1、關于數學物理中的偏微分方程第一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月2 數學物理方程 指從物理學或其他各門自然科學、技術科學中的某些物理問題導出的偏微分方程(有時也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關的未知變量關于時間的導數和與空間變量的導數之間的制約關系。連續介質力學、電磁學、量子力學等方面的基本方程都屬于數學物理方程的范圍。 教學目的 通過本課程的教學使學生獲得有關偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類典型方程定解問題的解法，進一步擴大學生的數學知識面，為后繼課程提供必要的數學基礎。第二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月3參考書目數學物理方程,王明新, 清華大學

2、出版社。數學物理方程，姜禮尚，高教出版社。工程技術中的偏微分方程， 潘祖梁， 浙江大學出版社。第三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月41.1 偏微分方程的一些基本概念第四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月5一. 偏微分方程（partial differential equation)（PDE）的基本概念自變量未知函數偏微分方程的一般形式第五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月6PDE的階：PDE的解 古典解廣義解概念是指這樣一個函數，它滿足方程，并且在所考慮的區域內有m階連續偏導數。 線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE自由項 在偏微分方程中，不

3、含有未知函數及其偏導數的項稱為自由項第六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月7線性PDE：PDE中對所含未知函數及其各階導數的全體都是線性的。例如：常系數線性PDE:不然稱為變系數的齊次線性PDE:不然稱為非齊次的線性PDE的主部: 具有最高階數偏導數組成的部分主部第七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月8PDE中對最高階導數是線性的。例如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對最高階導數不是線性的。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導數的系數僅為自變量的函數。例如：非線性PDE第八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月9舉例（未知函數為二元函數）1.2.變換解為：解為：

4、第九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月10舉例（未知函數為二元函數）4.3.解為：變換解為：第十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月115.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數 的實部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程舉例（未知函數為二元函數）第十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月127.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE第十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月131.2 三個典型的方程 第十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月14舉例(多元函數)拉普拉斯(Laplace)

5、方程熱傳導方程波動方程第十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月15物理模型與定解問題的導出第十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月16弦振動方程的導出第十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月17 一長為L的柔軟均勻細弦，拉緊后，當它受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微小橫振動。 假設這運動發生在同一平面內，求弦上各點位移隨時間變化規律。 弦上各點作往返運動的主要原因在于弦的張力作用，弦在運動過程中各點的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運動規律。由此可以建立弦上各點的位移函數所滿足的微分方程。第十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月物理背景：

6、波的傳播和彈性體振動。弦振動方程的導出 首先，考察弦橫振動這個物理問題： 給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設其長度為l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，求弦上各點的運動規律。 把實際問題提煉為數學模型時必須做一定的理想化假設，以便抓住問題的最本質特征。第十八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月基本假設：1. 弦的質量是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。 弦可以視為一條曲線，線密度為常數。 （細弦）2. 弦在某一個平面內作微小橫振動。 弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點在同一平面內垂直于該直線的方向上作微小振動。 （微幅）3. 弦是柔軟的，它在形變時不抵抗彎曲

7、。 弦上各質點的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形與張力的關系服從虎克定律。 （橫振動）基本規律： 牛頓第二定律（沖量定律）第十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月弦線上任意一點在 t 時刻沿y軸上的位移研究對象： 在右圖所示的坐標系，用u(x, t)表示弦上各點在時刻t沿垂直于x方向的位移。在這條弦上任意取一弦段(x, x+x)，它的弧長為 ： 由假設3，弦線張力T(x)總是沿著弦在x處的切線方向由于弦只在垂直x軸的方向進行橫振動，因此可以把弦線的張力T(x)在x軸的方向的分量看成常數。對于圖中選取的弦段而言，張力在x軸的垂直方向上的合力為：假設2和假設3第二十張，PPT共八

8、十一頁，創作于2022年6月在時間段(t, t+t)內該合力產生的沖量為：另一方面，在時間段(t, t+t)內弦段(x, x+x)的動量變化為：于是由沖量定理：從而有：第二十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月進一步由t， x 的任意性，有 假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設其線密度為F(x,t)，則弦段(x, x+x)上的外力為：它在時間段(t, t+t)內的沖量為：第二十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月類似地，三維波動方程可以表示為：于是有：第二十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月簡化假設：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的

9、任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：第二十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月其中：其中：第二十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月一維波動方程令：-非齊次方程自由項-齊次方程忽略重力作用：第二十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月非均勻弦的強迫橫振動方程一維波動方程不僅可以描述弦的振動，還可以描述：彈性桿的縱向振動管道中氣體小擾動的傳播等等 因此，一個方程反應的不止是一個物理現象，而是一類問題。第二十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月282+1維波動方程或膜振動方程 一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，

10、其運動規律滿足其中：u(x,y,t)表示在 t 時刻、膜在 (x,y) 點處的位移f (x,y,t)表示單位質量所受的外力a2=T/： T表示張力、 為線密度第二十八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月293+1維波動方程或聲波方程n+1維波動方程第二十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月301.4 定解條件和定解問題第三十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問題的解或者研究解的性質。前面我們看到，弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數u(x, t)所應滿足的一般性規律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運動狀況。這是因為

11、弦的運動還與其初始狀態以及邊界所處的狀況有關系，因此對于具體的弦振動問題而言，還需要結合實際問題附加某些特定條件。 例如: 在前面的推導中，弦的兩端被固定在x=0和x=l兩點，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個等式稱為邊界條件。此外，設弦在初始時刻t=0時的位置和速度為這兩個等式稱為初始條件。邊界條件和初始條件總稱為定解條件。把微分方程和定解條件結合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題。對于弦振動方程而言，與上述定解條件結合后，其定解問題可以描述為：定解條件第三十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月要在區域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續函數

12、u(x, t) ，它在區域0 x0中滿足波動方程(2.1)；在x軸上的區間0,l上滿足初始條件(2.2)；并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(2.3)和 (2.4)。 一般稱形如(2.3)和(2.4)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件。定解條件第三十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月波動方程的初始條件1、初始條件描述系統的初始狀態系統各點的初位移系統各點的初速度定解條件第三十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件描述系統在邊界上的狀況波動方程的三類邊界條件(1)固定端：對

13、于兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數為k 的彈簧的支承。或諾依曼（Neumann）邊界條件狄利克雷（Dirichlet）邊界條件第三十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環境和歷史，即個性。初始條件：夠用來說明某一具體物理現象初始狀態的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現象邊界上的約束情況的條件。其他條件：能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。定解條件第三十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月定解問題定解問題適定性概念(1) 初始問題：只有初始條

14、件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。定解問題的檢驗 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應 的微小變動。第三十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月37經典的定解問題舉例維波動方程 (弦振動方程) 的初值問題第三十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月38經典的定解問題舉例熱傳導方程的初值問題第三十八張，PPT共八十一頁，創作于202

15、2年6月39經典的定解問題舉例二維調和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）第三十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月40經典的定解問題舉例熱傳導方程的初、邊值問題第四十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月41何為適定性？存在性唯一性連續依賴性（穩定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數類中存在、唯一而且關于附加條件為穩定的，就稱定解問題在相應的函數類中為適定的。穩定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應的定解問題解的偏差也將非常小第四十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月

16、除了研究定解問題的適定性外，數理方程中還經常研究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近解、數值解）等。定解問題適定性概念第四十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月43定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件 initial condition邊值條件 boundary condition初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題第四十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月44熱傳導方程第四十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月45熱傳導分析：設桿長方向為x軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質量為dm= d

17、x，熱容量為cdm。設桿中的熱流沿x軸正向，強度為q(x,t)，溫度分布為 u(x,t)，則問題：一根長為L的均勻導熱細桿，側面絕熱，內部無熱源。其熱傳導系數為k，比熱為c，線密度為。求桿內溫度變化的規律。由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx由熱傳導定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxx第四十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月46推廣：情況：內部有熱源(或側面不絕熱)分析：設熱源強度(單位時間在單位長度 中產生的熱量)為F(x,t

18、)，代表段的 吸熱為Fdxdt方程：c ut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(c )第四十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月47穩定場方程第四十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月48產生：在演化問題中，有時會到達一個不隨時間變化的穩定狀態，對應的方程稱為穩定場方程。形式：在對應的演化方程中取消時間變量t，對t的導數為零。分類：無外界作用情況拉普拉斯方程： u = utt + uyy + uzz = 0有外界作用情況泊松方程：u = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)典型應用靜電場方程： u = -/穩定溫度分布： u = -

19、F/k第四十八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月數學物理方程的分類在數學物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導方程；穩定場方程這三類方程描寫了不同物理現象及其過程49 第四十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月50 二階線性PDE方程的分類兩個自變量，齊次主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據此分類。非奇異（1）第五十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月51復合求導第五十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月52系數之間的關系（2）（1）（3）第五十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月53其他系數之間的關

20、系（3*）第五十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月54考慮如若能找到兩個相互獨立的解那么就作變換從而有（4）第五十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月55假設是方程的特解，則關系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。反之亦然。引理 由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。第五十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月56定義稱常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程。稱（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）第五十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月57記定義方程(1)在點M 處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點M處，有若在點M處，

21、有若在點M處，有第五十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月58雙曲型PDE右端為兩相異的實函數它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標準型雙曲型方程的第二標準型第五十八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月59拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨立(線性無關)的任意函數。第五十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月60由于由此推出第六十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月61因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標準型而第六十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月62橢圓型PDE右端為兩相異的復數由此推出兩族復數積分曲線為其中第六十二張

22、，PPT共八十一頁，創作于2022年6月63由此令從而方程（1）可改寫為， 滿足方程（4）橢圓型方程的標準型第六十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月64例1拋物型方程令第六十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月65例2雙曲型方程第六十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月66例3Tricomi方程橢圓型雙曲型拋物型第六十六張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月67第六十七張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月疊加原理弦振動方程的達朗貝爾解法第六十八張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月疊加原理 從本節開始我們討論弦振動方程的各類定解問題。在此之前，先介紹疊加

23、原理 在物理學研究中經常出現這樣的現象：幾種不同原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨（假設其他原因不存在）產生的效果的累加。這就是疊加原理。典型例子：力和加速度的關系，萬有引力場的可疊加性復雜的聲音各種單音的疊加電磁場中的疊加原理第六十九張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月則對于任意的常數C1、C2，函數是方程的解。例如：若u1(x, t)是方程的解，而u2(x, t)是方程的解，因此，弦振動方程滿足疊加原理線性方程都滿足疊加原理第七十張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月線性方程解（線性系統）具有疊加特性 幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。

24、(物理上)第七十一張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月弦振動方程的達朗貝爾解法 先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計的情況（如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關注的又只是在較短時間內且距離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長）。這樣的情況下，定解問題歸結為如下形式： 這個定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題(也稱柯西（Cauchy）問題）。相應地，前一節中的定解問題(1.1)(1.4)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問題或混合問題。 方程(1.5)中的自由項f(x,t)是由

25、于外力作用產生的，因此方程(1.5)中f(x,t)恒為零的情況對應于自由振動；f(x,t)不為零的情況對應于強迫振動。第七十二張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 下面，我們求解上述初值問題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即若u1(x, t)和u2(x, t)分別是下述初值問題和的解，那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值問題(1.5)、(1.6)的解(證明作為課后習題)。這樣求解初值問題(1.5)、(1.6)就轉化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題(II)單獨初始振動狀態

26、對振動過程的影響。單獨考慮外力因素對振動過程的影響。第七十三張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 首先，我們考察代表自由振動情況的初值問題(I)，它可以通過自變量變換的方法求解。引如新自變量：=x-at， =x+at。利用復合函數求導的法則，有類似地，從而，方程(1.7)就化為 ，這個方程可以直接求解。把它關于積分一次，再關于積分一次，就可以得到它的通解為u(,)=F()+G()，其中，F和G是任意兩個可微分的單變量函數。代回原來的自變量，方程(1.7)的通解表示為u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。第七十四張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 利用這個通解表達式，就可以利用初始條件(1.8)來決定函數F和G，進而求出初值問題(I)的解。把上述通解表達式代入初始條件(1.8)，得到：(1.12)式是一個簡單的常微分方程，求解它得到由(1.11)和(1.13)式聯立求解可以得出函數F和G把它們代入方程(1.7)的通解表達式就得到了初值問題(I)的解第七十五張，PPT共八十一頁，創作于2022年6月 這個公式(1.14)稱為達朗貝爾公式。從以上推導過程可以看出：如果初值問題(I) 有解