1、數(shù)字圖像處理概念和要求-圖像變換一、 圖像變換的引入 1. 方法：對圖象信息進行變換，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、處理濾除不必要信息(如噪聲)，加強/提取感興趣的部分或特征。 二、 方法分類 可分離、正交變換: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DHT, 2D-DWT 。 1提取圖像特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)； （2）目標(biāo)物邊緣：F（u,v）高頻分量。 2圖像壓縮：正交變換能量集中，對集中（小）部分進行編碼。 3圖像增強：低通濾波，平滑噪聲；高通濾波，銳化邊緣。 三、 用途圖像變換的概念1、一維傅立葉變換及其反變換一、連續(xù)傅里葉變

2、換（Continuous Fourier Transform） 3.1 二維離散傅里葉變換（DFT） 這里 是實函數(shù)，它的傅里葉變換 通常是復(fù)函數(shù)。 的實部、虛部、振幅、能量和相位分別表示如下：實部 虛部 振幅 能量 相位 傅里葉變換可以很容易推廣到二維的情形。設(shè)函數(shù) 是連續(xù)可積的，且 可積，則存在如下的傅里葉變換對：2. 二維連續(xù)函數(shù) f (x, y)的傅里葉變換定義如下：設(shè) 是獨立變量 的函數(shù)，且在 上絕對可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) 的付里葉變換，并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對。（） （） 式中 是頻率變量。與一維的情況一樣，二維函數(shù)的傅里葉譜、能量和相位譜為:傅里葉頻譜

3、： 相位： 能量譜： 【例3.1】求圖所示函數(shù) 的傅里葉變換。 解：將函數(shù)代入到(3.1)式中，得 其幅度譜為二維信號的圖形表示圖3.1 二維信號f (x, y) （a）信號的頻譜圖 （b）圖（a）的灰度圖圖3.2 信號的頻譜圖 二維信號的頻譜圖 同連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換一樣，離散函數(shù)的傅里葉變換也可推廣到二維的情形，其二維離散傅里葉變換定義為： 式中 ， 。二維離散傅里葉 反變換定義為 二、離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform） 3.1.2 二維離散傅里葉變換尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 反變換可以通過對F(u,v) 求IDFT獲得 （） （） DFT變換進

4、行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 （） （） 例：圖象的二維離散傅立葉頻譜。讀入原始圖象I = imread(i_peppers_gray.bmp);imshow(I);%求離散傅立葉頻譜J = fftshift(fft2(I); %對原始圖象進行二維傅立葉變換，并將其坐標(biāo)原 點移到頻譜圖中央位置figure,imshow(log(abs(J),8,10); （a）原始圖像 （b）離散傅里葉頻譜 圖:二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示 3.1.3 二維離散傅里葉變

5、換的性質(zhì)1周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性來了許多方便。我們首先來看一維的情況。設(shè)有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換： 幅度譜： （a）幅度譜 （b）原點平移后的幅度譜 圖3.4 頻譜圖 DFT取的區(qū)間是0,N-1，在這個區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的 ，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/2點。根據(jù)定義，有 在進行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號 f (x) ，可以在一個周期的變換中（u0，1，2，N1），求得一個完整的頻譜。（） 推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有： DFT的原點，即F(0,0)被設(shè)置在u=M/2和

6、v=N/2上。 (0,0)點的變換值為： 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。 （） （） （a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖3.5 圖像頻譜的中心化 2可分性離散傅里葉變換可以用可分離的形式表示 這里對于每個x值，當(dāng)v0，1，2，N1時，該等式是完整的一維傅里葉變換。 （） （） 二維變換可以通過兩次一維變換來實現(xiàn)。同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖3.6 二維DFT變換方法3離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y) 是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，

7、則它們的離散卷積定義為卷積定理 （） （） 4、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（Rotation） 上式表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度例：二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性。 （a）原始圖像 （b）原圖像的傅 （c）旋轉(zhuǎn)后的圖像 （d）旋轉(zhuǎn)后圖像的 里葉頻譜 傅里葉頻譜 上例表明，對 旋轉(zhuǎn)一個角度 對應(yīng)于將其傅里葉變換 也旋轉(zhuǎn)相同的角度 。 （6）尺度變換（Scaling） 例：比例尺度展寬。（a）原始圖像 （b）比例尺度展寬前的頻譜 （c）比例尺度a，b=1，展寬后的頻譜3.2 二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重

8、要方法。3.2.1 一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產(chǎn)生N點的DCT。 1以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n) 得： （） -N-10N-1NN+1f (n)圖3.8 延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） （） （） 3對0到2N1的2N個點的離散周期序列 作DFT，得令i2Nm1，則上式為 為了保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) C(k)= （） 其中（） 3.2.2 二維離散余弦變換 （） DCT逆變換為 【例3.3】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變

9、換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(cameraman.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對圖像作DCT變換subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); （） 例1:二維余弦正反變換在Matlab中的實現(xiàn)。（a）原始圖像 （b）余弦變換系數(shù) （c）余弦反變換恢復(fù)圖像圖：二維離散余弦變換 由圖(b)可知，離散余弦變換具有很強的“能量集中”特性，能量主要集中在左角處，因此在實際圖像應(yīng)用中,能量不集中的地方可在余弦編碼中忽略,可通過對mask矩陣變換來實現(xiàn)，即將mask矩陣

10、左上角置1，其余全部置0。然后通過離散余弦反變換后，圖像得到恢復(fù)，圖(c)恢復(fù)圖像與圖(a)原始圖像基本相同。例2：用DCT變換作圖象壓縮的例子，求經(jīng)壓縮解壓后的圖象（詳細(xì)程序參見書），結(jié)果如圖所示。 （a）原始圖像 （b）壓縮解壓后的圖像 圖：原始圖像及其經(jīng)壓縮，解壓縮后的圖像3.3 二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機運算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算。采用哈達瑪排列的沃爾什函

11、數(shù)進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。 3.5 二維離散小波變換一種窗口大小固定，但形狀可改變，因而能滿足時頻局部化分析的要求的變換。 3.5.1 連續(xù)小波變換設(shè) 且 ，按如下方式生成的函數(shù)族 稱為分析小波或連續(xù)小波。 稱為基本小波或母波a稱為伸縮因子，b為平移因子。（） 3.5.2 離散小波變換把連續(xù)小波變換離散化更有利于實際應(yīng)用。對a和b按如下規(guī)律取樣： 其中， ； ； ，得離散小波： 離散小波變換和逆變換為 （） （） （） 3.5.3 快速小波變換算法【例3.4】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)小波變換的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif)

12、; %讀入圖像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %進行二維小波變換A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192);title(Horizontal

13、Detail H1)subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192);title(Vertical Detail V1)subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192);title(Diagonal Detail D1) 圖3.16 小波變換結(jié)果圖 例1：對一副圖進行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以 求傅里葉變換的頻譜圖。 （a）原圖 （b）頻譜圖 （c）中心移到零點 的頻譜圖 圖：二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖 （結(jié)果如下）附:圖像傅里葉變換實例 圖（a）為原圖，對其求傅里葉變換得到圖（b）傅里

14、葉變換的頻譜圖，觀察頻譜圖可知，在未平移前，圖（b）坐標(biāo)原點在窗口的左上角，即變換后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低頻成分。對原圖乘以 后進行傅里葉變換，觀察頻譜圖（c）可知，變換后的坐標(biāo)原點移至頻譜圖窗口中央，因而圍繞坐標(biāo)原點是低頻，向外是高頻。 通過上例可知，圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，即圖像的中央位置，而相對的高頻區(qū)（左上、右上、左下、右下四個角）的幅值很小或接近于0。以后傅里葉變換都進行相似平移處理，將不再重復(fù)敘述。例2 ：圖（a）乘以一指數(shù)，將圖像亮度整體變暗，并求其中心移到零點的頻譜圖。 （a）變暗后的圖 （b）變暗后中心移到 零點的頻譜圖圖：二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成

15、分分布示意圖 將原圖（a）函數(shù)乘以 ，結(jié)果如圖（a）所示。對其亮度平均變暗后的圖像進行傅里葉變換，并將坐標(biāo)原點移到頻譜圖中央位置，結(jié)果如圖（b）所示。對比圖（c）和（b）后，可以看出當(dāng)圖片亮度變暗后，中央低頻成分變小。故從中可知，中央低頻成分代表了圖片的平均亮度，當(dāng)圖片亮度平均值發(fā)生變化時，對應(yīng)的頻譜圖中央的低頻成分也發(fā)生改變。 例3：圖（a）加入高斯噪聲，得出一個有顆粒噪音的圖，并求其中心移到零點的頻譜圖。 （a）有顆粒噪音 （b）有顆粒噪音中 心移到零點的頻譜圖圖：二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖 例4：對中心為一小正方形和以斜長方形求其傅 里葉變換的譜分布。（a）正方形原圖 （

16、b）正方形的譜分布（c）長方形的原始（d）長方形的譜分 圖像 布圖：傅氏變換譜分布實例 圖示出兩幅圖像經(jīng)傅氏變換后的頻譜分布例子。左邊均為原始圖像，右邊分別是他們變換后的譜分布。圖（a）是中心為一小正方形，周邊為空；圖(c)是中心為斜置的小矩形。譜分布中，最亮區(qū)域表示其變換后的幅值最大。對（c）傅里葉變換后中心移到零點后的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)長方形旋轉(zhuǎn)了 時，頻譜也跟著旋轉(zhuǎn) ，此實例驗證了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性。 例5:對一副圖片如圖（a）求其幅值譜和相位譜，并對幅值譜和相位譜分別進行圖像構(gòu)，對比其所求結(jié)果。 （a）原圖 （b）幅值譜 （c）相位譜 （d）幅值譜重構(gòu)圖像（e）相位譜重構(gòu)圖像圖：傅里葉圖像及其傅里葉變換 對圖（a）進行離散傅里葉變換，得出幅值譜圖（b），相位譜圖（d）及幅值譜重構(gòu)圖像圖（c），相位譜重構(gòu)圖像圖（e）。從實驗結(jié)果可以看出，從幅值譜圖像中得到的信息比在相位譜圖像中得到的信息多，但對幅值譜圖像重構(gòu)后，即忽略相位信息，將其設(shè)為0，所得到的圖像與原始圖像相比，結(jié)果差別很大；而對相位譜圖像重構(gòu)后，及忽略幅值信息，將