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1、大學一年級高數期末考試題及答案第一學期高等數學期末考試試卷答案PAGE 1第 PAGE 10 頁 共 NUMPAGES 10 頁第一學期高等數學期末考試試卷答案一計算題此題總分值35分，共有5道小題，每道小題7分， 1求極限 解： 2設時，與是等價無窮小，與等價無窮小，求常數與 解： 由于當時，與等價無窮小，所以而 所以，因此， 3如果不定積分中不含有對數函數，求常數與應滿足的條件 解： 將化為局部分式，有 ，因此不定積分中不含有對數函數的充分必要條件是上式中的待定系數即所以，有比擬上式兩端的系數，有所以，得 5計算定積分 解： 所以， 5設曲線的極坐標方程為，求曲線的全長 解： 曲線一周的定

2、義域為，即因此曲線的全長為 二此題總分值45分，共有5道小題，每道小題9分， 6求出函數的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型 解： 因此與是函數的間斷點 ，因此是函數的第一類可去型間斷點 ，因此是函數的第一類可去型間斷點 7設是函數在區間上使用Lagrange拉格朗日中值定理中的“中值，求極限 解： 在區間上應用Lagrange中值定理，知存在，使得所以，因此， 令，那么有 所以， 8設，求 解： 在方程中，令，得 再在方程兩端對求導，得，因此， 9研究方程在區間內實根的個數 解： 設函數， 令，得函數的駐點由于，所以 ， 因此，得函數的性態 假設，即時，函數在、內各有一個零點，即方程在內有3

3、個實根 假設，即時，函數在、內各有一個零點，即方程在內有2個實根 假設，即時，函數在有一個零點，即方程在內有1個實根 10設函數可導，且滿足，試求函數的極值 解： 在方程中令，得，即在方程組中消去，得積分，注意，得即 由得函數的駐點而所以， ，所以，是函數極小值；是函數極大值三應用題與證明題此題總分值20分，共有2道小題，每道小題10分， 11求曲線的一條切線，使得該曲線與切線及直線和所圍成的圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積為最小 解： 設切點坐標為，由，可知曲線在處的切線方程為，或因此所求旋轉體的體積為 所以，得駐點，舍去由于 ，因而函數在處到達極小值，而且也是最小值因此所求切線方程為 12設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且，證明：至少存在一點，使得 解： 因為在閉區間上連續，所以由積分中值定理，知存在，使得由于，所以，再由，得作函數，那

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