1、專題L2有理數的運算章末重難點題型考點1有理數加減法法則辨析解決此類問題理解有理數加減法法則是關鍵，有理數的加法：（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加：（2）異號兩數相加，取絕對值較大 的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3） 一個數與0相加，仍得這個數.有理數的減法：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a+ （-b）例題1 若。、6為有理數，。與b的差為正數，且。與6兩數均不為0,那么（）A.被減數。為正數,減數b為負數B.。與b均為正數，且被減數。大于減數bC.。與6兩數均為負數，且減數6的絕對值大D.以上答案都可能【分析】利用有理數的減法法則判斷即可.【解析

2、】若。、b為有理數，。與b的差為正數，且。與6兩數均不為0,那么被減數。為正數，減數b為 負數或。與5均為正數，且被減數。大于減數6或。與b兩數均為負數，且減數b的絕對值大， 故選：D.【小結】此題考查了有理數的減法，熟練掌握減法法則是解本題的關鍵.變式1 若兩個有理數的和為負數，那么這兩個數（）一定都是負數一個為零，另一個為負數一正負D.至少有一個為負數【分析】利用有理數的加法法則判定即可.【解析】由有理數的加法可得，兩個有理數的和為負數，那么這兩個數都是負數，負數的絕對值大，所以至少有一個為負數.故選：D.【小結】本題主要考查了有理數的加法，解題的關鍵是靈活利用有理數的加法法則.變式2 下

3、列說法中正確的個數有（）減去一個數等于加上這個數：零減去一個數，仍得這個數：兩個相反數相減得零：有理數減法中， 被減數不一定比減數（或差）大：減去一個負數，差一定大于被減數：減去一個正數，差不一定小于 被減數.A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個【分析】根據有理數的減法運算法則對各小題分析判斷即可得解.【解析】減去一個數等于加上這個數的相反數，故錯誤；0減去一個數，得到的是這個數的相反數，故錯誤；由于兩個數的相反數相加得0,故錯誤：在有理數減法中，被減數有可能比減數和差小，例如-3 - （ - 1） = -2,故正確；由于減去一個數等于加上這個數的相反數，所以減去一個負數等于加上了一個正數

4、，故差一定大于被減 數，故正確：減去一個正數，差一定小于被減數，故錯誤.綜上正確的是正確.故選：，4.【小結】本題考查了有理數的減法，是基礎題，熟記運算法則是解題的關犍.變式3 下列說法中，正確的個數為（）兩個有理數的和為正數時，這兩個數都是正數：兩個有理數的和為負數時，這兩個數都是負數；兩個有理數的和可能等于其中一個加數：兩個有理數的和可能等于0.A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】利用有理數加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加：絕對值不相等的異號兩 數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值:互為相反數的兩個數相加為0： 一個數同零相加，仍得這個

5、數.逐一分析判定即可.【解析】兩個有理數的和為正數時，這兩個數都是正數是錯誤的，例如-3+5=2：兩個有理數的和為負數時，這兩個數都是負數是錯誤的，例如-3+2= - 1：兩個有理數的和可能等于其中一個加數是正確的，一個數同零相加，仍得這個數；兩個有理數的和可能等于0是正確的，互為相反數的兩個數相加為0.所以正確的有.故選：B.【小結】此題考查有理數的加法法則，注意靈活運用法則計算.考點2有理數加減混合運算熟記有理數加減混合運算先后順序是解題的關犍.例題2 計算：( - 13) + ( - 7) - (+20) - ( - 40) + (+16)；5211( + Q + (一?) + (+1-

6、) + (一如(+1.9) +3.6 - ( - 10.1) +1.4；1-+2-3-+-4.25. 3243【分析】(1)根據有理數的加減法可以解答本題：(2)根據有理數的加減法可以解答本題：(3)根據有理數的加減法可以解答本題：(4)根據有理數的加減法可以解答本題.【解析】 (-13) + ( - 7) - (+20) - (- 40) + (+16)=(-13) + ( - 7) + ( - 20) +40+16= 16： TOC o 1-5 h z ( + p + (一) + (+1-) + (一 6363211=升(一分 +1-+ (-4)363=1：(+1.9) +3.6 - (

7、- 10.1) +1.4= 1.9+3.6+10.1+1.4= 17： TOC o 1-5 h z 21311- +2- -3- + - -4.251,311、=1一+2-+ ( - 3-) +4+ ( -4-)2434【小結】本題考查有理數的加減混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數加減混合運算的計算方法.變式4 計算：| - 3.2|+|0.5| - 1+2|(2) 0- (+2) - ( - 1) + (+4) - ( -5)57121712(3)( -4-)- (-3-)- (+2-)+ (-6)(4) ( - 3.125) + (+4.75) + ( - 9-) + (+5) + (

8、- 4)9696843【分析】(1)根據絕對值的定義以及有理數的加減法法則計算即可：(3) (4)根據有理數的加減法法則計算即可.【解析】原式= 32+0.5 - 1-2.2=(3.2-2.2) - 1+0.5=1 - 1+0.5=05：(2)原式=0-2+1+4+5=8：(3)原式=_(4,+ 2各+ (31_6&=-7 - 3= - 10；(4)原式=一(3.125 + 93 + (4.75 + 5；) 4|2=-13+10-41= -72/ 3,【小結】本題主要考查了有理數的加減法混合運算，熟記運算法則是解答本題的關鍵.變式5 計算-32 + |-0-5-11|3-4|+ ( -5-8)

9、 - | - 1 - 5| - (5-20)(3 ) 1-3+5-7+9-11+97-99【分析】(1)根據有理數的加減運算法則計算即可：(2)根據絕對值的定義化簡后，再根據有理數的加減運算法則計算即可：(3)把原式寫成(1-3) + (5-7) + (9-11) + (97 - 99), 一個有25個-2,據此計算即可.111?9解析)原式=(-3 - 彳)+ (豆-1石)=-4 1 9=-5(2)原式=4-3-13-6+15=-3：(3)原式=(1-3) + (5-7) + (9-11) + + (97 - 99) = ( - 2)義25=- 50.【小結】本題主要考查了有理數的加減混合運

10、算，熟記運算法則是解答本題的關鍵.變式6 閱讀下而的計算過程，體會“拆項法”一 5231計算：-5g + (-9&)+171+(-3)解：原式=(-5) + (-9)+17 + (-3) + (-1)+(-1) + |+(-i) =0+(-1 i) = (-l啟發應用用上而的方法完成下列計算：(一3知+ (岐)+ 21 (23【分析】將原式利用“拆項法”得出原式=(-3-1+2-2) + (-卷一/ +5一,再根據有理數的加減運 算法則計算可得.【解析】原式=(-3-1+2-2) + 0確定出對應關系，再代入即可.【解析】/=4,網=3,3=2, b=3,9：b-a0.，b=3 時，。=2,當

11、。=2 時，b=3,。+5=2+3 = 5,當。=-2 時，b=3, a+b= -2+3 = 1.故答案為：1或5.【小結】本題考查了實數的平方，絕對值的性質，能夠正確判斷出a、b的對應關系是解題的關鍵.變式7 已知團=4,網=6,若|+M=-(a+b),求的值.【分析】根據同=4,回=6, |6|=- (a+6),可以得到0、6的值，從而可以求得。-6的值.【解析】V|4, b6,求心-4|+|6-6|-5的值.【分析】先根據絕對值的定義化簡，再根據有理數的加減法法則計算即可.【解析】-6=5且 44, b6,a - 4|+步-6| - 5=q - 4+6 - 6 - 5=q - b - 3

12、=5-3=2.【小結】此題考查了有理數的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.變式9若。、b、c是有理數，同=3, |5| = 10, |c| = 8,且, %同號，b, c異號，求a-b- ( - c)的值.【分析】根據絕對值的意義，可得到。、b、c取值的可能情況，再根據a, b同號，b, c異號，確定出b, c的值，代入原式計算即可得出結果.【解析】|。| = 3,固=10,同=8，k3, 6=10, c=8,;。，b同號，b, c異號，。=3, 6=10,。=-8或=-3, 6= - 10, c=8,當。=3, 3=10,。=-8時，。-6- (-c) =a - b+c= - 1

13、5：當。=-3, b= - 10, c=8 時，a-6- (-c) =a - b+c= 151綜上，a-b- ( - c)的值是15或-15.【小結】此題考查絕對值、有理數減法的意義及計算法則，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.考點4有理數加減的應用解決此類問題需要掌握絕對值的性質及有理數加減法的運用，注意分類討論思想的運用.例題4 某檢修小組乘汽車自A地出發，檢修南北走向的供電線路.南記為正，北記為負.一天所走路程 (單位：千米)為：+10, -3, +4, -2, -8, +16, -2, +12, +8, -5；問：(1)最后他們是否回到出發點,4?若沒有，則在H地的什么方向？距離,4地多

14、遠？(2)若每千米耗油0.08升，則今天共耗油多少升？【分析】(1)把一天走的路程相加，再根據有理數加減混合運算的法則計算，若計算結果是正數，則是離 開乂地向南：若是負數，則是離開.4地向北：等于0,則是回到H地：(2)求出這一組數據的絕對值的和，再乘每千米耗油量即可.【解析】(I)(+10) + ( - 3) + (+4) + ( - 2) + ( - 8) + (+16) + ( - 2) + (+12) + (+8) + ( -5)=10 - 3+4 - 2 - 8+16 - 2+12+8 - 5= 10+4+16+12+8 - 3 - 2 - 8 - 2 - 5= 50-20=30.所

15、以沒有回到出發點4在,4地南方30千米處：(2) |+10|+| - 3|+|+4|+| - 2|+| - 8|+|+16|+| - 2|+|+12|+|+8|+| - 5|=10+3+4+2+8+16+2+12+8+5=70千米.70X0.08=5.6 升.所以今天共耗油5.6升.【小結】本題主要考查有理數的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，需要注意第二問中的總 路程是所有路程的絕對值的和.變式10 一名足球守門員練習折返跑，從球門的位置出發，向前記作正數，返回記作負數，他的記錄如下 （單位：米）：+5, - 3 +10, - 8 -6, +12, - 10.（1）守門員是否回到了

16、原來的位置？（2）守門員離開球門的位置最遠是多少？（3）守門員一共走了多少路程？【分析】理解向前記作正數，返回記作負數，根據題目意思列出式子計算即可.【解析】根據題意得5 - 3+10 - 8 - 6+12 - 10=0,故回到了原來的位置；（2）離開球門的位置分別是5米，2米，12米，4米，2米，10米，。米，離開球門的位置最遠是12米；（3）總路程=|5|+| - 3|+|+10|+| - 8|+|- 6|+|+12|+|- 10| = 54 米.【小結】本題考查的是有理數的加減混合運算，注意相反意義的量的理解.變式11小李靠勤工儉學的收入支付上大學的費用，下而是小李某周的收支情況表，記收

17、入為正，支出為 負（單位：元）.星期四五六.七收入+65+68+5066+50+75+74支出-60-64-63-58-60-64-65（1）到這個周末，小李有多少節余？（2）按以上的支出水平，估計小李一個月（按30天計算）至少有多少收入才能維持正常開支？【分析】（1）把周一至周日的收入和支出加在一起計算即可：（2）求出平均每天的結余，再乘30,就是一個月的結余.【解析】（1） （+65+68+50+66+50+75+74） + （ - 60 - 64 - 63 - 58 - 60 - 64 - 65） =14 （元）答：到這個周末，小李有14元的節余.1 （|-60|+| - 64|+| -

18、 63|+| - 58+| - 60|+| - 64|+| - 65|） =62 （元）62X30=1860 （元）答：小李一個月（按30天計算）至少要有1860元的收入才能維持正常開支.【小結】本題主要考查正數和負數，有理數的加減混合運算，比較簡單，讀懂表格數據并列出算式是解題 的關鍵.變式12張華記錄了今年雨季錢塘江一周內水位變化的情況如下表（正號表示比前一天高，負號表示比前 一天低）：星期一 二 三 四 五 六 日水位變化（力+0.25+0.80- 0.40+0.03+0.28- 036-0.04（1）本周星期 水位最高，星期 水位最低.（2）與上周末相比，本周日的水位是上升了還是下降了

19、？（寫出計算過程）【分析】（1）設上周日的水位是。，分別求出星期一、二、三、四、五、六、日的水位，比較即可；（2）這周星期日和上周星期日的水位相減即可.【解析】（1）設上周日的水位是星期一：7+0,25；星期二：+0.80+0.25=+1,05；星期三:a+1,05+ （ - 0,40） =4+0.65；星期四:O+0,65+ （+0,03） =。+0.68；星期五:0,即本周日的水位是上升了.【小結】本題考查了有理數的混合運算、正數和負數等知識點的應用，解此題的關鍵是關鍵題意列出算式，題型較好，難度適中，用的數學思想是轉化思想，即把實際問題轉化成數學問題.考點5有理數乘法法法則辨析解決此類問

20、題理解有理數乘法法則是關鍵，有理數的乘法：（D兩數相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；（2）任何數同零相乘都得零；（3）幾個數相乘，有一個數為零，積為零；各個數都不為零，積的符號由負數的個數決定.例題5 下列說法正確的是（）A.幾個有理數相乘，當因數有奇數個時，積為負B.幾個有理數相乘，當正因數有奇數個時，積為負C.幾個有理數相乘，當負因數有奇數個時，積為負D.幾個有理數相乘，當積為負數時，負因數有奇數個【分析】根據有理數的乘法運算法則解答即可.【解析】幾個有理數相乘，當積為負數時，負因數有奇數個.故選：D.【小結】本題考查了有理數的乘法運算法則，幾個不等于零的數相乘，積的符號由負因數的

21、個數決定：當 負因數有奇數個數，積為負；當負因數的個數為偶數個時，積為正；要注意C選項若相乘的因數有0,則積 與負因數的個數無關.變式13下列說法正確的是（）A. 5個有理數相乘，當負因數為3個時，積為負B.絕對值大于1的兩個數相乘，積比這兩個數都大C. 3個有理數的積為負數，則這3個有理數都為負數D.任何有理數乘以（-1）都等于這個數的相反數【分析】根據有理數的乘法法則逐一判斷即可.【解析】45個有理數相乘，當負因數為3個時，積為負數或0,故本選項不合題意；B.絕對值大于1的兩個數相乘，積不一定比這兩個數都大，如-3X2=-6, -6-32,故本選項不合 題意；C.3個有理數的積為負數，則這

22、3個有理數都為負數或其中有兩個是正數，一個是負數，故本選項不合題意： 。.任何有理數乘以（-1）都等于這個數的相反數.正確，故本選項符合題意.故選：D.【小結】本題主要考查了有理數的乘法法則，熟記法則是解答本題的關鍵.變式14如果a6V0,且a+b0,那么（）A.。為正數，6為負數b為正數，。為負數0, b異號，且正數的絕對值較大a, b異號，且負數的絕對值較大【分析】根據有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，得出外6為異號，再 根據什60時，原式=1+1=2；當 a0, 60 時，原式=1-1=0：當 a0 時，原式=-1+1 = 0；當 40, 6-z0,則+?+一

23、的值為.abab【分析】根據題意，利用絕對值的代數意義，以及有理數的乘法法則計算即可.【解析】(1)當。0時，同=，則原式=1：當。0時，團=-4,則原式=-1：20, *0, 且叫與=。， a 聞與b異號，即60,與 b 同號,當 40, 60 時,原式=1+1+1 = 3；當 a0, 60 時，原式=-1-1+1=-L故答案為：(2) - 1： (3) 3或-1【小結】此題考查了有理數的乘法，以及絕對值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.考點8有理數的除法（巧用倒數）例題8 觀察下列解題過程. TOC o 1-5 h z z 7377計算：（一言）-解：原式=（1口;（4）嵋_（4）+與_（

24、 7）478（ 7）12一 -8； X7 - 8）X 廠（-8）XT13=-1+ 1(-36) (6+! =112,=(1-)X ( - 30) = - 20+3 - 5+12 1065=(-20-5) + (3+12) = - 10故原式=-Jq-再根據你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算:你認為以上解題是否正確，若不正確，請寫出正確的解題過程.【分析】解題過程是錯誤的，因為除法不滿足分配律，應該先算括號里面的減法，再算括號外面的除法.【解析】解題過程是錯誤的，正確的解法是：原式=（-8） 4-24 = -8XT =-3,【小結】考查了有理數的除法，本題容易出現除法運用分配律的錯誤.變式

25、22請你先認真閱讀材料： 計算（一扣弓一 解法（一冷：（:卷+: TOC o 1-5 h z 12112151=J/ -? (+-) - (一+：)=(-):(一一 一)30l 36105J 3062= (-A-) +!=_x3=-30，33010解法2：原式的倒數為：(一一1-)小(熹)3 106530S 271-) 1239【分析】利用解法2求出原式的值即可. TOC o 1-5 h z 【解析】原式的倒數為6-三+：-9 -（一裊 61239D。1527X ( - 36) = - 6+15 - 24+286 12 39= 13.則原式=，【小結】此題考查了有理數的除法，弄清題中的解法是解

26、本題的關鍵.變式23閱讀下題解答：、I 的 /1、，237計算：(一加+ (廠/。分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值.解：(A( + 金+(_*)=(瀉+ 3+(-4)= - 16+18-21= - 19.所以原式=一占.根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：(一否+ 日升(|)2x(6).【分析】原式根據閱讀材料中的計算方法變形，計算即可即可得到結果.【解析】根據題意得：6-(T)2義(3戶(-2) 1154= - - - +- + -X ( - 6) X ( - 42)=- 21+14- 30+112=75,則原式=有.【小結】此題考查了有理數的除法，熟練掌握運算法則是

27、解本題的關鍵.171、1171、I變式24 +(- H)+(- H)+ 立.364121836412183636【分析】原式第一項先計算括號中運算，再計算除法運算，第二項利用除法法則變形，再利用乘法分配律 計算即可得到結果.【解析】原式=嘉+ (-吉)+彳+看一看一9 乂36=-/9+3-14-1=-3a【小結】此題考查了有理數的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.考點9乘方的意義例題9 把(一 X (-i) X (-1) X (-1) X (-1)寫成事的形式(不用計算)為【分析】求個相同因數積的運算，叫做乘方，據此把(一5X (-b X (-b X (-b X(-1)寫 乙乙乙乙乙成案的

28、形式即可.【解析】把(一力X (-1) X (-1) X (-1) X (-1)寫成新的形式(不用計算)為(一力5. 乙乙I乙乙乙乙故答案為：(一畀5.【小結】此題主要考查了有理數的乘方的運算方法，以及有理數的乘法的運算方法，要熟練掌握.變式25計算(-3) 2018-( - 1 ) 2019的結果為.【分析】原式變形后，逆用積的乘方運算法則計算即可求出值.【解析】原式=(-3)2018*+47-,，(4+b) 2=0, b, 44代入 8a-llb+l=0,得-8b-UHl=0,. 796=7,=白，.,.=一占，.而=_磊乂白=一擊.故答案為：一備.【小結】本題考查的是有理數的乘方和絕對值

29、，以及非負數的性質，解題的關鍵是明確任意一個數的絕對 值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.考點12有理數的混合運算解決此類問題需熟練掌握有理數混合運算的先后順序，先算乘方，再并乘除，最后算加減，有括號的先算 括號里，值得注意有些題可能會運用運算律進行簡便運算.例題12計算：-5 - ( -4) + ( - 3)( -2) (2) 2X ( -5) +23 - 3-1(i-i + ) 4- (-.)(4) - P-2X ( -3) 2 - ( -2) 2+3+ (-1) X I44931236l 335【分析】(1)根據有理數的加減法可以解答本題：(2)根

30、據有理數的乘方、有理數的乘除法和加法可以解答本題；(3)先把除法轉化為乘法，然后根據乘法分配律即可解答本題：(4)根據有理數的乘方、有理數的乘除法和加減法可以解答本題.【解析】(1)-5- (-4) + (-3)( -2)=-5+4+ ( -3) + ( - 2) = -6；2X ( -5) +23-3+：=(-10) +8-3X2=(-10) +8-6 =-8： (3)(1肯鼻否+ (一親)7+ 一）義（-36） 12=（-9） +20+12+ （ -21）171-12-2X （一3尸-（一 2尸 + 3# （一令 X 拼1031 A=-1 - 2X9-4+ （ x - X -） 4 =-1

31、 - 18-4+14 =-1 - 18-4+1 =-22.【小結】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.變式34計算(-6.5) - (-4) + 81 - (+3 劣)+ 5,、162- 3- X - (-10) 4-(-)- 1_48x 毫一2+ 3_22_(_3)x(-i)-(-2)3【分析】(1)原式利用減法法則變形，結合后相加減即可求出值；(2)原式先計算乘除運算，再計算加減運算即可求出值；(3)原式利用乘法分配律計算即可求出值；(4)原式先計算乘方運算，再計算乘法運算，最后算加減運算即可求出值.【解析】1)原式=-6.5-3+4乙一3乙+5= -

32、10+5+=-4： 24244(2)原式=，x,T0 x,=3 - 15= - 12：小1192 , c c 192(3)原式=-1一芯+9 - 8= 一芯；(4)原式=-4 - 4 - 8= - 16.【小結】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關犍.變式35計算題：-34-21x(-4)4-(14-16)-l6-(0.S-jX -2-(-3)3-|-0.52|【分析】(1)原式下計算括號中的運算，再計算除法運算即可求出值：(2)原式先計算乘方及絕對值運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可求出值.【解析】1)原式=(-81+|x4) + ( -2)=(-81+9) ： (

33、 - 2) = ( - 72) ： ( - 2) =36； TOC o 1-5 h z 一.121 1(2)原式=7 - (-) X3X ( -2+27) -|一一一| 2 3I 4=-1- (-1) X3X25-i + |= -=【小結】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關犍.變式36計算：6- ( - 14) + ( - 16) +18(2)(一分 X ( - 8) + (-1)34133 7g- 357+17 O.7x6.6x：-3.20+O.7xM3 S-&9_(_3)3 _6 | - 59?一丸+ (-2)【分析】(1)根據有理數的乘方、有理數的乘除法和加減法可以

34、解答本題：(2)根據有理數的乘除法可以解答本題：(3)根據乘法分配律可以解答本題：(4)先把除法轉化為乘法，然后根據乘法分配律可以解答本題：(5)根據有理數的乘方、有理數的乘除法和加減法可以解答本題.【解析】 6 - ( - 14) + ( - 16) +18=6+14+ ( - 16) +18=22： TOC o 1-5 h z (-1) X ( -8)(-1)c 3,= -2X8X2 =-6：/ 、34- 357-4-17 35=(357+急 x 臺22=-21 一次=-21：353513379(4 ) 0.7X r-：6.6X 亍-3.2+ q +0.7X r-j-X X/OX X139

35、33=0.7X (+ ) -6.6x4-3.2Xy11 1177=0.7x 笠- (66+3.2) Xy3= 1.4-9.8x 鏘=1.4-4.2= -2.8：(5) -12O19_(_3)3_6_51(-2)X 9-11 X 112 r6.X 9 _2一 r6.1 -2=-1 - 27) - (6+8x1)=-1+27+ (6+4) = - 1+27+10 = 36.【小結】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.考點13科學記數法科學記數法的表示形式為aX10n的形式，其中1W|a|V10, n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a 時，小數點移動了多少位，

36、n的絕對值與小數點移動的位數相同.例題13隨著環境污染整治的逐步推進，某經濟開發區的40家化工企業已關停、整改38家，每年排放的 污水減少了 167000噸.將167000用科學記數法表示為（）A. 167X103B. 16.7X104 C. 1.67X105 D. 0.167X106【分析】科學記數法的表示形式為。X 10的形式，其中lW|a|V10, 為整數.確定的值時，要看把原數 變成。時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值10時，是正數: 當原數的絕對值VI時，是負數.【解析】167000=1.67X1（）5,故選：C.【小結】此題考查科學記數法的表示方法

37、.科學記數法的表示形式為aX 10的形式，其中lW|a|10, 為 整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及“的值.變式37從河南省工商聯獲悉，自新型冠狀病毒引發的肺炎疫情出現以來，截止2月13日下午6點，全省 民營企業、商會及企業家個人累計7412家（人），共向武漢等疫情嚴重地區及我省定點防治新冠肺炎的醫 院、政府部門、執勤卡點等捐贈物款約10.1億元.101億用科學記數法表示應為（）A. 101X107B. 10.1 X108 C. 1.01 X109 D. 1.01 X1O10【分析】科學記數法的表示形式為。X 10的形式，其中lW|a|V10, 為整數.確定的值是易錯點，由于10.1億=1

38、010000000有10位,所以可以確定=101=9.【解析】10.11010000000=1.01 X109.故選：C.【小結】此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定。與值是關鍵.變式38今年9月世界計算機大會在湖南省長沙市開幕，大會的主題是“計算萬物，湘約未來”.從心算、 珠算的古老智慧到銀河”“天河”“神威”創造的中國速度，中國計算”為世界矚目.超級計算機“天河 一號”的性能是4700萬億次，換算成人工做四則運算，相當于60億人算一年，它1秒就可以完成.數4700 萬億用科學記數法表示為（）2019世界計菖機大會2019 world Computer CongressA. 4.7

39、X107B. 4.7X1011C. 4.7X1014 D. 4.7X1015【分析】科學記數法的表示形式為aXIO的形式，其中lW|a|V10, 為整數.確定的值時，要看把原數 變成。時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值10時，是正數: 當原數的絕對值VI時，是負數.【解析】4700 萬億=4700 0000 0000 0000=4,7X 1015,故選：D.【小結】此題主要考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為。X 10”的形式，其中1W|0|V 10, 為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及的值.變式39光速約為3X IO米/秒，太陽光射到地球上

40、的時間約為5X102秒，地球與太陽的距離約是（）米.A. 15X1O10B. 1.5X1011C. 15X1016 D. 1.5X1017【分析】先計算地球與太陽的距離，再根據科學記數法的形式選擇即可.【解析】3X108X5X102=1.5X10n,故選：B.【小結】本題考查了科學記數法，掌握科學記數法的形式aX 10是解題的關鍵.考點14近似數近似數和有效數字：從一個數的左邊第一個不是o的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效 數字.近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說 法.例題14下列說法正確的是（）0.750精確到百分位3979X

41、1（）4精確到千分位38萬精確到個位2.80X105精確到千位【分析】根據近似數的精確度分別進行判斷，即可得出答案.【解析】.4、0.750精確到千分位，故本選項錯誤：B、3.079X1（）4精確到十位，故本選項錯誤；C、38萬精確到萬位，故本選項錯誤：D、2.80X105精確到千位,故本選項正確:故選：D.【小結】本題考查了近似數和有效數字：經過四舍五入得到的數叫近似數：從一個近似數左邊第一個不為0 的數數起到這個數完為止，所有數字都叫這個數的有效數字.變式40臺風“杜鵑”給某省造成的經濟損失達16.9億元，近似數16.9億精確到（）A.十分位B.千萬位C.億位D.十億位【分析】根據近似數的

42、精確度可判斷近似數16.9億精確到0.1億位.【解析】近似數16.9億精確到千萬位.故選：B.【小結】本題考查了近似數和有效數字：近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確 到哪一位，保留幾個有效數字等說法.變式41近似數3.20X 105的精確度說法正確的是（）A.精確到百分位B.精確到十分位C.精確到千位D.精確到萬位【分析】近似數320X105中的3表示三十萬，應是萬位，3.20的最后一位應是千位，因而這個數精確到千 位數.【解析】近似數3.20X105精確到千位，故選:C.【小結】本題主要考查近似數和有效數字，對于用科學記表示的數，有效數字的計算方法，與精確到哪一 位是需

43、要識記的內容，經常會出錯.變式42已知。=3.50是由四舍五入得到的近似數，則的可能取值范圍是（）A. 3.45WaV3.55B. 3.495WV3.505C. 3495WaW3505D. 3.4953.505【分析】根據近似數的精確度對各選項進行判斷.【解析】a的可能取值范圍為34950 4+3-cVO 01,A B C,-3 a -2 5-1 0 c 1A.1個B. 2個C.3個D.4個【分析】先由數軸得出a - 2b -l0cl,再根據有理數的加法法則、有理數的乘除法法則等分別 分析，可得答案.【解析】由數軸可得：0V - 2b -10c0,故正確：9：a0. b0*.a+b - c0,

44、故正確：:a -2b0：60： 同-也|0中正確的有()AB I )a -10 b 1A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【分析】根據數軸可知。V-l，0bi,從而可以判斷題目中的結論哪些是正確的，哪些是錯誤的，從而解答本題.【解析】由數軸可知，。-1, Qbl,：.abQ, a - bVO, a+b0,故錯誤，正確.故選：，4.【小結】本題考查數軸，解題的關鍵是根據數軸可以明確。、b的符號和與原點的距離. TOC o 1-5 h z 變式44在數軸上表示有理數“，b, c, d如圖所示，則正確的結論是()abc dI11tlI .i.ia4 -3 -2012A. a+bc+dB.ab0D

45、.(a-d) (c-6)0【分析】由數值上的各個點所表示的數，可以得出。、b、c、d的符號和取值范圍，進而逐個分析判斷各個選項的正確與否.【解析】由數軸上表示有理數a，b, c, d可得，-4VaV-3, -2V6V-1, 0cb ld2,a+b0,因此M選項不正確,ab cd因此選項B不正確，(a+3) VO, (b+1) VO,，(a+3)(計1) 0,因此C選項正確,/VO, (c-b) 0,/ (a - d) (c - b) VO,因此D選項不正確,故選：c.【小結】考查數軸表示數的意義，理解數的符號和絕對值是正確判斷的前提，掌握有理數的加減法的法則 是關鍵.變式45觀察圖中的數釉，用

46、字母a, b, c依次表示點4B,。對應的數，則b-a, c的大小關系是 ( )-1 2 0 i _-33A. abb - ac B. b - acab C. b - aabc D, abcb - a【分析】根據各點在數軸上的位置判斷出。、和c的符號及大小，再對各選項進行逐一判斷即可.71【解析】由數軸上、從c的位置可知-la6V0lVc,且。=一15= V，所以 ab=弓，b - a= ( ) - ( |-)所以 abb - a故答案為：一會 【小結】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.變式46在有理數的原有運算法則中，我們定義一個新運算如下：X0，時，y

47、=S： Qy時，x*y =y.則(-2* - 4) *1 的值為.【分析】根據xWy時，xy=r； xj，時，Mj，=y,可以求得所求式子的值，本題得以解決.【解析】時，x*y=J： 時，xy=y,. ( -2* -4) 1= -4*1= ( -4) 2 = 16,故答案為：16.【小結】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.變式47定義新運算：若 ab=n (77 是常數)，則(。+1) 6=+1, a (6+1) =n-2.若 11=2,則 12=, 22=, 20202020=.【分析】根據題目中的新定義，可以分別計算出題目中所求式子的值.【解析

48、】若。(是常數)，則(a+l) b=n+l, a 31) =w - 2, 11=2, .12=1 (1+1) =2-2=0,22= (1+1) 2=0+1 = 1,23= - 1, 33=0, 34= - 2, 44= - 1,.20202020= - 2017,故答案為：0, 1, - 2017.【小結】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.變式48規定：團表示不大于x的最大整數，G)表示不小于x的最小整數，、)表示最接近x的整數G 工+05 為整數)，例如：2.3=2, (23) =3, 2.3) =2.當-IVxWO 時，化簡x+ (x) +卜)的結果

49、是.【分析】分三種情況討論x的范圍：-lx-0.5, - 0,5x0,x=0即可得到答案.【解析】-1X1,且膽VO, S=|2a-3b -2也-刈-也+如 求2a-S的值.m+2z(3)若試討論：X為有理數時卜+訓-|x -訓是否存在最大值？若存在求出這個最大值：若不存在, 請說明理由.【分析】(1)先根據a、b互為相反數,b、c互為倒數,得出a+b=O, bc=l,再代入所求代數式計算即可;(2)根據。1及，的立方等于它本身確定從加，再化簡S,最后求出2a-S的值；(3)根據機W0,確定機，把機的值代入|%+利-卜-小再根據絕對值的性質去掉絕對值符號，求出代數式 的值即可.2a+2b m+

50、2【解析】(1):a、1互為相反數,b、c互為倒數，.a+b=O,兒=1, *=-11= - 1：2(a+b) i A +ac= ,-1=0m+2 (2) Vt7l, ：.b0, 6+y 0的立方等于它本身，且jmVO,r=-1, b-m=b+ll 時|x- l|=x+l -x+l = 2.當X為有理數時，存在最大值為2：若加=-1同理可得：當x為有理數時，存在最大值為2.綜上所述，當加=1, x為有理數時，|升利-卜-訓存在最大值為2.【小結】本題考查了絕對值的性質、相反數及倒數的定義、代數式求值，熟練掌握有理數的相關知識是解決本題的關鍵.考點18 有關數軸的探究題例題18如圖，一個點從數軸

51、上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，從圖 中可以看出，終點表示的數是-2,已知上，8是數軸上的點.請參照圖并思考，完成下列填空：(1)如果點工表示數3,將點,4向右移動7個單位長度，那么終點8表示的數是, .4, 8兩點間的距離是.(2)如果點8表示數2,將點8向左移動9個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點，表示的數是, 4 8兩點間的距離是.I I I I I I I .-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5(3)如果點工表示的數是-4,將點乂向右移動168個單位長度；再向左移動2個單位長度，那么終點8 表示的數是,4 8兩點間的距離是.一般地，如果

52、,4點表示的數為膽，將工點向右移動個單位長度，再向左移動p個單位長度，那么請 你猜想終點8表示的數是, A, 8兩點間的距離是.【分析r根據題中點的移動特點，在數軸上求出相應點表示的數，再由數軸上兩點間的距離求法求解即可.【解析】(1)由題意可知，8點表示：3+7=10,18間距離為10-3=7：故答案為10, 7；(2)由題意可知，4點表示：2-9+5=-2, .4、8間距離為2 - (-2) =4；故答案為-2, 4；(3)由題意可知，3點表示：-4+168 - 2=162, A. 8間距離為162 - ( -4) =166：故答案為162, 166：(4)由題意可知，8點表示：-p, .

53、4、8間距離為帆+-r -訓=|刀-p：故答案為 wrl-p，|m -p.【小結】本題考查數軸的性質：能夠理解題意，根據移動情況求出相應的點表示的數，并能結合絕對值的 性質求數軸上兩點之間的距離是解題的關鍵.變式52結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究:數軸上表示4和1的兩點之間的距離是：數軸上表示-1和-7的兩點之間的距離是；數軸上表示-2和5的兩點之間的距離是.（2）歸納：一般的，數軸上表示數和數n的兩點之間的距離等于.（3）應用：如果表示數。和3的兩點之間的距離是9,則可記為：|a-3|=9,那么。=.若數軸上表示數a的點位于-4與5之間，求|a+4|+|a - 5|的值.II

54、IIIIi-5 -4 -3 -2-1 012 345【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式，可得兩點間的距離；（2）根據數軸上兩點間的距離公式，可得兩點間的距離：（3）解方程可得答案；根據數軸上表示數。的點位于-4與5之間，可化簡絕對值，根據有理數的加減法，可得答案.【解析】（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是4- 1 = 3：數軸上表示-1和-7的兩點之間的距離是-1- （ -7） =6；數軸上表示-2和5的兩點之間的距離是5- （ -2） =7.（2） 一般的,數軸上表示數朋和數的兩點之間的距離等于河-川.（3）|a-3|=9,解得a= - 6或12：.數軸上表示數a的點位于-4和5

55、之間，|什4|+| - 5|=+4 - a+5=9.故答案為：3, 6, 7；忸-1： -6或9.【小結】本題考查了數軸，絕對值，利用了兩點間的距離公式，注意線段上的點與線段兩端點的距離的和 最小.變式53根據給出的數軸及已知條件，解答下而的問題:（1）已知點X, B，。表示的數分別為1，趣，-3.觀察數軸，與點的距離為3的點表示的數是,A, 8兩點之間的距離為.（2）數軸上，點B與點,4的對稱中心表示的數是.（3）若將數軸折疊，使得M點與。點重合，則與8點重合的點表示的數是:若此數軸上N兩 點之間的距離為2019 （M在N的左側），且當X點與C點重合時，河點與N點也恰好重合，則點河表示的 數

56、是，點N表示的數是：（4）若數軸上尸，。兩點間的距離為。（尸在。左側），表示數6的點到尸，。兩點的距離相等，將數軸折 登，當尸點與。點重合時，點尸表示的數是，點。表示的數是 （用含。，6的式子表示這 兩個數）.； i4 ； -6-5-4-3-2-101 2 3 4 5 6【分析】（1）根據數軸上兩點之間的距離即可求解：（2）根據出這求兩點的對稱點；2（3）根據X與C重合表示對稱點，可得與8點重合的點表示的數：同理根據折疊后點工與點C重合，點 河與點N也重合，即可求解：（4）根據數軸上的點左減，右加，即可求表示數b的點到尸、。兩點的距離相等的算式.【解析】（1）觀察數軸可知：與點乂的距離為3的點

57、表示的數是1+3=4或1 - 3= - 2,.4、8兩點之間的距離為1- （-2.5） =3.5,故答案為：4或-2, 3.5.（2）點3與點,4的對稱中心表示的數是：二-三，故答案為：一機（3 ） 將數軸折疊，使得工點與C點重合，對稱點表示的數為：-1,與點3重合的點表示的數是:-1與7- （ -2.5） = 0.5：河表示的數是：-1 一駕3 =-1010.5, N表示的數是：-1+駕2=10085：故答案為:0.5, - 1010.5, 1008.5.（4）根據題意，得尸表示的數為：6表。表示的數為：計*故答案為：b小計表【小結】本題考查了數軸、列代數式，解決本題的關鍵是數軸上兩點之間的

58、距離公式.變式54閱讀下而材料，回答問題 距離能夠產生美.唐代著名文學家韓愈曾賦詩：“天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無.當代印度著名詩人泰戈爾在世界上最遙遠的距離中寫道：“世界上最遙遠的距離 不是瞬間便無處尋覓而是尚未相遇 便注定無法相聚 距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界尺度.已知點 8在數軸上分別表示有理數，b, A, 8兩點之間的距離表示為（1）當$ 3兩點中有一點在原點時，不妨設點K在原點，如圖1,且3=。8=冏-同=6-4 = |4-4（2）當工，5兩點都不在原點時,如圖2,點/, 3都在原點的右邊，8 =。8-。4 =向-問=6-。=|4

59、-外如圖3,點,4, 8都在原點的左邊，。=。3-。4 = |切-同=-b - （-）=。-6=口-冰如圖4,點上，8在原點的兩邊，乂3=。=+。3=同+向=4+ （-b） =a-b=a-b.綜上,數軸上4 3兩點的距離劣=|八外利用上述結論，回答以下三個問題： TOC o 1-5 h z A (O)B0 AB,i.i IiabQab圖1圖2BA 0BO Al l 口 I IIba 0b 0 a圖3圖4（1）若數軸上表示x和-2的兩點之間的距離是4,則工=：（2）若代數式/1|+卜-2|取最小值時，則x的取值范圍是：（3）若未知數、,丁滿足（卜-1|+卜-3|）（卜-2|+伊1|）=6,則代數

60、式x+2y的最大值是,最小值是【分析】（1）根據題意得絕對值方程，求解即可：（2）若代數式附1|+k-2|取最小值時，表示在數軸上找一點x,到-1和2的距離之和最小，據此可解：（3）分別得出卜-1|+卜-3|的最小值為2和b-2|+/1|的最小值為3,從而得出x和y的范圍，則問題得解.【解析】（1）若數軸上表示x和-2的兩點之間的距離是4,則附2|=4解得x= - 6或x=2故答案為：-6或2：（2）若代數式|x+l|+|x-2|取最小值時,表示在數軸上找一點x,到-1和2的距離之和最小，顯然這個點x在-1和2之間故答案為：-1WxW2；（3） V （|x- l|+|x-3|） （|y-2|+