1、第1講相似三角形的判定及有關性質最新考綱1.了解平行線等分線段定理和平行截割定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質定理；3.理解直角三角形射影定理知 識 梳 理1平行截割定理(1)平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例2相似三角形的判定與性質(1)相似三角形的判定定理兩角對應相等的兩個三角形相似兩邊對應成比例并且夾角相等的兩個三角形相似三邊對應成比例的兩個三角形相似(2)相似三角形的性質定

2、理相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項如圖，在RtABC中，CD是斜邊上的高，則有CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB診 斷 自 測1.如圖，已知abc，直線m，n分別與a，b，c交于點A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，ABeq f(3,2)，則BC_解析由平行線等分線段定理可直接得到答案答案eq f(3,2)2(2014廣東卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB

3、上且EB2AE，AC與DE交于點F，則eq f(CDF的面積,AEF的面積)_解析AEFCDF，eq f(SCDF,SAEF)eq blc(rc)(avs4alco1(f(CD,AE)eq sup12(2)329.答案93.如圖，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，則EC_解析在RtADB中，DBeq r(AB2AD2)eq r(7)，依題意得，ADBACE，eq f(DB,EC)eq f(AD,AC)，可得ECeq f(DBAC,AD)2eq r(7).答案2eq r(7)4.如圖，C90，A30，E是AB中點，DEAB于E，則ADE與ABC的相似比是_解析E為AB中點，eq f(AE

4、,AB)eq f(1,2)，即AEeq f(1,2)AB，在RtABC中，A30，ACeq f(r(3),2)AB.又RtAEDRtACB，相似比為eq f(AE,AC)eq f(1,r(3).故ADE與ABC的相似比為1eq r(3).答案1eq r(3)5.(2015湛江模擬)如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE交于BC于F，則eq f(BF,FC)_解析如圖，過點D作DGAF，交BC于點G，易得FGGC，又在BDG中，BEDE，即EF為BDG的中位線，故BFFG，因此eq f(BF,FC)eq f(1,2).答案eq f(1,2)考點一平行截割定理的應用【例1】 如圖，

5、在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長為_解析由eq blc(avs4alco1(DEBC，,EFCD，,BC3，DE2)eq f(AE,AC)eq f(AF,AD)eq f(DE,BC)eq f(2,3)，又DF1，故可解得AF2，AD3，又eq f(AD,AB)eq f(2,3)，ABeq f(9,2).答案eq f(9,2)規(guī)律方法利用平行截割定理解決問題，特別要注意被平行線所截的直線，找準成比例的線段，得到相應的比例式，有時需要進行適當?shù)淖冃?，從而得到最終的結果【訓練1】 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2.E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且E

6、F3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_解析如圖，延長AD，BC交于一點O，作OHAB于點H.eq f(x,xh1)eq f(2,3)，得x2h1，eq f(xh1,xh1h2)eq f(3,4)，得h1h2.S梯形ABFEeq f(1,2)(34)h2eq f(7,2)h2，S梯形EFCDeq f(1,2)(23)h1eq f(5,2)h1，S梯形ABFES梯形EFCD75.答案75考點二相似三角形的判定及性質【例2】 如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB，E為AC的中點，ED，CB延長線交于一點F.求證：FD2FBFC.證明E是RtACD斜邊中點，EDEA，A1，12

7、，2A，F(xiàn)DCCDB2902，F(xiàn)BDACBA90A，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)是公共角，F(xiàn)BDFDC，eq f(FB,FD)eq f(FD,FC)，F(xiàn)D2FBFC.規(guī)律方法(1)判定兩個三角形相似要注意結合圖形性質靈活選擇判定定理，特別要注意對應角和對應邊證明線段乘積相等的問題一般轉化為有關線段成比例問題(2)相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等【訓練2】 (2013陜西卷)如圖，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知AC，PD2DA2，則PE_解析PEBC，CPED，又CA，則有APED，又P為公共角，所以PDEPEA，eq f(PD,PE)e

8、q f(PE,PA)，即PE2PDPA236，故PEeq r(6).答案eq r(6)考點三直角三角形射影定理及其應用【例3】 如圖所示，AD，BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，直線FD交BE于點G，交AC的延長線于H，求證：DF2GFHF.證明HBAC90，GBFBAC90，HGBF.AFHGFB90，AFHGFB.eq f(HF,BF)eq f(AF,GF)，AFBFGFHF.因為在RtABD中，F(xiàn)DAB，DF2AFBF，所以DF2GFHF.規(guī)律方法(1)在使用直角三角形射影定理時，要注意將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”(2)證題時，要注意作垂線構造直角三角形是解決直角三

9、角形問題時常用的方法【訓練3】 如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB于點D，AD4，sinACDeq f(4,5)，則CD_，BC_解析在RtADC中，AD4，sinACDeq f(AD,AC)eq f(4,5)，得AC5，CDeq r(AC2AD2)3，又由射影定理AC2ADAB，得ABeq f(AC2,AD)eq f(25,4).BDABADeq f(25,4)4eq f(9,4)，由射影定理BC2BDABeq f(9,4)eq f(25,4)，BCeq f(15,4).答案3eq f(15,4)(建議用時：50分鐘)一、填空題1如圖，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖

10、中所有與ACE相似的三角形為_解析RtACE與RtFCD和RtABD各共一個銳角，因而它們均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD2. 如圖，在ABC中，M，N分別是AB，BC的中點，AN，CM交于點O，那么MON與AOC面積的比是_解析M，N分別是AB，BC中點，故MN綉eq f(1,2)AC，MONCOA，eq f(SMON,SAOC)eq blc(rc)(avs4alco1(f(MN,AC)eq sup12(2)eq f(1,4).答案143. (2015渭南模擬)如圖，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，則AE_解析由于ACDAEB

11、90，BD，ABEADC，eq f(AB,AD)eq f(AE,AC).又AC4，AD12，AB6，AEeq f(ABAC,AD)eq f(64,12)2.答案24. (2014佛山質檢)如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CDeq f(a,2)，點E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點，則EF_解析連接DE和BD，依題知，EBDC，EBDCeq f(a,2)，CBAB，EBCD為矩形，DEAB，又E是AB的中點，所以ABD為等腰三角形故ADDBa，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，EFeq f(1,2)DBeq f(1,2)a.答案eq f(a,2)5. 如圖，ABCAFE，E

12、F8，且ABC與AFE的相似比是32，則BC等于_解析ABCAFE，eq f(BC,EF)eq f(3,2).又EF8，BC12.答案126已知圓的直徑AB13，C為圓上一點，過C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，則AD_解析如圖，連接AC，CB，AB是O的直徑，ACB90.設ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2ADDB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案97(2013廣東卷)如圖，在矩形ABCD中，ABeq r(3)，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_解析在RtABC中，BC3，ABeq r(3)，所以BAC60.因為BEAC，ABeq

13、 r(3)，所以AEeq f(r(3),2)，在EAD中，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEADeq f(3,4)92eq f(r(3),2)3eq f(r(3),2)eq f(21,4)，故EDeq f(r(21),2).答案eq f(r(21),2)8. (2014茂名模擬)如圖，已知ABEFCD，若AB4，CD12，則EF_解析ABCDEF，eq f(AB,EF)eq f(BC,CF)，eq f(BC,BF)eq f(CD,EF)，eq f(4,EF)eq f(BC,BCBF)，eq f(BC,BF)eq f(12,EF)，4(BCBF)12BF，BC

14、4BF，eq f(BC,BF)4eq f(12,EF)，EF3.答案39. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于O，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBC，若AD12，BC20，則EF_解析EFADBC，OADOCB，OAOCADBC1220，OAECAB，OEBCOACA1232，EF2eq f(12,32)2015.答案15二、解答題10. 如圖，ABC中，ABAC，BAC90，AEeq f(1,3)AC，BDeq f(1,3)AB，點F在BC上，且CFeq f(1,3)BC.求證：(1)EFBC；(2)ADEEBC.證明設ABAC3a，則AEBDa，CFeq r(2

15、)a.(1)eq f(CE,CB)eq f(2a,3r(2)a)eq f(r(2),3)，eq f(CF,CA)eq f(r(2)a,3a)eq f(r(2),3)，eq f(CE,CB)eq f(CF,CA).又C為公共角，故BACEFC，由BAC90，EFC90，EFBC.(2)由(1)得EFeq r(2)a，故eq f(AE,EF)eq f(a,r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AD,BF)eq f(2a,2r(2)a)eq f(r(2),2)，eq f(AE,EF)eq f(AD,FB).DAEBEF90，ADEFBE，ADEEBC.11如圖，已知ABC中的兩條角平分線A

16、D和CE相交于H，B60，F(xiàn)在AC上，且AEAF.求證：(1)B，D，H，E四點共圓；(2)EC平分DEF.證明(1)在ABC中，因為B60，所以BACBCA120.因為AD，CE是角平分線，所以HACHCA60，故AHC120，于是EHDAHC120.因為EBDEHD180，所以B，D，H，E四點共圓(2)連接BH，則BH為ABC的角平分線，HBD30，由(1)知B，D，H，E四點共圓，所以CEDHBD30，因為AEAF，AD為角平分線，所以EFAD，又AHEEBD60，所以CEF30，所以EC平分DEF.12. 如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，過點D作AC的平行線DE，交B

17、A的延長線于點E，求證：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.證明(1)四邊形ABCD是等腰梯形，ACBD.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB，ACBDBC，ABCDCB，ADBC，DACACB，EADABC，DACDBC，EADDCB，EDAC，EDADAC，EDADBC，ADECBD.DEBDAEDC，DEDCAEBD.第2講直線與圓最新考綱1.理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質定理；理解弦切角定理及其推論；2.掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內接四邊形的性質定理與判定定理知 識 梳 理1圓周角定理與圓心角定理(1)圓周角定理及其推論定

18、理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論：()推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等()推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)2弦切角的性質弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角3圓的切線的性質及判定定理(1)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑(2)推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心4與圓有關的比例線段定理名稱基本圖形條件結論應用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內點P(1)PAPBPCPD；(2)ACP

19、BDP(1)在PA，PB，PC，PD四線段中知三求一；(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是O的割線(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求線段PA，PB，PC，PD；(2)應用相似求AC，BD切割線定理PA切O于A，PBC是O的割線(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是O的切線(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)證線段相等，已知PA求PB；(2)求角5.圓內接四邊形的性質與判定定理(1)圓內接四邊形的性質定理定理1：圓內接四邊形的對角互補定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角(2)圓內接四

20、邊形的判定定理及推論判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓診 斷 自 測1.如圖，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為_解析連接CP.由推論2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.答案6.42.如圖，AB，AC是O的兩條切線，切點分別為B，C，D是優(yōu)弧eq o(BC,sup8()上的點，已知BAC80，那么BDC_解析連接OB、OC，則OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDCeq f(1,2)

21、BOC50.答案503(2014陜西卷)如圖，ABC中，BC6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC2AE，則EF_解析利用相似三角形的性質求解AA，AEFACB，AEFACB，eq f(AC,AE)eq f(BC,EF)，2eq f(BC,EF)，EF3.答案34.(2015廣州調研)如圖，四邊形ABCD內接于O，BC是直徑，MN與O相切，切點為A，MAB35，則D_解析連接BD，由題意知，ADBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.答案1255如圖所示，過點P的直線與O相交于A，B兩點若PA1，AB2，PO3，則O的半徑r_解析設O的半徑為r(r0)，PA1，

22、AB2，PBPAAB3.延長PO交O于點C，則PCPOr3r.設PO交O于點D，則PD3r.由圓的割線定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，則req r(6).答案eq r(6)考點一圓周角、弦切角及圓的切線問題【例1】 如圖所示，O的直徑為6，AB為O的直徑，C為圓周上一點，BC3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E.(1)求DAC的度數(shù)；(2)求線段AE的長解(1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30，由于直線l與O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在RtADC中，DAC30.(2)法一

23、連接BE，如圖1所示，EAB60CBA，AB為公共邊，則RtABERtBAC，所以AEBC3.圖1圖2法二連接EC，OC，如圖2所示，則由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30，又因為CAB30，故ECACAB，從而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四邊形AOCE是平行四邊形，又因為OAOC，故四邊形AOCE是菱形，故AEAO3.規(guī)律方法(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角【訓練1】

24、 如圖，ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積Seq f(1,2)ADAE，求BAC的大小(1)證明由已知條件，可得BAECAD.因為AEB與ACD是同弧所對的圓周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)解因為ABEADC，所以eq f(AB,AD)eq f(AE,AC)，即ABACADAE又Seq f(1,2)ABACsinBAC，且Seq f(1,2)ADAE，故ABACsinBACADAE，則sinBAC1.又BAC為ABC的內角，所以BAC90.考點二與圓有關的比例線段【例2】 如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B，C，A

25、PC的角平分線分別與AB、AC相交于點D、E，求證：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.證明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分線，故EPCAPD.又PA是O的切線，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)eq blc rc(avs4alco1(PCEPAD,CPEAPD)PCEPADeq f(EC,AD)eq f(PC,PA)；eq blc rc(avs4alco1(PEAPDB,APEBPD)PAEPBDeq f(AE,DB)eq f(PA,PB).又PA是切線，PBC是割線PA2PBPCeq f(PA,PB)eq f(PC,PA).故eq f(EC,

26、AD)eq f(AE,DB)，又ADAE，故AD2DBEC.規(guī)律方法涉及與圓有關的等積線段或成比例的線段，常利用圓周角或弦切角證明三角形相似，在相似三角形中尋找比例線段；也可以利用相交弦定理、切割線定理證明線段成比例，在實際應用中，一般涉及兩條相交弦應首先考慮相交弦定理，涉及兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時要注意應用切割線定理【訓練2】 (2013天津卷)如圖，ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長為_解析由切割線定理得AE2EBED，解得EB4.因為ABAC，所以ABC

27、ACBADB.由弦切角定理得EABEDA，所以EABABC，則AEBC，因為ACBD，所以四邊形AEBC是平行四邊形所以AEBC6，ACEB4，又由題意可得CAFCBA，所以eq f(CA,CB)eq f(CF,CA)，CFeq f(CA2,CB)eq f(8,3).答案eq f(8,3)考點三圓內接四邊形的判定及應用【例3】 (2015銀川一中月考)如圖，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內部，點M是BC的中點(1)證明：A、P、O、M四點共圓；(2)求OAMAPM的大小(1)證明連接OP，OM，因為AP與O相切于點P，所以OPAP.因為M是O

28、的弦BC的中點，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圓心O在PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A、P、O、M四點共圓(2)解由(1)得A、P、O、M四點共圓，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，因為圓心O在PAC的內部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.規(guī)律方法(1)如果四點與一定點距離相等，那么這四點共圓；(2)如果四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；(3)如果四邊形的一個外角等于它的內對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓【訓練3】 如下圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點B為圓心的圓交直線AB于C，D兩點，交圓O于E，F(xiàn)兩點，過點D作垂直于AD的

29、直線，交直線AF于H點(1)求證：B，D，H，F(xiàn)四點共圓；(2)若AC2，AF2eq r(2)，求BDF外接圓的半徑(1)證明因為AB為圓O的一條直徑，所以AFB90，所以BFH90.又DHBD，所以HDB90，所以BFHHDB180，所以B，D，H，F(xiàn)四點共圓(2)解由題意知AH與圓B相切于點F，由切割線定理得AF2ACAD，即(2eq r(2)22AD，解得AD4，所以BDeq f(1,2)(ADAC)1，BFBD1.易證ADHAFB，所以eq f(DH,BF)eq f(AD,AF)，得DHeq r(2)，連接BH，由(1)可知BH為BDF外接圓的直徑，BHeq r(BD2DH2)eq r

30、(3)，故BDF外接圓的半徑為eq f(r(3),2).(建議用時：50分鐘)一、填空題1. 如圖，AB是O的直徑，MN與O切于點C，ACeq f(1,2)BC，則sinMCA_解析由弦切角定理得，MCAABC，sin ABCeq f(AC,AB)eq f(AC,r(AC2BC 2)eq f(AC,r(5)AC)eq f(r(5),5)，則sin MCAeq f(r(5),5).答案eq f(r(5),5)2(2014湖北卷)如圖，P為O外一點，過P點作O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交O于C，D兩點若QC1，CD3，則PB_解析由題意QA2QCQD1(13)4，QA2，P

31、A4，PAPB，PB4.答案43. 如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF3，F(xiàn)B1，EFeq f(3,2)，則線段CD的長為_解析因為AFBFEFCF，解得CF2，因為CFBD，所以eq f(AF,AB)eq f(CF,BD)即eq f(3,4)eq f(2,BD)，BDeq f(8,3).設CDx，AD4x，所以DCDABD2即4x2eq f(64,9)，所以xeq f(4,3).答案eq f(4,3)4. 如圖，在ABC中，ABAC，C72，O過A，B兩點且與BC相切于點B，與AC交于點D，連

32、接BD，若BCeq r(5)1，則AC_解析由題易知，CABC72，ADBC36，所以BCDACB，所以BCACCDCB，又易知BDADBC，所以BC2CDAC(ACBC)AC，解得AC2.答案25. 如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_解析由題意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.答案56. 如圖，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，PBADBA.若ADm，ACn，則AB_解析PB切O于點B，PBAACB.又PBADBA，DBAACB，又A是公共角，

33、ABDACB.eq f(AB,AC)eq f(AD,AB)，AB2ADACmn，ABeq r(mn).答案eq r(mn)7. 如圖，O和O相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D.若BC2，BD4，則AB的長為_解析AC、AD分別是兩圓的切線，C2，1D，ACBDAB.eq f(BC,AB)eq f(AB,BD)，AB2BCBD248.AB2eq r(2)(舍去負值)答案2eq r(2)8(2013湖南卷)如圖，在半徑為eq r(7)的O中，弦AB，CD相交于點P，PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_解析由相交弦定理得PAPBPCPD.又PAPB2，PD1，則PC4，C

34、DPCPD5.過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點，OEeq r(r2blc(rc)(avs4alco1(f(CD,2)sup12(2)eq r(7f(25,4)eq f(r(3),2).答案eq f(r(3),2)9. (2013重慶卷)如圖，在ABC中，ACB90，A60，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為_解析在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10eq r(3).CD為切線，BCDA60.BDC90，BD15，CD5eq r(3).由切割線定理得DC2DEDB，即(5eq r(3)215D

35、E，DE5.答案5二、解答題10. 如圖，已知AB是O的直徑，直線CD與O相切于點C，AC平分DAB.(1)求證：OCAD；(2)若AD2，ACeq r(5)，求AB的長(1)證明AOCO，OACACO，AC平分DAB，DACOAC，DACACO，OCAD.(2)解直線CD與O相切于點C，OCCD，由(1)知OCAD，ADDC，即ADC90，連接BC，AB是O的直徑，ACB90，ADCACB，又DACBAC，ADCACB，eq f(AD,AC)eq f(AC,AB)，AD2，ACeq r(5)，ABeq f(5,2).11. (2014遼寧卷)如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE

36、上一點且PGPD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若ACBD，求證：ABED.證明(1)因為PDPG，所以PDGPGD.由于PD為切線，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA.所以DBABADEGABAD，從而BDAPFA.由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90.故AB是直徑(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故BDAACB90.在RtBDA與RtACB中，ABBA，ACBD，從而RtBDARtACB，于是DABCBA.又因為DCBDAB，所以DCBCBA，故DCAB.由于ABEP，所以DCEP，DCE為直角于是ED為

37、直徑由(1)得EDAB.12. 如圖，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C.(1)求證：FBFC；(2)求證：FB2FAFD；(3)若AB是ABC外接圓的直徑，EAC120，BC6 cm，求AD的長(1)證明因為AD平分EAC，所以EADDAC.因為四邊形AFBC內接于圓，所以DACFBC.因為EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FBFC.(2)證明因為FABFCBFBC，AFBBFD，所以FBAFDB，所以eq f(FB,FD)eq f(FA,FB)，所以FB2FAFD.(3)解因為AB是圓的直徑，所以ACB90，又

38、EAC120，所以ABC30，DACeq f(1,2)EAC60，因為BC6，所以ACBCtanABC2eq r(3)，所以ADeq f(AC,cosDAC)4eq r(3)(cm)最新考綱1.了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關系；2.了解旋轉變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示；3.理解變換的復合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質；4.理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣；5.理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量知 識 梳 理1矩陣的乘法規(guī)則(1)行矩陣a11a12與列矩陣eq blcrc(avs4alco1(

39、b11,b21)的乘法規(guī)則：a11a12eq blcrc(avs4alco1(b11,b21)a11b11a12b21(2)二階矩陣eq blcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)與列向量eq blcrc(avs4alco1(x0,y0)的乘法規(guī)則：eq blcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)eq blcrc(avs4alco1(x0,y0)eq blcrc(avs4alco1(a11x0a12y0,a21x0a22y0)設A是一個二階矩陣，、是平面上的任意兩個向量，、1、2是任意三個實數(shù)，則A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)兩個二階矩陣相

40、乘的結果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：eq blcrc(avs4alco1(a11a12,a21a22)eq blcrc(avs4alco1(b11b12,b21b22)eq blcrc(avs4alco1(a11b11a12b21a11b12a12b22,a21b11a22b21a21b12a22b22)性質：一般情況下，ABBA，即矩陣的乘法不滿足交換律；矩陣的乘法滿足結合律，即(AB)CA(BC)；矩陣的乘法不滿足消去律2矩陣的逆矩陣(1)逆矩陣的有關概念：對于二階矩陣A，B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣為

41、A1，A1B.(2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)(Aadbc0)，它的逆矩陣為A1eq blcrc(avs4alco1(f(d,adbc)f(b,adbc), f(c,adbc)f(a,adbc)(3)逆矩陣與二元一次方程組：如果關于變量x，y的二元一次方程組eq blc(avs4alco1(axbym，,cxdyn)的系數(shù)矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)可逆，那么該方程組有唯一解eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq sup12(1)eq blc

42、rc(avs4alco1(m,n)，其中A1eq blcrc(avs4alco1(f(d,adbc)f(b,adbc), f(c,adbc)f(a,adbc).3二階矩陣的特征值和特征向量(1)特征值與特征向量的概念設A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)，存在一個非零向量，使得A，那么稱為A的一個特征值，而稱為A的一個屬于特征值的一個特征向量(2)特征多項式與特征方程設是二階矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)的一個特征值，它的一個特征向量為Xeq blcrc(avs4alco1(x,y)，則Aeq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x

43、,y)，即eq blcrc(avs4alco1(x,y)滿足二元一次方程組eq blc(avs4alco1(axbyx，,cxdyy，)故eq blc(avs4alco1(（a）xby0,cx（d）y0)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(0,0)(*)則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)0.記f()eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)為矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)的特征多項式；方程e

44、q blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)0，即f()0稱為矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)的特征方程(3)特征值與特征向量的計算如果是二階矩陣A的特征值，則是特征方程f()eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)2(ad)adbc0的一個根解這個關于的二元一次方程，得1、2，將1、2分別代入方程組(*)，分別求出它們的一個非零解eq blc(avs4alco1(xx1，,yy1，)eq blc(avs4alco1(xx2，,yy2，)記X1eq blcrc(avs4alco1(x1,y1)，X2eq blcrc(avs4alco1(x2,y2)

45、.則AX11X1、AX22X2，因此1、2是矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)的特征值，X1eq blcrc(avs4alco1(x1,y1)，X2eq blcrc(avs4alco1(x2,y2)為矩陣A的分別屬于特征值1、2的一個特征向量診 斷 自 測1.eq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(5,7)_解析eq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(5,7)eq blcrc(avs4alco1(1507,05（1）7)eq blcrc(avs4alco1(5,7).答案eq

46、blcrc(avs4alco1( 5,7)2若Aeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2),f(1,2)f(1,2)，Beq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2),f(1,2) f(1,2)，則AB_解析ABeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2),f(1,2)f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2),f(1,2) f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(

47、1,2)f(1,2)f(1,2),f(1,2)f(1,2)f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(00,00).答案eq blcrc(avs4alco1(00,00)3設Aeq blcrc(avs4alco1(10,01)，Beq blcrc(avs4alco1(01,10)，則AB的逆矩陣為_解析A1eq blcrc(avs4alco1(10,01)，B1eq blcrc(avs4alco1(01,10)(AB)1B1A1eq blcrc(avs4al

48、co1(01,10)eq blcrc(avs4alco1(10,01)eq blcrc(avs4alco1(01,10).答案eq blcrc(avs4alco1(01,10)4函數(shù)yx2在矩陣Meq blcrc(avs4alco1(10,0f(1,4)變換作用下的結果為_解析eq blcrc(avs4alco1(10,0f(1,4)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,f(1,4)y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)xx，y4y，代入yx2，得yeq f(1,4)x2，即yeq f(1,4)x2.答案yeq f(1,4)x25若

49、Aeq blcrc(avs4alco1(15,62)，則A的特征值為_解析A的特征多項式f()eq blc|rc|(avs4alco1(1 5, 62)(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值為17，24.答案7和4考點一矩陣與變換【例1】 (2014蘇州市自主學習調查)已知a，b是實數(shù)，如果矩陣Meq blcrc(avs4alco1(2a,b1)所對應的變換將直線xy1變換成x2y1，求a，b的值解設點(x，y)是直線xy1上任意一點，在矩陣M的作用下變成點(x，y)，則eq blcrc(avs4alco1(2a,b1)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(

50、avs4alco1(x,y)，所以eq blc(avs4alco1(x2xay，,ybxy.)因為點(x，y)，在直線x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，即eq blc(avs4alco1(22b1，,a21，)所以eq blc(avs4alco1(a3，,bf(1,2).)規(guī)律方法理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關鍵，利用待定系數(shù)法，構建方程是解決此類題的關鍵【訓練1】 已知變換S把平面上的點A(3，0)，B(2，1)分別變換為點A(0，3)，B(1，1)，試求變換S對應的矩陣T.解設Teq blcrc(avs4alco1(ac,bd)，則T：eq blcrc(avs4a

51、lco1(3,0)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(ac,bd)eq blcrc(avs4alco1(3,0)eq blcrc(avs4alco1(3a,3b)eq blcrc(avs4alco1(0,3)，解得eq blc(avs4alco1(a0，,b1；)T：eq blcrc(avs4alco1(2,1)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(ac,bd)eq blcrc(avs4alco1(2,1)eq blcrc(avs4alco1(2ac,2bd)eq blcrc(avs4alco1(1,

52、1)，解得eq blc(avs4alco1(c1，,d3，)綜上可知Teq blcrc(avs4alco1(0 1,13).考點二二階逆矩陣與二元一次方程組【例2】 已知矩陣Meq blcrc(avs4alco1(23,11)所對應的線性變換把點A(x，y)變成點A(13，5)，試求M的逆矩陣及點A的坐標解由Meq blcrc(avs4alco1(23,11)，得|M|1，故M1eq blcrc(avs4alco1(13,12).從而由eq blcrc(avs4alco1(23,11)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(13,5)得eq blcr

53、c(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(13,12)eq blcrc(avs4alco1(13,5)eq blcrc(avs4alco1(11335,11325)eq blcrc(avs4alco1(2,3)，故eq blc(avs4alco1(x2，,y3，)A(2，3)為所求規(guī)律方法求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩陣時要重視(AB)1B1A1性質的應用【訓練2】 已知矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(23,12)，(1)求矩陣A的逆矩陣；(2)利用逆矩陣知識解方程組eq blc(avs4alco1(2x3y10，,

54、x2y30.)解(1)法一設逆矩陣為A1eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)，則由eq blcrc(avs4alco1(23,12)eq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(10,01)，得eq blc(avs4alco1(2a3c1，,2b3d0，,a2c0，,b2d1，)解得eq blc(avs4alco1(a2，,b3，,c1，,d2，)A1eq blcrc(avs4alco1(23,12).法二由公式知若Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)eq blcrc(avs4alco1(23,12)，則A1eq blcr

55、c(avs4alco1(23,12).(2)已知方程組eq blc(avs4alco1(2x3y10，,x2y30，)可轉化為eq blc(avs4alco1(2x3y1，,x2y3，)即AXB，其中Aeq blcrc(avs4alco1(23,12)，Xeq blcrc(avs4alco1(x,y)，Beq blcrc(avs4alco1(1,3)，且由(1)，得A1eq blcrc(avs4alco1(23,12).因此，由AXB，同時左乘A1，有A1AXA1Beq blcrc(avs4alco1(23,12)eq blcrc(avs4alco1(1,3)eq blcrc(avs4alco

56、1(7,5).即原方程組的解為eq blc(avs4alco1(x7，,y5.)考點三求矩陣的特征值與特征向量【例3】 已知aR，矩陣Aeq blcrc(avs4alco1(12,a1)對應的線性變換把點P(1，1)變成點P(3，3)，求矩陣A的特征值以及每個特征值的一個特征向量解由題意eq blcrc(avs4alco1(12,a1)eq blcrc(avs4alco1(1,1)eq blcrc(avs4alco1(3,a1)eq blcrc(avs4alco1(3,3)，得a13，即a2，矩陣A的特征多項式為f()eq blc|rc|(avs4alco1(12,21)(1)24(1)(3)

57、，令f()0，所以矩陣A的特征值為11，23.對于特征值11，解相應的線性方程組eq blc(avs4alco1(xy0，,2x2y0)得一個非零解eq blc(avs4alco1(x1，,y1.)因此，eq blcrc(avs4alco1(1,1)是矩陣A的屬于特征值11的一個特征向量；對于特征值23，解相應的線性方程組eq blc(avs4alco1(2x2y0，,2x2y0)得一個非零解eq blc(avs4alco1(x1，,y1.)因此，eq blcrc(avs4alco1(1,1)是矩陣A的屬于特征值23的一個特征向量規(guī)律方法已知Aeq blcrc(avs4alco1(ab,cd)

58、，求特征值和特征向量，其步驟為：(1)令f()eq blc|rc|(avs4alco1(（a）b,c（d）)(a)(d)bc0，求出特征值；(2)列方程組eq blc(avs4alco1(（a）xby0，,cx（d）y0；)(3)賦值法求特征向量，一般取x1或者y1，寫出相應的向量【訓練3】 (2014揚州質檢)已知矩陣Meq blcrc(avs4alco1(31,13)，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量解由矩陣M的特征多項式f()eq blc|rc|(avs4alco1(31,13)(3)210，解得12，24，即為矩陣M的特征值設矩陣M的特征向量為eq blcrc(avs4alco

59、1(x,y)，當12時，由Meq blcrc(avs4alco1(x,y)2eq blcrc(avs4alco1(x,y)，可得eq blc(avs4alco1(xy0，,xy0.)可令x1，得y1，1eq blcrc(avs4alco1(1,1)是M的屬于12的特征向量當24時，由Meq blcrc(avs4alco1(x,y)4eq blcrc(avs4alco1(x,y)，可得eq blc(avs4alco1(xy0，,xy0，)取x1，得y1，2eq blcrc(avs4alco1(1,1)是M的屬于24的特征向量.(建議用時：50分鐘)一、填空題1已知變換T：eq blcrc(avs

60、4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(3x4y,5x6y)，則該變換矩陣為_解析eq blc(avs4alco1(x3x4y，,y5x6y，)可寫成eq blcrc(avs4alco1(34,56)eq blcrc(avs4alco1(x,y)eq blcrc(avs4alco1(x,y).答案eq blcrc(avs4alco1(34,56)2計算eq blcrc(avs4alco1(37,58)eq blcrc(avs4alco1( 2,1)等于_解析eq blcrc(avs4alco1(37,58)eq blcrc(av