1、關于測量誤差及數據處理的基本知識第一張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月知識點一： 誤差分類、性質；衡量精度指標第二張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-1 測量誤差的種類一、測量誤差的來源1）儀器（精密度、裝配、搬運等）；2）觀測者（儀器安置,照準讀數等;感覺器官的鑒別能力、工作態度、技術水平等）；3）外界環境條件（溫度、風力、大氣折光等）如：觀測一段距離兩次，觀測值不完全相等等。故：測量誤差是不可避免的！ 第三張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月二、測量誤差的種類按性質分三類：1）粗差特別大的誤差（錯誤或異常值）記錯、讀錯或測錯2）系統誤差在相同的觀測條件下，對某量進行

2、一系列觀測中，數值大小或正負符號固定不變，或按一定規律變化的誤差，稱系統誤差。（如水準測量時i角誤差;鋼尺標稱長度不準確等誤差）3）偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行一系列觀測中，單個誤差出現沒有一定規律性，其數值大小和符號都不固定，表現出偶然，這種誤差乘為偶然誤差，又稱隨機誤差。（如：讀數誤差，照準誤差等）第四張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月處理原則粗差細心，多余觀測進行檢核，并剔除；系統誤差找出規律，采取適當的觀測方法、檢校儀器或加改正數的方法抵消或減弱其影響；偶然誤差改善外業測量環境,進行多余觀測，并根據其統計特性進行數學處理（平差）。第五張，PPT共五十一頁，創作于202

3、2年6月三、測量誤差的定義真誤差：觀測值與真值之差，即： 真誤差（）=觀測值-真值例：觀測三角形三個內角，分別為： 則三角形的內角和真誤差為：第六張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-2 偶然誤差的特性例2：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角（圖5-1 ），三角形內角和的誤差i為： i= i +i+ i-180 （5-1）其結果按誤差區間0.2秒間隔、數值大小及符號進行排列（見表）。試:分析三角形內角和的誤差I的規律。第七張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月誤差區間 負誤差 正誤差 誤差絕對值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.1

4、28 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表2-1 偶然誤差的統計 第八張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月由上表，可總結

5、偶然誤差的四個統計特性：1、一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值；（說明偶然誤差出現的范圍）2、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會大；（說明偶然誤差絕對值大小的規律）3、絕對值相等的正、負誤差出現個數大致相等；（誤差符號出現的規律）4、在相同條件下，對同一量進行重復觀測，偶然誤差算數平均值隨著觀測次數的無限增加而趨于零。（說明偶然誤差的抵償性）第九張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=f（）按表數據，繪制頻率直方圖：第十張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月

6、-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=f（）將區間縮小，繪制誤差分布曲線：可以看出:曲線越陡，小誤差越密集。第十一張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月實踐證明：偶然誤差不能用計算來改正、或用一定的觀測方法簡單的加以消除，只能根據其特性來合理地處理觀測數據，以提高觀測成果質量。第十二張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-3 衡量觀測值精度的指標 研究誤差的目的之一就是對觀測值的精度做出科學評價，在我國，評定精度額標準，常用的有中誤差、極限誤差和相對誤差三種。一、觀測條件將儀器、人以及外界條件稱為“觀測條件”。觀測

7、條件相同，則認為觀測精度一樣，也稱為“等精度觀測”，反之，觀測條件不同，則稱為”不等精度觀測“。第十三張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月二、衡量觀測精度的指標衡量觀測精度：可通過統計表、直方圖或分布曲線來比較。不難看出，誤差曲線越陡，說明小誤差出現的概率越大，精度也越高；反之，則低。衡量觀測精度的數字指標：中誤差極限誤差相對中誤差第十四張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月1）中誤差中誤差的定義式： （5-1）實際中，觀測次數總是有限的，故常用M的估值:（5-2）不難看出：中誤差越大，表示觀測值的精度越低；反之，精度越高。第十五張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例3：對同量

8、分組各進行了10次觀測，其真誤差為：第一組：第二組：試計算兩組觀測列中誤差。解：第十六張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例4：某作業組對7個三角形進行了內角觀測，其三角形閉合差為：試計算這組閉合差的中誤差。解：第十七張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月2）極限誤差偶然誤差第一特性表明，一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定限值。若超過了，則認為有錯，應舍去重測。這個限值稱為極限誤差。實踐證明：大于一倍的中誤差出現概率約占30%，大于兩倍占5%，大于三倍約站0.3%。定義：取兩倍或三倍的中誤差作為偶然誤差的極限誤差，即： 容=2m（3m） （5-3）即：超過極限誤差的認為是粗差

9、，應舍去重測。第十八張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月3）相對誤差中誤差和真誤差又稱絕對誤差。某些情況下單用中誤差表達觀測值精度是不能完全表達精度的優劣。相對誤差定義：誤差與觀測值之比，用 形式表示。即：分為：相對中誤差、相對容許誤差、相對閉合差。注意：相對誤差一般是用來衡量距離的精度的！是一無名數。第十九張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例4：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是2cm，問兩者的精度是否相同？解：按定義，得：前者的相對中誤差為： 002200 110000后者相對中誤差則為： 00240l2000故前者的量距精度高于后者。第二十張，PPT共五

10、十一頁，創作于2022年6月本知識點小節：1、誤差來源、分類以及性質；2、衡量精度三個指標。第二十一張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月知識點二： 誤差傳播律第二十二張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-4 誤差傳播律在測量工作中，有一些需要知道的量并非直接觀測得到，而是通過觀測值以一定的函數關系計算而得，因此稱這些量為觀測值的函數。由于觀測值中含有誤差，使函數受其影響也含有誤差，此種誤差關系，稱之為誤差傳播。 第二十三張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月誤差傳播律：表述觀測值中誤差與函數中誤差之間數學關系的定律，稱為誤差傳播定律。用途：當已知一些量的中誤差，來求由這些量構

11、成的函數的中誤差（精度）。（中誤差的定義是求直接觀測量的精度的）例如：已知觀測高差的中誤差（精度），問由其計算所得高程的精度？第二十四張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月1）線性函數的中誤差X是已知中誤差的獨立觀測值，K是常系數。當觀測值的中誤差分別為：m1,m2mn時，按傳播律得函數Z的中誤差為：例5 已知函數式：HA=H0+h1+h2，m1=m2=3毫米，求A點高程的中誤差？第二十五張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月應用誤差傳播律時，要注意一下特例：（1）當k1=k2=kn=0時，則函數（5-4）式為倍數函數：（2）當k1=k2=.=kn=1時，則函數（5-4）式為和差函數：

12、第二十六張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月可見，在應用誤差傳播律解題時：（1）要正確列出函數式；（2）根據函數式找出所用的誤差傳播律公式，并將各數據對應地帶入公式計算。第二十七張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例：在1：500地形圖上量的某兩點的距離d=234.5mm,其中誤差md=0.2mm,求該兩點間的地面水平距離D及其中誤差mD.解：第二十八張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例：設對某一個三角形觀測了其中、角，測角中誤差為試求第三個角的中誤差。解：第二十九張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月2）非線性函數（一般函數） 設有非線性函數Z=f(x，xxn） x，

13、xxn為獨立觀測值，其相應的中誤差分別為m、mmn，求函數Z的中誤差。 第三十張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月不難看出，線性函數是非線性函數特例；綜合上述，應用誤差傳播律求觀測值函數中誤差，一般按以下三個步驟計算：1、列出獨立觀測值的函數式2、對函數全微分 ,計算各觀測值的偏導數值 ；3、根據各觀測值的 和中誤差mxi,按公式計算函數值的中誤差mz.第三十一張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例【6】:已知 x的中誤差為8mm,y的中誤差為5mm,求解z的中誤差。解：第三十二張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月本知識點小節：1、誤差傳播律應用前提（求函數的中誤差）；2、誤

14、差傳播律公式（線性、非線性）；3、應用誤差傳播律注意事項（合并同類項、單位統一）。第三十三張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月知識點三： 同精度直接觀測平差；不等精度直接觀測平差。第三十四張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-5 同精度直接觀測平差除了標準實體，自然界中的任何單個未知量的真值都是無法確定的；只有通過重復測量，才能對其真值做出可靠的估計。重復測量又會導致觀測值間產生矛盾；于是，就需對觀測數據進行處理，這過程稱為“測量平差”。測量平差目的就是對帶有誤差的觀測值給予適當的處理，以求其最可靠值，并評定其精度。第三十五張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月一、求或是值（

15、平差值）在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術平均值就是未知量的最或是值，即：改正數（殘差）：最或是值與觀測值之差，即改正數性質（用來做計算檢核）：第三十六張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月二、評定精度1）觀測值中誤差上式為等精度觀測值中用改正數計算中誤差的公式，又叫“白塞爾”公式。第三十七張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例7：對某角進行了5次等精度觀測，觀測結果列于表。求其觀測值的中誤差。解：（1）計算改正數； （2）按公式求最或是值(算術平均值)、以及觀測值中誤差：第三十八張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月2）算術平均值的中誤差函數式：利用誤差傳播律，可得：或：第三

16、十九張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例8：上題求最或是值的中誤差。解：由公式可直接求得可見：1）算術平均值的中誤差與觀測次數的平方根成反比。 2）但也不能單純以增加觀測次數來提高成果質量！第四十張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月下圖可以說明之。第四十一張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月5-6 不同精度直接觀測平差一、權與單位權“權”的原意為秤錘，此處用作權衡輕重之意?！皺唷倍x：權的性質：是相對的，即可以衡量相對精度。“單位權”的定義：等于1的權為單位權，對應的觀測值為單位權觀測值，中誤差稱為單位權中誤差。第四十二張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月二、測量中常

17、用定權方法1、同精度觀測的算數平均值的權即：權與觀測次數成正比。2、權在水準測量中的應用即：當各測站觀測高差為同精度時，各水準路線的權與測站數或路線長度成反比。第四十三張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月3、權在距離丈量工作中的應用即：距離丈量的權與長度成反比。第四十四張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月三、非等精度觀測值的最或是值（加權算數平均值）在實際工作中，經常要處理一些不同精度的觀測結果。（舉例）加權平均值的一般形式為：第四十五張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月例9：某水平角同樣的經緯儀分別進行3組觀測，各組分別觀測2、4、6個測回，各組觀測的算術平均值列于表，計算其加權平均值。說明：先取一個測回角度觀測的中誤差為單位權中誤差，則n個測回觀測角度的中誤差為第四十六張，PPT共五十一頁，創作于2022年6月三、加權平均值的中誤差函數式：按誤差傳播律：（m0是