、鄰的情況有12種，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有種；故選：C考法四 分組分配【例4】（2020全國）疫情期間，上海某醫院安排5名專家到3個不同的區級醫院支援，每名專家只去一個區級醫院，每個區級醫院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（ ）A60種B90種C150種D240種【答案】C【解析】5名專家到3個不同的區級醫院，分為1，2，2和1,1,3兩種情況；分為1，2，2時安排有;分為1，1，3時安排有 所以一共有故選：C【一隅三反】1（2020廣東深圳市深圳外國語學校）有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點至少下一個人，則不同的

9、下車方案有（ ）A24種B36種C81種D256種【答案】B【解析】依據題意每個停的站點至少下一個人，先按2+1+1分成三組，有種分法，再分配到三個站點，有種分法，所以一共有種不同的下車方案.故選：B.2（2020河北）特崗教師是中央實施的一項對中西部地區農村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數學教師進行分配，則不同的分配方案有（ ）A24B14C12D8【答案】C【解析】先把4名數學教師平分為2組，有種方法，再把2名體育教師分別放入這兩組，有種方法，最后把這兩組教師分配到兩所農村小學，共有種方法

10、.故選：C.3（2020江西高二期末）江西省旅游產業發展大會于2020年6月11日13日在贛州舉行，某旅游公司為推出新的旅游項目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點進行團隊游的可行性調研.若每名工作人員只去一個景點且每個景點至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數為（ ）A60B90C150D240【答案】C【解析】根據題意，分2步進行分析：將五名工作人員分成3組，若分為3、1、1的三組，有種分法，若分為2、2、1的三組，種分法，則有種分組分法；將分好的三組全排列，對應三個景點，有種情況，則有種分配方法；故選：4（2020四川達州市高二期末）公元2020年年初，肆虐著中國武漢，為了抗擊

11、，中國上下眾志成城，紛紛馳援武漢.達州市決定派出6個醫療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區，每個地區分配2個醫療小組，其中A醫療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數為（ ）A30B60C90D180【答案】A【解析】根據題意，分2步進行：將6個醫療小組平均分成3組，每組2支醫療隊，有種分組方法；將甲所在的小組安排到甲地，其他兩個小組安排到乙、丙兩地，有種情況，則有種不同的安排方法.故選：A.5（2020沈陽市遼寧省實驗中學分校高二期末）據孫子算經中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級，若給獲得巨大貢獻的7人進行封爵，要求每個等級至少有一人，至多有兩人，則伯爵恰有兩人的

12、概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】人進行封爵，每個等級至少一人，至多兩人，則共有種分法；其中伯爵恰有兩人的分法有種分法，伯爵恰有兩人的概率.故選：.考向五 幾何問題【例5】（2020全國）如圖，的邊上有四點、，上有三點、，則以、中三點為頂點的三角形的個數為（ ）ABCD【答案】B【解析】利用間接法，先在個點中任取個點，再減去三點共線的情況，因此，符合條件的三角形的個數為.故選：B.【一隅三反】1（2020湖南高三開學考試）以長方體的頂點為頂點的三棱錐共有（ ）個A70B64C60D58【答案】D【解析】三棱錐有4個頂點，從長方體8個頂點中任取4個點共有種取法，排除其中四點共面的有：長方體的

13、面6個，對角面6個，可得不同的三棱錐有個.故選：D.2（2020昆明呈貢新區中學）在圓上有6個不同的點，將這6個點兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區域數最多為（ ）A32B15C16D31【答案】D【解析】兩個點可以連一條弦，將圓分為兩部分，加一個點，多兩條弦，將圓多分出來兩部分，所以每加一條弦可以按這種方式多出一個區域，再加一個點，變成了一對相交弦和四條其他的弦，共分為8個區域，所以除去前一種方式增加的區域數，一對相交弦還會多產生一個區域，故當點數多于4個時，最多可分得總的區域數為，此題，所以最多可分為31個區域.故選：D.3（2020北京豐臺區高二期末）平面內有8個點，以其中每2個點為端點

14、的線段的條數為（ ）A21B28C42D56【答案】B【解析】線段由個端點組成，因此只需要從個點中選取個即可構成一條線段，所以線段條數為，故選：B.4（2020上海浦東新區華師大二附中高二期中）以長方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情兄有（ ）種A1480B1468C1516D1492【答案】B【解析】因為平行六面體的8個頂點任意三個均不共線，故從8個頂點中任取三個均可構成一個三角形共有個三角形，從中任選兩個，共有種情況，因為平行六面體有六個面,六個對角面，從8個頂點中4點共面共有12種情況，每個面的四個頂點共確定6個不同的三角形，故任取出2個三角

15、形，則這2個三角形不共面共有1540-126=1468種，故選：B.考向六 方程不等式問題【例6】（2020全國）方程的正整數解的個數_.【答案】【解析】問題中的看作是三個盒子，問題則轉化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內共有種故答案為：【一隅三反】1（2021山西太原市）三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有_.【答案】【解析】由,則 設，則且，則三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數等價于,的解的個數,等價于將16個相同的小球分成3組，每組至少1個

16、小球的不同分法，又將16個相同的小球分成3組，每組至少1個的不同分法，只需在16個球之間的15個空中選2個空用隔板隔開即可，則共有種分法，即三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有個，故答案為：.2（2020四川雅安市雅安中學高二月考）方程的正整數解共有（ ）組A165B120C38D35【答案】A【解析】如圖，將12個完全相同的球排成一列， 在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數目依次是、，顯然滿足，故是方程的一組解，反之，方程的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式，故方程的正整數解的數目為：，故選：A.考向七 數字問題【例7】

17、（2020南通西藏民族中學）從，中任取三個不同的數相加，則不同的結果共有（ ）A種B種C種D種【答案】C【解析】在這六個數字中任取三個求和，則和的最小值為，和的最大值為，所以當從，中任取三個數相加時，則不同結果有種故選：C.【一隅三反】1（2020全國）在1，2，3，4，5，6，7這組數據中，隨機取出五個不同的數，則數字5是取出的五個不同數的中位數的所有取法種數為( )A6B12C18D24【答案】A【解析】根據題意，數字5是取出的五個不同數的中位數，則取出的數字中必須有5、6、7，在1，2，3，4中有2個數字，則不同的取法有種，故選：2（2020廣東汕尾市高二月考）從1，3，5，7，9中任取3個數宇，與0，2，4組成沒有重復數字的六位數，其中偶數共有（ ）A312個B1560個C2160個D3120個【答案】D【解析】從1，3，5，7，9中任取3個數宇，與0，2，4組成沒有重復數字的六位偶數，可分為以下兩種情況：、0放在末位，從1，3，5，7，9中任取3個數宇，再與2，4全排列即可，共有個；、0不放在末位，從1，3，5，7，9中任取3個數宇，再從2，4中選擇