1、東北大學秦皇島分校數(shù)學建模課程設計報告伊拉克戰(zhàn)爭中的數(shù)學模型學院數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)信息與計算科學學號7100115姓名陳鵬程指導教師張尚國林秋成績教師評語：指導教師簽字：2013年7月16日r數(shù)學與統(tǒng)計學院課程設計報告第 頁1緒論1.1問題提出人類會厭倦睡覺；厭倦愛情；會厭倦唱歌；厭倦跳舞；但是戰(zhàn)爭，卻永不停歇。荷馬伊利亞特伊拉克戰(zhàn)爭，又稱美伊戰(zhàn)爭，是以美英軍隊為主的聯(lián)合部隊在2003年3月20日對伊拉克發(fā)動的軍事行動，美國以伊拉克藏有大規(guī)模殺傷性武器并暗中支持恐怖分子為由，繞開聯(lián)合國安理會，單方面對伊拉克實施軍事打擊。到2010年8月美國戰(zhàn)斗部隊撤出伊拉克為止，歷時7年多，美方最終沒有找到所

2、謂的大規(guī)模殺傷性武器，反而找到薩達姆政權早已將其銷毀的文件和人證。2011年12月18日，美軍全部撤出。決定一場戰(zhàn)爭勝負的因素是很多的，也是很復雜的，不是一個簡單的數(shù)學模型所能解決的。毛主席說：決定戰(zhàn)爭勝負的是人，而不是一兩件新式武器。哲人說：人心的向背決定戰(zhàn)爭的勝負。但人心是模糊的，很難說清楚。這里，我們不想討論戰(zhàn)爭勝負的原因。只是從數(shù)學的角度來探討決定一場戰(zhàn)爭勝負的一些因素。早在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn).W.Lanchester就指出了幾個預測戰(zhàn)爭結局的數(shù)學模型，其中有描述傳統(tǒng)的正規(guī)戰(zhàn)爭的，也有考慮稍微復雜的游擊戰(zhàn)爭的，以及雙方分別使用正規(guī)部隊和游擊部隊的所謂混合戰(zhàn)爭的。1.2問題分析戰(zhàn)爭的

3、輸贏通常正比于參加戰(zhàn)爭的軍隊數(shù)量，軍隊數(shù)量因戰(zhàn)斗減員和非戰(zhàn)斗減員而減少，又由后備力量的增援而增加；戰(zhàn)斗力即殺傷對方的能力，則與射擊率（單位時間的射擊次數(shù)）、射擊命中率以及戰(zhàn)爭的類型（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）等有關，這些模型當然沒有考慮交戰(zhàn)雙方的政治、經(jīng)濟、社會等因素，而僅靠戰(zhàn)場上兵力的優(yōu)劣是很難估計戰(zhàn)爭勝負的，所以我們認為用這些模型判斷整個戰(zhàn)爭的結局是不可能的，但是對于局部戰(zhàn)役來說還有參考價值。更重要的是，建模的思路和方法為我們借助數(shù)學模型討論社會科學領域中的實際問題提供了可以借鑒的示例。1.3符號說明x(t)表示甲方t時刻的兵力y(t)表示乙方t時刻的兵力f(x,y)表示甲方戰(zhàn)斗減員率g(x,y)表

4、示乙方戰(zhàn)斗減員率ax表示甲方非戰(zhàn)斗減員率0y表示乙方非戰(zhàn)斗減員率u(t)表示甲方t時刻的增員率v(t)表示乙方t時刻的增員率2建立模型2.1正規(guī)戰(zhàn)爭甲乙雙方都用正規(guī)部隊作戰(zhàn)，作戰(zhàn)的雙方擺好隊型，堂堂正正開戰(zhàn)。2.1.1模型假設甲方士兵公開活動，處于乙方每一個士兵的監(jiān)視和殺傷范圍之內(nèi)，一旦甲方某個士兵被殺傷，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方兵力有關，可以簡單地設f與y成正比，即f=ay,a表示乙方平均每個士兵對甲方士兵的殺傷率(單位時間的殺傷數(shù))，稱乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，a可以進一步分解為a=rp，其中r是乙方y(tǒng)yy的射擊率(每個士兵單位時間的射擊次數(shù))，p是每次射擊

5、的命中率。y類似地有g=bx，且甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)b=rP,r,p是甲方的射擊率和命中率xxxx2.1.2建立模型根據(jù)甲乙雙方的減員率，可建立雙方兵力變化的模型。得方程為：dx(1)=-ay-ax+u(t)dtdy=-bx-by+v(t)dt在分析戰(zhàn)爭結局時忽略非戰(zhàn)斗減員一項(與戰(zhàn)斗減員相比，這項很小)，并且假設雙方都沒有增援，記雙方的初始兵力分別是x,y,方程(1)簡化為00數(shù)學與統(tǒng)計學院課程設計報告第3頁dx=-aydt(2)(3)(4)(5)dy=-bxdtx(0)=x,y(0)=y由方程(2)可得其解為由初始條件，有如圖：00dy=bxdxayk=ay2-bx2圖2.1正規(guī)戰(zhàn)爭中數(shù)學模

6、型的函數(shù)圖形ay2-bx2=k由圖可以看出如果k0，這就是說存在使x(勺)=0,叫=瞪，即當甲方兵力為零時乙方兵力為正值，表明乙方獲勝，同理可知，kb=工(6)xarp0yy(6)式說明雙方初始兵力之比y0/x0以平方關系影響著戰(zhàn)爭的結局，例如若乙方兵力增加到原來的2倍(甲方不變)，則影響戰(zhàn)爭結局的能力增加到4倍，或者說，若甲方的戰(zhàn)斗力譬如射擊率r增加到原來的4倍(p,r,p均不變)，那么為了與此相抗衡，乙方只須xxyy將初始兵力y0增加到原來的2倍，由于這個原因正規(guī)戰(zhàn)爭模型稱為平方律模型。2.1.3伊拉克戰(zhàn)爭中的正規(guī)戰(zhàn)爭從2003年3月19日開始的伊拉克戰(zhàn)爭，可以分為兩個階段：第一個階段：3

7、月19日到4月25日，這可看成正規(guī)戰(zhàn)爭；第二個階段，應是從那以后到結束。r數(shù)學與統(tǒng)計學院課程設計報告第 頁第一階段，3月19日到4月25日，這個階段可看成正規(guī)戰(zhàn)爭，盡管也有游擊戰(zhàn)，但主要的還是正規(guī)戰(zhàn)。下表是美軍的美軍傷亡人數(shù)。表2.1美軍傷亡人數(shù)日期3.223.263.284.24.54.74.104.124.144.164.194.24人數(shù)22729416081101107117123128132到4月24日，美軍的戰(zhàn)斗減員為111人，非戰(zhàn)斗減員為21人，平均每日戰(zhàn)斗減員約為3人，美軍投入戰(zhàn)斗的部隊約為15萬。伊拉克方面沒有傷亡報告，估計約為300人/天。此外美國大量使用精確制導炸藥，命率和

8、威力大大超越伊拉克使用的普通炸藥，伊拉克投入的兵力實際約為40萬左右。同時，由于作戰(zhàn)的時間不長，美國支援的部隊沒有趕上戰(zhàn)斗；所以不考慮支援。將這些代入模型(2)：TOC o 1-5 h zI、dx訂-ay HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 空=-bxIdtIx(0)=x,y(0)=yI00其中，x=150000，y=400000；a=3/400000，b=300/150000=0.002。00關于a，b的說明：因為傷亡的人數(shù)和總的人數(shù)相比十分小，所以，在計算參數(shù)時基本參戰(zhàn)人數(shù)看成不變。為便于計算，估計時，采用的是平均戰(zhàn)斗死亡人數(shù)。(2)的解為：

9、k=ay2-bx2(8)00將初始值代入，得：K=-43800000由于這個數(shù)據(jù)遠遠小于0，因此美軍獲勝是毫無疑問的。另一個原因美軍使用了許多非戰(zhàn)斗手段，從海灣戰(zhàn)爭以來美國一直對伊拉克經(jīng)濟制裁，政治孤立，全面封鎖。在長達十二年的封鎖中伊拉克經(jīng)濟低迷，軍備落后，再也不是兩伊戰(zhàn)爭時期的伊拉克了。同時在戰(zhàn)爭期間美國隊伊拉克恩威并致，使伊拉克的軍隊放棄抵抗，使戰(zhàn)爭提前結束。2.2游擊戰(zhàn)爭雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)。2.2.1模型假設甲方士兵在乙方士兵看不到的某個面積為s的隱蔽區(qū)域內(nèi)活動，乙方士兵不是向甲方x士兵開火，而是這個隱蔽區(qū)域射擊，并且不知道殺傷情況，這時甲方戰(zhàn)斗減員率不僅與乙方兵力有關，而且隨著甲方

10、兵力的增加而增加，因為在一個有限區(qū)域內(nèi)，士兵越多，被殺傷的就越多，這樣可以簡單地假設fcxy，且乙方戰(zhàn)斗有效系數(shù)c可表為：:=rp=r九,yyysx其中r仍為射擊率，而命中率ypy等于乙方一次射擊的有效面積s與甲方活動面積s之比。ryx類似地有g=dxy,d=rp=r九。xxxsy2.2.2建立模型這個模型中方程(1)化為：Idx/、I=-cxy-ax+u(t)IdtI普=-dxy-by+v(t)(9)忽略ax,by，并令u=v=0，在初始條件下(9)式為:dx=-xcydtdy=-=-dxydtx(0)=x,y(0)=y00(10)與正規(guī)戰(zhàn)爭模型中方程(2)的解法類似，方程(10)的解為cy

11、-dx=mm=cy-dx00(12)式確定的相軌線是直線族，如下圖，(11)(12)可知m0時乙方勝,m0,所以，美軍獲勝。由(15)得：y=、宇(17)結束戰(zhàn)爭通常有兩種方式：是敵人全部被消滅，此時y=弓=118996,美軍損失1004人,時間大于一年8個月。二是敵人被消滅大部(考慮60%),這樣的話，大約1年時間可以解決，美軍損失601人。但是，如果美軍在伊拉克的行動引起伊拉克人民的強烈不滿而導致一場人民起義的話，結果可能會大不一樣。伊拉克的人口大約有幾千萬，其中什葉派穆斯林占將近60%，這些人在薩達姆時代是受打擊的。因此伊拉克戰(zhàn)爭開始時，他們與美軍合作。但時間一長,他們會中立或同情其他反

12、抗美軍的人。而其他40%則大部會采取不同方式與美軍對抗。如果有多于60萬的伊拉克人起義，而美軍不增加兵力的話，由(15)，有nv0。也就是說，美軍會失敗。盡管美國的壓力會持續(xù)不斷，伊拉克的傷亡會逐漸增高，但伊拉克的游擊隊數(shù)目是源源不斷的，可以認為兵力基本是固定不變的。不妨設游擊隊的數(shù)目大致不變，即dx/dt=0。于是，方程(13)變?yōu)閨竺=0IdtTOC o 1-5 h zidy=-bx(18)dtx(0)=x,y(0)=y|00解為： HYPERLINK l bookmark106 o Current Document y二-bxt+yx二x00；0表明美軍的傷亡呈線性，時間一長，傷亡越大，

13、最后使得美軍無法承受。2003年3月美國開打伊拉克戰(zhàn)爭，共有4869名美軍陣亡，4403名美軍死于事故。美國總統(tǒng)奧巴馬于2011年12月21日在白宮宣布，將于2011年12月31日前撤回全部駐伊拉克美軍，正式終結持續(xù)近9年時間的伊拉克戰(zhàn)爭。結論通過以上我們可以看到戰(zhàn)爭的成敗在數(shù)學上主要取決于作戰(zhàn)雙方的兵力，以及武器裝備的先進程度。在正規(guī)戰(zhàn)爭中雙方初始兵力之比y/x以平方關系影響著戰(zhàn)爭的結局，例00如若乙方兵力增加到原來的2倍(甲方不變)，則影響戰(zhàn)爭結局的能力增加到4倍，或者說，若甲方的戰(zhàn)斗力譬如射擊率r增加到原來的4倍(p,r,p均不變)，那么為了與此xxyy相抗衡，乙方只須將初始兵力y增加到

14、原來的2倍。而在混合戰(zhàn)中，在同等火力強度的情0況下正規(guī)軍一方要想取得勝利兵力至少是游擊隊一方的十倍。還可以看出一個世界霸主去打敗一個地區(qū)強國是輕而易舉的，然而從長遠看一個入侵者不管有多強大，只要掀起戰(zhàn)爭都會付出巨大的代價。關于伊拉克戰(zhàn)爭，似乎是美國勝利了，但是也有人說美國失敗了。從軍事角度看，美國已經(jīng)打敗了薩達姆，最初的目的達到了，因而美國算是勝利了。但是從戰(zhàn)略全局，從政治、軍事、經(jīng)濟、社會、道義等綜合角度看，美國其實在很大程度上失敗了。美國7630億美元戰(zhàn)爭開支，5.6萬名軍人受傷。伊拉克100000名士兵傷亡，游擊隊陣亡更是不計其數(shù)，上百萬平民的死亡，480萬難民無家可歸。十年過去了，伊拉克戰(zhàn)爭逐漸地淡出了人們的視野，但傷口還在，還在流血，永遠