1、6.2 向量及其線性運算第1頁，共40頁。向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.| |向量的模：向量的大小.單位向量：或或或一、向量的概念第2頁，共40頁。自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點 與原點構成的向量. 平行： 如果兩個向量所在的線段平行，則稱兩向量平行第3頁，共40頁。1 加法：（平行四邊形法則）特殊地：若分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法第4頁，共40頁。向量的加法符合下列運算規律：（1）交換律：（2）結合律：（3

2、）2 減法第5頁，共40頁。三、數與向量的乘法第6頁，共40頁。數與向量的乘積符合下列運算規律：（1）結合律：（2）分配律：兩個向量的平行關系第7頁，共40頁。按照向量與數的乘積的規定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.第8頁，共40頁。證充分性顯然；第9頁，共40頁。例2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證結論得證.第10頁，共40頁。空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在0與 之間任意取值.四、向量的投影第11頁，共40頁。空間一點在軸上的投影第12

3、頁，共40頁。空間一向量在軸上的投影注：投影的結果是一個數量值，可正可負。第13頁，共40頁。關于向量的投影定理（1）證第14頁，共40頁。定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4) 相等向量在同一軸上投影相等；第15頁，共40頁。關于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）第16頁，共40頁。五、向量的坐標表示第17頁，共40頁。 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影第18頁，共40頁。按基本單位向量的坐標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標：向量的坐標表達式：特殊地：第19頁，共40頁。向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式第20頁，共40頁。第2

4、1頁，共40頁。解設為直線上的點，第22頁，共40頁。由題意知：第23頁，共40頁。非零向量 的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的方向角與方向余弦第24頁，共40頁。由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標表示式第25頁，共40頁。當 時，向量方向余弦的坐標表示式第26頁，共40頁。方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為第27頁，共40頁。第28頁，共40頁。第29頁，共40頁。解所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向或第30頁，共40頁。空間直角坐標系 空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標系的區別）（軸、面、卦限）小結第31

5、頁，共40頁。向量的概念向量的加減法向量與數的乘法（注意與標量的區別）（平行四邊形法則）（注意數乘后的方向）第32頁，共40頁。向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量的模與方向余弦的坐標表示式.（注意分向量與向量的坐標的區別）第33頁，共40頁。思考題已知平行四邊形ABCD的對角線試用 表示平行四邊形四邊上對應的向量.第34頁，共40頁。思考題解答第35頁，共40頁。思考題第36頁，共40頁。思考題解答對角線的長為第37頁，共40頁。 在初等數學中，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。解析幾何的建立，不僅由于在內容上引入了變量的研究而

6、開創了變量數學，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來。 1637年，笛卡兒發表了方法論及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄幾何學中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。在平面和立體軌跡導論中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然后求它的方程；費爾馬則從方程出發，然后來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何(analytical geometry )”的名稱是以后才定下來的。 閱讀材料 analytical geometry第38頁，共40頁。 這門課程達到現在課本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標、橫坐標

7、、縱坐標這幾個術語，是萊布尼茲于1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了關于雙重曲率曲線的研究一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫的無窮分析概要，可以說是符合現代意義的第一部解析幾何學教程。1788年，拉格朗日開始研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號。于是多維解析幾何出現了。 解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數幾何的一部分，而代數幾何的發展同抽象代數有著密切的聯系。 1619年，笛卡爾在多瑙河的諾伊堡軍營里，終日沉迷在數學的思考之中：“幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組數聯系起來，突然，他看見屋頂上一只蜘蛛拉著絲垂下來了，一會兒，蜘蛛 又順著絲爬上去，在上面左右拉絲。蜘蛛的