1、3.4 向量和矩陣的范數為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，向量和矩陣的范數。向量和矩陣的范數在一維數軸上，實軸上任意一點x到原點的距離用|x|表示。而任意兩點x1，x2之間距離用| x1-x2 |表示。向量和矩陣的范數而在二維平面上，平面上任意一點P(x,y)到原點的距離用 表示。而平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用 表示。 推廣到n維空間，則稱為向量范數。向量范數常見的向量范數記住公式向量范數性質向量范數性質等價性質：向量的收斂性3.4.2 矩陣范數相容范數算子范數算子范

2、數一般了解一般了解算子范數一般了解常見的矩陣范數矩陣的最大特征值記住公式常見的矩陣范數記住公式對稱矩陣范數一般了解例題對于一般的方陣，解起來并不容易。課程后期將討論特征值的數值解法。3.4.3 矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性例題譜半徑和矩陣序列的收斂性一般了解一般了解矩陣序列的收斂性3.5 病態方程組與矩陣的條件數3.5.1 病態方程組與擾動方程組的誤差分析病態方程組與擾動方程組的誤差分析病態方程組與擾動方程組的誤差分析病態方程組與擾動方程組的誤差分析病態方程組與擾動方程組的誤差分析病態方程組擾動方程 由于計算機字長限制，在解AX=b時，舍入誤差是不可避免的。因此我們只能得出方程的近似解 。 是

3、方程組（A+A）x=b+ b (1) 在沒有舍入誤差的解。稱方程（1）為方程Ax=b的擾動方程。其中A， b為由舍入誤差所產生的擾動矩陣和擾動向量。當A， b的微小擾動，解得（1）的解與Ax=b的解x的相對誤差不大稱為良態方程，否則為病態方程。模糊概念？3.5.2 矩陣的條件數仍是模糊概念？矩陣的條件數的性質相對誤差的事后估計定理3.6.3 例題3.6 解線性方程組的迭代法3.6.1 解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述3.6.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代法Jacobi迭代法例題例題Jacobi迭代法

4、的矩陣形式Jacobi迭代法的算法2007.10.23Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法例題Gauss-Seidel迭代法的算法3.6.3 線性方程組迭代法收斂條件迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件例題例題例題例題3.6.4 松弛迭代SOR法記則可以看作在前一步上加一個修正量。若在修正量前乘以一個因子，有對GaussSeidel迭代格式寫成分量形式，有松弛迭代算法1、輸入系數矩陣A、向量b和松弛因子omega，和誤差控制eps2、x2=1,1,.,1 /賦初值3、while( |A*x2-b|eps) for(i=

5、0;in;i+) temp-0 for(j=0;ji;j+) temp += Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+) temp += Aij*x2j temp = -(x2i-bi)/Aii x2i = (1-omega)*x2i+omega*temp 4、輸出解x2 迭代矩陣定理：松弛迭代收斂定理：A對稱正定，則松弛迭代收斂是否是原來的方程的解？ SOR方法收斂的快慢與松弛因子的選擇有密切關系.但是如何選取最佳松弛因子,即選取=*,使()達到最小,是一個尚未很好解決的問題.實際上可采用試算的方法來確定較好的松弛因子. 經驗上可取1.41.6. 定理 若SOR方法收斂, 則02. 證

6、 設SOR方法收斂, 則()1,所以 |det()| =|12 n|1 而 det() =det(D-L)-1 (1-)D+U) =det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U) =(1-)n 于是 |1-|1, 或 02 定理 設A是對稱正定矩陣, 則解方程組Ax=b的 SOR方法,當00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y) =-2 所以 當02時,有 (-+)2-(-)2= (2-)(2-) = (2-)(2-)0 所以|21, 因此()1,即S0R方法收斂. 可得 =2/ 設是B的任一特征值, y是對應的特征向量, 則 (L+U)y=Dy 于是 (Ly,y)+(