1、 專題一壓軸填空題第五關以圓或隱圓為背景的填空題【名師綜述】直線與圓是高中數學的C級知識點，是高中數學中數形結合思想的典型體現近年來，高考對直線與圓的命題，既充分體現自身知識結構體系的命題形式多樣化，又保持與函數或不等式或軌跡相結合的命題思路，呈現出“綜合應用，融會貫通”的特色，充分彰顯直線與圓的交匯價值.類型一以動點軌跡為圓考查直線與圓、圓與圓位置關系典例1已知圓0:x2y2=5,A,B為圓0上的兩個動點，且AB=2,M為弦AB的中點，C(25/2,a)D(2A/2,a+2).當代B在圓O上運動時，始終有NCMD為銳角，貝U實數a的取值范圍為【解析】由題意得=二點M在以。為圓心,半徑為2的圓

2、上.設匸的中點為，則沖妊小且CD=2.T當在圓。上運動時，始終有為銳角，-以O為圓心，半徑為2的圓與以衛十J対圓心半彳詼1的圓外離、/-2殲+(13,整理得(+1)11?解得X2或口A0+二實數a的取值范圍為2)。(QW).【名師指點】解答本題時，要根據所給出的條件得到點M的軌跡，然后從點與圓的位置關系出發，得到點M在以CD為直徑的圓外，從而根據圖形可得到只要兩圓外離就滿足題意的結論，這是解題的關鍵.22【舉一反三】已知橢圓G:篤占=1ab0與圓C2：x2+y2=b2,若橢圓G上存在點P,由點P向abTOC o 1-5 h z圓C2所作的兩條切線PA,PB且/APB=60，則橢圓Ci的離心率的

3、取值范圍是 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 【解析】因為APB=60，所以.POB=30,在RT.=POB中，由OB二b得PO=2b，由點P在橢圓J7J3)上知，bcPO=2bEa，所以4b2=4(a2C2)蘭a2，解得e，又知0ceci，故填|,1. HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 2-2類型二以圓中直角三角形建立函數關系式或方程或不等式典例2已知ABC中，AB=ACf3,ABC所在平面內存在點P使得PB2PC2=3PA2=3,則MBC面積的最大值為【答案】口316【解折】設,以月C所在直線

4、為為軸、亙中垂線d所在直線為護軸建立直角坐標系(如圖所示兒則號(仏山/),設尸(瓦刃，由尸耳+2=3島工=3,得+二;:tf；=3,x1+y22-Jsy+3a2=I土2a-23二3a2y.3a21貝V23a212一3-a20),直線PA與BE交于C,則當“1時，CM+CN為定值.【答案】8(1【解析】題意可得B(3,0),M(1,0)N(1,0)，設P(xo,y。)，則點EI心y0，故PA的方程為I1+九丿x3,be的方程為1y1x-3x-3，聯立方程組可得y22y。222x把y=9-2代入化簡可得92y91=1,故點C在以AB為長軸的橢圓上,當M、N為此橢圓的焦點時,CM+CN為定值2a=6

5、，此時a=3,c=1,b=119，由a2-b2=c2可得99=1，求得11，故填丄883在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:(x1$+(y26)2=1和兩點A(a,2a),B(a,a2),且a1，若圓C上存在兩個不同的點P,Q，使得NAPB=NAQB=90，則實數a的取值范圍為【答案】1乞a1一17【解桁】原問題等佑-干諷為圜心的園與圜c有兩個交點，AB中點坐標為(0.0),展蟲丄為圜心的圓的半徑駕=,且S1C的同心為(匕2蟲)，半徑為碼=ir的圓的圓心距為:dJ1+24=5結合口A1可得關干實數。的不等式組：Ja2+(a_2丫_1蘭5Ja2十(a_2$十1啟5求解關于實數a的不等式組可得實數

6、a的取值范圍為1.17._2224在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0),B(1,0)均在圓C:(x3)+(y4)=r外,且圓C上存在唯一一點P滿足AP丄BP，則半徑r的值為【答案】4【解析】根據題意，點A(-1,0),B(1,0)，若點P滿足APBP，則點P在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為M,則M的坐標為(0,0),|AB|=2，則圓M的方程為x2y1,若圓C上存在唯一一點P滿足AP_BP，則圓C與圓M只有一個交點，即兩圓外切，則有r+仁|MC|=32425，解可得r=4.5已知等邊：ABC的邊長為2，點P在線段AC上，若滿足等式PA?PB二，的點P有兩個，則實數的1取值范圍是.【

7、答案】K0)，點N為圓M上任意一點.若以N為圓TOC o 1-5 h z心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為.【答案】3【解析】根據題意，圓M與以N為圓心的圓的位置關系是內切或內含.貝UdMNwdoN1,即1WdON1.所以doN2恒成立.因為N在圓M上運動，所以dON的最小值為dOM1,即卩d。12,所以a2+(3a)23,解得a3,所以a的最小值為3.已知線段AB的長為2，動點C滿足CA-CB=入(入為常數)，且點C總不在以點B為圓心，1為半徑的圓內，則實數入的最大值是.【答案】-3【解析】建立平面直甬坐標系，B(Q,0),A0),TgCte,y),則臣-CB=x(x-

8、2)+y=X,貝!比7+y=+1SV(x-1)4-y3=7X+l?點C的軌跡是臥0)為圓咽人+1為半徑的圓且與xa+ya=卜離或相切所蚊Rw右入的最大值為一_一、222在平面直角坐標系xOy中，設直線y=x+2與圓x+y=r(r0)交于A,B兩點.若圓上存在一點C,滿足0C=|OA+4qb則r的值為.【答案】屮0【解析】OC=5t+24A-4。肝225215292，即r=r+rcos/AOBr，整理化簡得32321cos/A0B=三，過點0作AB的垂線交AB于D,貝Ucos/AOB=2cos/A0D-1=，得cos/AOD-.又圓5551OD2心到直線的距離為OD=.=：2,所以cos/AOD

9、=2=，所以5rr已知圓M(x1)+(y1)=4，直線I:x+y6=0,A為直線使得/BAC=60,則點A橫坐標的取值范圍是.【答案】=10,r=10.l1上一點.若圓M上存在兩點B,C,516816【解析】圓M:(x1)+(y1)=4上存在兩點B,C,使得/BAC=60,說明點A(x,y)到M(1,1)的距離小于等于4,即(x1)2+(y1)216,而y=6x，得x26x+50,即卩Kx0)外一點，圓M上存在點T使得/MA=45,則實數a的取值范圍是.【答案】Kav1【解析】點A(0,2)在圓M：x+y2ax2ay=0(a0)夕卜，得44a0,貝Uav1.圓M上存在點T使得/MATAML22

10、2L=45,yWr=；2a,g卩AMc2a,(a2)+a0)，解得,31a.綜上，實數a的取值范圍是、.；31cav1.在平面直角坐標系xOy中，已知圓。，圓O2均與x軸相切且圓心O,Q與原點O共線，O,Q兩點的橫坐標之積為6，設圓0與圓Q相交于P,Q兩點，直線I:2xy8=0,則點P與直線I上任意一點M之間的距離的最小值為.【答案】羋6弩，-.3l【解析】設圓Ol的方程為(X3+(yka)2=k2a2，圓0；的方程九(荔目*一牛)=-|g1.2!36ig彳導+2kyky+aa=07口卩2x+2ya一=0-設P羽),JJJJ:a)+(更一1:韻=疋,鼻吉也，也g即Xb+y5=2axa+2ayf

11、l又2x+2yta=0,可得2axc+2aycaa=6,故總+云=E,即點P的軌跡是以原點為園心,半徑為詬的圓，則點P與直線1上任意一點M之間的距離的最小值為羋-已知直線I過點P(1,2)且與圓C:x2+y2=2相交于A,B兩點，ABC的面積為1,則直線I的方程為.【答案】x1=0,3x4y+5=01【解析】由abc=22xsin/ACB=1,sin/ACB=1，/ACB=90，則點C(0,0)到直線I的距離為1,設直線I的方程為y2=k(x1)，利用距離公式可得k=4,此時直線I的方程為3x4y+5=0,當k不存在時，x1=0滿足題意.22在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x+(y1)=5

12、,A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB,記線段AB的中點為M若0A=0M則直線AB的斜率為.【答案】2【解析】設點B(xo,yo)，則M2號，圓x2+(y1)2=5與x軸負半軸的交點A(2,0),0A=0M=2，即+2=4.又x2+(y01)2=5,兩式相減得y=2x0+4.而A(2,0)也滿足y0=2x0+4,即直線AB的方程為y=2x+4,則直線AB的斜率為2.17.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+(y3)2=2，點A是x軸上的一個動點,APAQ分別切圓C于P、Q兩點，則線段PQ長的取值范圍為.【答案】導,解桁】AF艸I=2PA雪*C=x9,+),剛=2蒞a_/工丘務十

13、8PA且PA是所有位置中最小，AB即滿足題意，19.若斜率互為相反數且相交于點P(1,1)的兩條直線被圓Ox+y2=4所截得的弦長之比為，則這兩條2222218.在平面直角坐標系xOy中，圓C:(x+1)+(y6)=25，圓G:(x17)+(y30)=r.若圓C上存在一點P,使得過點P可作一條射線與圓C依次交于點A、B,滿足PA=2AB,則半徑r的取值范圍是.【答案】5,55【解析】在圓C上任取一點P,過點P可作一條射線與圓Ci依次交于點A、B,當AB過圓心時，此時PA在該點處最小，AB在該點情況下最大，此時在P點情況下pA最小，當P,A,B三點共線時，如圖1,2,PA為所有位置最小，PAGC

14、5rTOC o 1-5 h zAB=10yj(17+1)2+(306)25r廠10W25r1PArCG5Ab=10r(17+1)2+(306)25X2X1Xo1yo0X1+X22y1+y2，當X0=1時,y2y1=0kM=0,則PQ的斜率不存在，則xp=xq,不符合題意;1直線的斜率之積為.【答案】一9或一-【解析】謖一條直線Li的斜牽為k,異肓1二斜率去Ik.L:yl=k(x1)即丘一yH(丄一k)=0,圖亠ll-kl亠|l+k|ffca-|-iTOC o 1-5 h z心0(60)到11的距碼山=jj同理可得圓心0(00)到1的距圏山=j則=羅.解得或*改商直線的斜率之積為k-(-t?)-

15、kJ=-S或一吉22在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x1)+(y1)=9,直線I:y=kx+3與圓C相交于A、B兩點，M為弦AB上一動點，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點，貝U實數k的取值范圍為.73、【答案】一4,+m；【解析】以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點，貝yC點到直線I的距離小于1,即d=k：21w1，解得kw=10W2rw55wrw55.Qk2+1422在平面直角坐標系xOy中，過點P(5,a)作圓x+y2ax+2y1=0的兩條切線，切點分別為M(X1,V2y1X1+X22V1),N(X2,y2),且一-+-一=0,則實數a的值為.【答案】3或一2X2X1y

16、1+y2222【解析】記圓心為Q,MN的中點為A(xo,yo)，圓Q的方程為(xa)+(y+1)=a+2,由MNLPQX011y001厶八、e、，1a當X。工1時，kMN=7kpQ=-=,則PQ的直線方程為y+1=(xa).因為(1,y0KpqX01a十5a十520)在PQ上，則有aa6=0a=2或3.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:(xa)2+(ya+2)2=1,點A(0,2)，若圓C上存在點M,滿足mA+mO=10,則實數a的取值范圍是.【答案】0,3【解析】設M(x,y)，由mA+mO=10,A(0,2)，得x2+(y1)2=4，而(xa)2+(ya+2)2=1，它們有公共點，則1w

17、a2+(a3)2w9，解得實數a的取值范圍是0,3.在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mxy2m-1=0(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為【答案】(X1)2+y2=2【解析】mxy21=0直線過定點(2,1)，由圖形知：圓過點(2,1)時，半徑最大，此時半徑為-J2,圓的標準方程為(x1)2+y2=2.在直角坐標系xOy中，已知A(1,0)、B(0,1)，則滿足PA2P=4且在圓x2+y2=4上的點P的個數為【答案】2【解析】設Pgy),由Prf*Ptf=4知仗+疔+旳一曲+&訕=整理，得z+y-2=0.又圓心40)到直線x+y-2-0距離戶阜二/2,因此直線

18、與圓有兩個交點，故符合條件的點P有2個.V2TOC o 1-5 h z在平面直角坐標系xOy中，過點P(5,3)作直線I與圓x2+y2=4相交于A、B兩點.若OALOB則直線I的斜率為.【答案】1或7【解析】設直線方程y=k(x5)+3,由OALOB知圓心到直線的距離d=rsin=2x=2，從而242*寸1+k=,2，解得k=1或23.222在平面直角坐標系xOy中，已知點P(3,0)在圓C:x+y2mx4y+m28=0內，動直線AB過點P且交圓C于A、B兩點，若ABC的面積的最大值為16,則實數m的取值范圍為.【答案】3+23,3+27)U(327,323【解析】圓C的方程為(xm)2+(y2)2=32.圓心C(m,2)，半徑r=32=42.12.,Saabc=26sin/ACBC16,故當sin/ACB=1即/ACB=90時，Sabc取得最大值.即當ACB為等腰直角三角時，面積取到最大值.故此時圓心到動直線的距離d=rx-2=4,從而dwPCXr，即16(m3)2+4v32，解得m3+23,3+27)U(327,323.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x1)2+y2=4,P為圓C上一點.若存在一個定圓M過P作圓M的兩條切線PAPB,切點分別為A、B,當P在圓C上運動時，使得/APB恒為60,則圓M的方程為【答案】(x1)2+