1、第 14 講四邊形階段綜合（1）【例題與應用】一、填空：【例題1】如圖，矩形 ABCD 中， AE BD ，EAC （ 45 ） BAE EAD 1 3 ，則 【例題2】如圖，菱形 ABCD 中， AC 16cm ， BC 10cm ， DE BC ，則 DE （96cm）ADBC【例題3】如圖，正方形 ABCD 中，CEDE12，AB 的長度為 1，MNBE 于 F，則 MN10 ）的長度為（3【例題4】如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8，M 在邊 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一個動點，則 DNMN 的最小值為（10）ADAD 2MM6CBBC8二、解答：【例題5】如圖，正方形

2、 ABCD 的對角線 BD 上有一點 F，邊求 AE 的值AB 上有一點 E，使得 CFFE，DF解：過 F 作 FH CD ，交 AB 于 H易證四邊形 BCGH, ADGH 是矩形GC G B H,D G1 2 405 D G F G，同理C G FH 易證3 4CGF FHEDAH CHF G HE BAEH- 1 -1423NNOE設 DG 1則GF HE AH 1 AE AE 2， DF 12 12 2，2DF【例題6】如圖，正方形 ABCD 中，點 E 在 BC 上，DAE 的平分線 AF 交 DC 于 F證：AEFDEB求AD證：延長CB 至G ，使 BG DF ，聯結 AG易證

3、ADF ABG1 4,5 G5 BAF 2 3又 1 2ADF4FBEC 5 1 3 G G A E 43G A EGCBE AE G E G BE BF DEB 【例題7】如圖，已知正方形ABCD 內一點P ，PA : PB : PC1: 2 : 3 ，且PBBE，PBBE .求的度數。【例題8】已知：如圖，在ABCD 中，E、F 分別是 AD、AB 邊上的點，且 BE=DF，BE 與DF 交于點 G EDAAE求證：GC 平分BGDDGM證：作CM DF 于M ，作CN BE 于 NGFS S 1 SFNBECCDFABCD2BC 1 DF CM 1 BE CNBC2BE D2CM CNG

4、C 平分BGD- 2 -1325【例題9】如圖，在ABCD 中，BC2AB，M 是 AD 邊的中點，CEAB 于點 E，聯結 EM求證: DME3AEM MAD證：延長CD、EM 交于 F ，聯結MC易證AME DMFE M M，F 1 FCE AB，AB / CDCE CFEBC MC MFBC 2AB2 FAD 2CD又 M 是 AD 中點 MD CD2 3DME 4 3 2 F 3 3AEMFMAD31E2BC【例題10】正方形 ABCD 中，點 P 與 B、C 的連線和 BC 的夾角為 15求證：PA=PD=AD證明：以 CB 為邊向正方形外作正三角形 CBF，連接 PF因為PCB15

5、，BCD90，BCF60所以DCPFCP75同理PBF75因為 CDCB，CBCF所以 DPPF又因為 CPCP所以CDPCFP（SAS）所以 DPPF因為 CFBF，PCFPBF，PFPF所以CFPBFP所以CFPBFP30所以FPC75所以FCPFPC75所以 PFCF所以 DPCD同理 APBA因為 CDADBA所以 PDPAAD- 3 -【例題11】如圖，在四邊形 ABCD 中，ADC=90，ACBC，ACB45，E、F 分別是AC、AB 的中點，且DEA45，BGAC 于 G求證：四邊形 AFGD 是菱形若 ACBC10cm， 求菱形的面積（1）證：聯結CF易證1 2 22.50，C

6、F ABDA D C AFC AD AF，3 5易證： AF FG，3 44 5 A D F G，且 AD AF四邊形 AFGD 是菱形（2）在BCG 中， BGC 900，ACB 450BC 10 ，則CG 5 2 AG （1 0 5 ）2聯結 DF ，交 AG 于 H ，則 DF AG在 RtDHE 中， DEA 450, DE 5GACEBD DH 525 H3 4G122 , D F 52ACE52)25 2 152 ( 1 0S25 菱形A D G F 2FB【例題12】平行四邊形 ABCD 的對邊 AB、CD 的中點為 E、F，求證：DE、BF 三等分對角線 AC證明：易證四邊形

7、BFDE 為平行四邊形DEBFE、F 為 AB、CD 的中點AG=GHGH=CHDE、BF 三等分對角線 AC【例題13】如圖，在菱形 ABCD 中， AB上，求 PE+PC 的最小值。4a ，E 在 BC 上， EC2a ， BAD120 ，P 在 BD- 4 -F【例題14】如圖，E 是正方形 ABCD 的邊 AD 上的動點，F是邊 BC 延長線上的一點，且 BF=EF，AB=12，設 AE=x，BF=y（1）當BEF 是等邊三角形時，求 BF 的長；EAD（2）求 y 與 x 之間的函數式，并寫出它的定義域；（3）把ABE 沿著直線 BE 翻折，點 A 落在點 A處，試探索： ABF 能

8、否為等腰三角形？如果能，請求出 AE 的長；如果不能，請說明理由解:（1）當BEF 是等邊三角形時，ABE=30AB=12，AE= 4 3FBCEADBF=BE= 8 3 （2）作 EGBF，垂足為點 G根據題意，得 EG=AB=12，FG=y-x，EF=y y 2 ( y x)2 122 FBAG ECDx 2 144所求的函數式為 y (0 x 12)2x（3）AEB=FBE=FEB，點 A 落在 EF 上 AE AE ， BAF = BAE =A=90要使 ABF 成為等腰三角形，必須使 AB AF 而 AB AB 12， AF EF AE BF AE ， y x 12BFCx 2 14

9、4 x 12 整理，得 x 24x 144 0 22x解得 x 12 12 2 經檢驗： x 12 12 2 都原方程的根，但 x 12 12 2 不符合題意，舍去當 AE=12 2 12時， ABF 為等腰三角形- 5 -A【例題15】如圖，在直角梯形 ABCD 中， AB C D， BCD900 ， ABAD10cm ，BC8cm 點P 從點A 出發，以每秒3cm 的速度沿折線ABCD 方向運動，點Q 從點D 出發，以每秒2cm 的速度沿線段DC 方向向點C 運動已知動點P、Q 同時出發，當點Q 運動到點C 時，P、Q運動停止，設運動時間為t （1）求CD 的長；（2）當四邊形PBQD 為

10、平行四邊形時，求四邊形PBQD 的周長；（3）在點P 、點Q 的運動過程中，是否存在某一時刻，使得 BPQ 的面積為20cm2 ？若存在，請求出所有滿足條件的t 的值；若不存在，請說明理由解：（1）過點 A 作 AMCD 于 M，根據勾股定理，AD=10，AM=BC=8， DM=6， CD=16；（2）當四邊形 PBQD 為平行四邊形時，點 P 在 AB 上，點 Q 在 DC 上，如圖，由題知：BP=103t，DQ=2t 103t=2t，解得 t=2此時，BP=DQ=4，CQ=12 四邊形 PBQD 的周長=2（BP+BQ）=；（3）當點 P段 AB 上時，即時，如圖- 6 -當點 P段 BC

11、 上時，即時，如圖BP=3t10，CQ=162t化簡得：3t234t+100=0， =440，所以方程無實數解當點 P段 CD 上時，若點 P 在 Q 的右側，即 6t，則有 PQ=345t，6，舍去若點 P 在 Q 的左側，即，則有 PQ=5t34，t=7.8綜合得，滿足條件的 t 存在，其值分別為，t2=7.8【課后作業】1.如圖，在菱形ABCD 中，已知E、F 分別是BC、CD 上的點。若AEC 的度數。AFEFAB ，求證：設BAEx，易證FADx，則AEBEAC+ACE=（x60）由ABE 的內角和得：x20，則C100.- 7 -【教師備用】1.已知ABC 為等邊三角形，點 D 為直線 BC 上的一動點，（點 D 與 B、C 不重合），以 AD為邊作菱形 ADEF，使DAF 60 ，聯結 CF，當點 D 在 BC 邊上時，求證： BD CF ， AC CF CD，當點D 在BC 的延長線上且其它條件不變時，結論 AC CF CD 是否成立？如果不成立，請寫出成立的關系（1）（2）（3）當點 D 在 CB 延長線上且其他條件不變時，補全圖形，且寫出 AC、CF、CD 之間的關系證明：四邊形 ABCD 是菱形， AD AFABC 是等邊三角形， AB AC BC,BAC 60 D