1、2010年嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn) 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。如果發(fā)現(xiàn)抄襲，則要通報(bào)批評(píng)！我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反 競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/中選擇一項(xiàng)填寫）：B參賽隊(duì)員（打印并簽名）：_指

2、導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：日期：2010年6 月7日公平的選舉辦法摘要本文討論的是某部門在某次評(píng)優(yōu)中涉及的公平的選舉問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題1,我們用餅圖先粗略估計(jì)了評(píng)優(yōu)的2個(gè)指標(biāo)可能落入的單位為甲、乙、 丁。接著建立整數(shù)線性規(guī)劃模型（ILP）來(lái)驗(yàn)證估計(jì)。我們討論了只有領(lǐng)導(dǎo)投票和領(lǐng)導(dǎo) 與各單位人員都參與投票這兩種情況。其中，只有領(lǐng)導(dǎo)投票時(shí)，指標(biāo)落入的可能單位為 甲、乙；領(lǐng)導(dǎo)與各單位人員都參與投票時(shí)，指標(biāo)可能落入的單位為甲、丁。結(jié)合實(shí)際， 指標(biāo)最可能落入的單位為甲、丁。問(wèn)題2, 3我們依然建立整數(shù)線性規(guī)劃模型來(lái)估計(jì)指標(biāo)可能落入的單位.建立模型求 解的結(jié)果為：選舉可能落入的單位均為甲、乙。我們

3、用加權(quán)變異系數(shù)即威廉遜系數(shù)匕來(lái) 描述問(wèn)題1、2、3的公平度問(wèn)題。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得匕廣0-41518,匕2=匕3 = 0.1038。可以 看出，問(wèn)題2的選舉方法提高了選舉的公平度，但是問(wèn)題3改變候選人的分配并沒(méi)有提 高選舉的公平性。問(wèn)題四中，我們首先將模型轉(zhuǎn)化為公平席位分配問(wèn)題，對(duì)候選人名額進(jìn)行按比例分 配到各單位中。為了進(jìn)一步保證了候選人分配的合理性，我們采用Q值法來(lái)確定各單位 候選人的分配名額。用Q值法進(jìn)行分配9名候選人及10候選人時(shí)，各單位所分配的候 選名額分別為3、2、1、2、1和3、2、2、2、1。接著將投票方式改進(jìn)為每人選舉兩人， 但要求投票者只能填寫1個(gè)本單位人員，1位其它單位人員，且

4、投票人在票上本人同意 的人名下書寫數(shù)字1，表明支持這兩個(gè)人，其余不填，最后清點(diǎn)所有候選人所得數(shù)字之 和（在統(tǒng)計(jì)數(shù)字之和時(shí)，我們將不填的記為0），數(shù)字之和最大的兩個(gè)候選人當(dāng)選。同時(shí)， 也用加權(quán)變異系數(shù)匕的值檢驗(yàn)改進(jìn)后的模型的公平性。經(jīng)計(jì)算，得匕4 = 0.05878，數(shù) 值比較接近于0，說(shuō)明問(wèn)題四提出的選舉方法是較合理的，而且也比較符合實(shí)際。關(guān)鍵字公平選舉整數(shù)線性規(guī)劃（ILP）威廉遜系數(shù)（即加權(quán)變異系數(shù)）Q值法問(wèn)題重述某部門有5個(gè)下屬單位，各單位人數(shù)情況如下:領(lǐng)導(dǎo)機(jī)構(gòu)甲乙丙丁戊人數(shù)257545355025領(lǐng)導(dǎo)傾向2596352上面表中第3行“領(lǐng)導(dǎo)傾向”表示25個(gè)領(lǐng)導(dǎo)中有9人在投票中將把票投到甲單

5、位 候選人，6人投乙單位候選人，依次類推。在評(píng)選各類先進(jìn)人物的時(shí)候，經(jīng)常涉及投票的問(wèn)題。一般各單位人員均傾向于本單 位，領(lǐng)導(dǎo)也有一定的傾向性。但領(lǐng)導(dǎo)的傾向性跟一般成員有差異：當(dāng)指標(biāo)較少的時(shí)候， 首先傾向于本單位，當(dāng)指標(biāo)相對(duì)多的時(shí)候，為了在整個(gè)部門有好印象，會(huì)將其中的部分 票投向其它單位成員。當(dāng)候選人條件完全相同的時(shí)候，這種傾向性就顯得更重要。在某次評(píng)優(yōu)中，該部門總共有2個(gè)指標(biāo)。負(fù)責(zé)人讓每個(gè)單位推薦2位候選人， 然后從這10個(gè)人中通過(guò)投票選出2人。投票人在票上本人同意的人名下書寫數(shù)字1，2, 表明支持這兩個(gè)人，1優(yōu)先，2次之，其余不填。最后清點(diǎn)10個(gè)候選人所得數(shù)字之和， 數(shù)字之和最小的兩個(gè)候選人

6、當(dāng)選。假定每位候選人條件相同，估計(jì)這兩個(gè)指標(biāo)很大可能 落入哪些單位？該部門為了體現(xiàn)公平，要求每位投票者只能填寫1個(gè)本單位人員，1位其它單位 人員。按照這種辦法再估計(jì)一下選舉結(jié)果。這種辦法是否提高了公平性。為了獲得更大的希望，某個(gè)單位只推舉1位候選人，你認(rèn)為這種做法是否真的 有利，能否對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。只考慮（1）單位甲推舉1人，其它4個(gè)單位推舉2人；（2） 單位丙推舉1人，其它4個(gè)單位推舉2人。提出比較公正合理的選舉辦法。問(wèn)題分析考慮到，在現(xiàn)實(shí)生活的評(píng)優(yōu)選舉中，各單位人員及領(lǐng)導(dǎo)都存在一定的傾向性，一般 來(lái)說(shuō)，各單位人員均傾向于本單位，領(lǐng)導(dǎo)的傾向性跟一般成員有差異：當(dāng)指標(biāo)較少的時(shí) 候，首先傾向于本

7、單位，當(dāng)指標(biāo)相對(duì)多的時(shí)候，為了在整個(gè)部門有好印象，會(huì)將其中的 部分票投向其它單位成員。當(dāng)候選人條件完全相同的時(shí)候，這種傾向性就顯得更重要。 由于此次評(píng)優(yōu)只有2個(gè)指標(biāo)，我們假定，這是指標(biāo)較小的情況，領(lǐng)導(dǎo)的傾向性非常明顯。 在解決問(wèn)題的時(shí)候，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們用數(shù)字3表示不支持候選人，最后清點(diǎn)10個(gè) 候選人所得數(shù)字之和，數(shù)字之和最小的兩個(gè)候選人當(dāng)選。問(wèn)題1：對(duì)于問(wèn)題1，我們假定每位候選人條件相同，各單位人員都投本單位的候 選人，同時(shí)，領(lǐng)導(dǎo)也投給自己所傾向的單位的候選人。很顯然，這兩個(gè)指標(biāo)很大可能落 入人數(shù)多且領(lǐng)導(dǎo)傾向大的單位。我們可以用餅圖來(lái)進(jìn)行直觀估計(jì)兩個(gè)指標(biāo)最大可能落入 的單位。因?yàn)閱?wèn)題涉及的

8、是求和最小問(wèn)題，我們建立整數(shù)線性規(guī)劃（ILP）模型來(lái)求解。問(wèn)題2：該部門為了體現(xiàn)公平，在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，要求每位投票者只能填寫1個(gè) 本單位人員，1位其它單位人員。各單位人員都把1投給本單位的候選人，同時(shí)，領(lǐng)導(dǎo) 也把1優(yōu)先投給自己所傾向的單位的候選人。可以用加權(quán)變異系數(shù)即威廉遜系數(shù)來(lái)判斷 公平度是否提高。問(wèn)題3：為了獲得更大希望，在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，改變了各單位推舉的候選人數(shù)。 我們可以仿照問(wèn)題1、2的做法來(lái)建立模型，依據(jù)所得結(jié)果，評(píng)價(jià)此種做法是否真的有 利于提高選舉的公平度。模型假設(shè)1、候選人條件完全相同；2、指標(biāo)較少，領(lǐng)導(dǎo)傾向性非常明顯；3、各單位人員均傾向于本單位；4、無(wú)人棄權(quán)投票；5、每人

9、只能投兩票，且不能將兩票投給同一個(gè)人；6、投票人之間的投票互不影響，且投票方式一樣。符號(hào)說(shuō)明i1,2, 5分別表示甲、乙、丙、丁、戊單位N投票的總?cè)藬?shù)C常量表示不支持候選人所給的數(shù)字，我們?cè)O(shè)為：3打分別表示第i個(gè)單位的一號(hào)和二號(hào)候選人所得的數(shù)字之和Jil, i2分別表示第i個(gè)單位的一號(hào)和二號(hào)候選人b傾向于i單位的領(lǐng)導(dǎo)和i單位的投票總數(shù)七表示第i單位一號(hào)的獲得的數(shù)字是“ 1”的票數(shù)七表示第i單位二號(hào)的獲得的數(shù)字是“ 1”的票數(shù)匕.1表示第i單位投給第j單位的1號(hào)的數(shù)字是“1”的票數(shù)匕2表示第i單位投給第j單位的2號(hào)的數(shù)字是“1”的票數(shù)模型建立和求解1、問(wèn)題一的模型建立和求解根據(jù)問(wèn)題1的分析，我們

10、先采用餅圖，將各單位人數(shù)及領(lǐng)導(dǎo)在各單位的傾向度人數(shù) 直觀地表示出來(lái)，由餅圖（附錄1-1）可知，甲單位人數(shù)占的比例最大，其次是乙單位 和丁單位，據(jù)現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)可知，評(píng)優(yōu)的2個(gè)指標(biāo)最有可能落入的單位為甲、乙、丁。這只 是我們的粗略估計(jì)，下面我們就建立整數(shù)線性規(guī)劃模型來(lái)驗(yàn)證。令七來(lái)表示第i個(gè)單位的兩名候選人所得的數(shù)字之和。建立目標(biāo)函數(shù)：Min ziti=1 t=1為了統(tǒng)一，我們用i1，i2表示第i個(gè)單位的兩名候選人;約束條件1是每個(gè)候選人所得的數(shù)字之和滿足：G = 1,2,.5)約束條件2是傾向于i單位的領(lǐng)導(dǎo)和i單位的投票總數(shù)滿足:G = 1,2,. 5)對(duì)此，可以通過(guò)建立一個(gè)整型規(guī)劃模型來(lái)求解:男zx

11、 + x = b% Xi2均為整數(shù)變量(z )()1 2)(N - b )i1=(xx )+ cik z J i 2yi1i 2 k 2 1Jk N - b JiMini=1 t=1it(i = 1,2,5)G = 1,2,5)1.1根據(jù)以上分析，我們假設(shè)只有領(lǐng)導(dǎo)進(jìn)行投票，各單位人員均不參與投票時(shí)，有 b =（9 6 3 5 2）,N=25.通過(guò)應(yīng)用Lingo軟件，運(yùn)行程序（見(jiàn)附錄1-2）求解的結(jié)果為：z = 66 z = 57 z = 69 z = 63 z = 72 z = 69 z = 70 z = 65 z = 73 z = 7111122122313241425152可知，落入單位為

12、甲（2）、乙（2），與初步估計(jì)吻合。1.2模型1.1的結(jié)果忽略了各單位人員，顯然不太合理，那么我們對(duì)1.1的模型進(jìn)行 改進(jìn)，假設(shè)各單位人員均參與投票，且投票方式不變，此時(shí)的 b =（84 51 38 55 27），N=255.通過(guò)應(yīng)用Lingo軟件，運(yùn)行程序（見(jiàn)附錄1-3）求解的結(jié)果為：z = 681 z = 597 z = 714 z = 663 z = 727 z = 689 z = 710 z = 655 z = 738 z = 71111122122313241425152觀察結(jié)果，易知，落入的單位為甲（2）、丁（2），與初步估計(jì)吻合。2、問(wèn)題二的模型建立和求解根據(jù)問(wèn)題2的分析，我們依

13、然建立整數(shù)線性規(guī)劃模型來(lái)估計(jì)此種選舉方法產(chǎn)生的結(jié)果。來(lái)表示第i個(gè)單位的兩名候選人所得的數(shù)字之和。k / 2 J建立目標(biāo)函數(shù):Min Ziti=1 t =1為了統(tǒng)一，我們用i1，i2表示第i個(gè)單位的兩名候選人;約束條件1是每個(gè)候選人所得的數(shù)字之和為:(z :(x )=i1k z Jr k七J， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,.5,) uN - x-乙uji 2i2ji2j=1 kj M kj=1)j Mi/+ 2*約束條件2是傾向于i單位的領(lǐng)導(dǎo)和i單位的投票人數(shù)滿足:G = 1,2,. 5）對(duì)此，可以通過(guò)建立一個(gè)整型規(guī)劃模型來(lái)求解:(z )(x )i1

14、=i1kz Jkx Jj=i%，+ 2*， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,5) uN - x- uji 2i2ji2k j=1J jMi/kj = 1Jj Mi/i=1 t=1(i = 1,2,. 5)Min zit%均為整數(shù)變量(i = 1,2,-5)2.1根據(jù)以上分析，我們假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)及各單位人員均參與投票，且投票方式如問(wèn)題2所 述，此時(shí)有b =（84 51 38 55 27），N=255.通過(guò)應(yīng)用Lingo軟件，運(yùn)行程序（見(jiàn)附錄2-1）求解的結(jié)果為：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = 765 z

15、= 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765觀察結(jié)果可知，選舉落入單位為甲（1）、乙（1）。結(jié)果與問(wèn)題1的模型2不一致。 這兩種投票方式，哪一種公平度較高，值得我們探討。下面就公平性問(wèn)題我們利用威廉 遜系數(shù)即加權(quán)變異系數(shù)探究。2.2公平性的探究威廉遜系數(shù)即加權(quán)變異系數(shù):加權(quán)變異系數(shù)加權(quán)變異系數(shù)又叫威廉遜系數(shù)，1965年由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家J Williamson首先用來(lái)衡 量區(qū)域間經(jīng)濟(jì)發(fā)展的差異，其計(jì)算公式為：式中：V為加權(quán)變異系數(shù)；xi為第i區(qū)域的人均GDP； X為各區(qū)域人均GDP的 平均值，即x=Z xi/n； n為區(qū)域的個(gè)數(shù)；p為各區(qū)域人口總

16、數(shù)；pi為第i區(qū)域的人口 數(shù)量，即p=Z pi，pi/p為第i區(qū)域人口占總?cè)丝诘谋戎兀?quán)重系數(shù)）。加權(quán)變異系數(shù)越大，區(qū)域間經(jīng)濟(jì)發(fā)展的差異越大；反之，加權(quán)變異系數(shù)越小，區(qū)域間經(jīng) 濟(jì)發(fā)展的差異越小。因?yàn)檫@個(gè)指標(biāo)是衡量區(qū)域的差異性，在本題中不同的選舉方式會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果， 即存在差異，故我們引入這個(gè)系數(shù)來(lái)衡量各單位的差異性。而各單位的候選人得的票是 數(shù)字“2”的數(shù)目又決定著其能否得選。故我們將采用衡量得到的票是數(shù)字“2”差異來(lái) 衡量各單位的公平性。下面將改賦予公式中的各變量的含義為：匕為加權(quán)變異系數(shù)即是得票是數(shù)字是：“2”的差異程度；xi為第i單位某個(gè)候選人的得票是數(shù)字是：“2”的平均數(shù)目；X為所有

17、候選人 的得票是數(shù)字是：“2”的平均數(shù)目，即X =Z xi/n； n為單位的個(gè)數(shù)；p為投票的總?cè)藬?shù)，即p=Z pi； pi為第i單 位的人口數(shù)量，pi/p為第i單位投票人占總投票人的比重（權(quán)重系數(shù)）。問(wèn)題一甲乙丙丁戊Xi:為第i單位某個(gè)候選人的 得票是數(shù)字是：“2”的平均 數(shù)目4225.51927.513.5x-:為所有候選人的得票是數(shù)字是：“2”的平均數(shù)目，即25.5X=Z xi/nxi-x-:16.50-6.52-12(xi-x-)2:272.250742.254144Pi:為第i單位的人口數(shù)量8451385527P:為投票的總?cè)藬?shù)，即p=Z pi pi/p255為第i單位投票人占總投 票

18、人的比重(權(quán)重系數(shù))0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:89.682406.2960780.86274515.24706sum(xi-x-)2*pi/p:Vw1:為問(wèn)題一的加權(quán)變異系數(shù)即是得票是數(shù)字是：“2”的112.0880.41518差異程度問(wèn)題二：甲乙丙丁戊Xi:為第i單位某個(gè)候選人的 得票是數(shù)字是：“2”的平均 數(shù)目21.37525.527.1252528.5x-:為所有候選人的得票是數(shù) 字是：“2”的平均數(shù)目，即25.5x=Z xi/nxi-x-:-4.12501.625-0.53(xi-x-)2:17.015602.6406

19、250.259Pi:為第i單位的人口數(shù)量8451385527P:為投票的總?cè)藬?shù)，即P=Z pi pi/p:255為第i單位投票人占總投 票人的比重(權(quán)重系數(shù))0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:5.6051500.3935050.0539220.952941sum(xi-x-)2*pi/p:Vw2:為問(wèn)題二的加權(quán)變異系數(shù)即是得票是數(shù)字是：“2”的7.005510.1038差異程度3、問(wèn)題三的模型建立和求解從問(wèn)題3的分析中得知，我們依然建立整數(shù)線性規(guī)劃模型來(lái)估計(jì)此種選舉方法產(chǎn)生 的結(jié)果。來(lái)表示第i個(gè)單位的兩名候選人所得的數(shù)字之和。3.1由

20、于甲只推薦了一名候選人，故z 12沒(méi)有表示任何的意義；只是為了模型的式子的整齊性，才引入的一個(gè)記號(hào)。建立目標(biāo)函數(shù)：-z12Min*切zi=1 t=1 lt)為了統(tǒng)一，我們用i1，i2表示第i個(gè)單位的兩名候選人;約束條件1是每個(gè)候選人所得的數(shù)字之和為:r+ c N -kz=x+1111z=+812r z r x i1=i1+kzi2 k xi 2 J2*2乙j11j=2Uj11j=2)r * uji1j=1+ cN - xi1-*u ji1j=1* uN - x-* uji 2i2ji2k j=1J /i/kj=1Ji i/(i = 2,5,)約束條件2是傾向于i單位的領(lǐng)導(dǎo)和i單位的投票人數(shù)滿足

21、:x. + x. = b對(duì)此，可以通過(guò)建立一個(gè)整型規(guī)劃模型來(lái)求解:(i = 2,5)Min-z12z11z12X11+ 2f uj11j=2=+8(z)(Xi1 i1zi2JXi2J+ 2*X11Xi + Xuijtj=iXi1Xi2+ C(N -Ix u 11j11 J(f uji1j=1+ c(N - xi1-fu ji1j=1f uji 2 j=1 m JN - xi2I-f uji2j=1Jj Mi/j=2均為整數(shù)變量(i = 2,5,)(i = 2,5)(i = 1,2,.5)根據(jù)以上分析，我們假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)及各單位人員均參與投票，且投票方式如問(wèn)題2所述， 此時(shí)有b =（84 51 38

22、55 27），N=255.通過(guò)應(yīng)用Lingo軟件，運(yùn)行程序（見(jiàn)附錄3-1）求解的結(jié)果為:z11426 z12 =+8 z21 579 z22 663 z 765 z 689 z 765 z 65531324142z 765z52 711觀察結(jié)果可知，選舉落入單位為甲（1）、乙（1）。結(jié)果與問(wèn)題2的模型的結(jié)果是一致的。3.2由于戊只推薦了一名候選人，故z32沒(méi)有表示任何的意義；只是為了模型的式子的整齊性，才引入的一個(gè)記號(hào)。建立目標(biāo)函數(shù):（-z32Min企2 zi=1 t=1 J為了統(tǒng)一，我們用i1，i2表示第i個(gè)單位的兩名候選人;約束條件1是每個(gè)候選人所得的數(shù)字之和為:Z31Z32J )GAfl

23、ilv )、：cJ+ 2*J31 7=1+ u ) + cN-x31Vj=J31 4fy 、JU j=l+ cN-xily )-JuJUJ=1羅2iuJi2廳i7N-x -12ji2j=l /7=1+C0=x +31y y)一 u-JuJ31J31j=4)約束條件2是傾向于i單位的領(lǐng)導(dǎo)和i單位的投票人數(shù)滿足:x = b313x + x = bil i2 ii = 1,2,. . 衛(wèi) 3)對(duì)此，可以通過(guò)建立一個(gè)整型規(guī)劃模型來(lái)求解:Min冬jI, J-z36Z31=x +31j=l+乙J31j31j=4)+ c N x u -31u -Ju；31;317=4z32+co(Z(Xa zl)+ 2*(

24、y )(N-xy 一jililjilj=lj=l+ c乙UN-x-乙”2il”2* j=/、j、i7j/i7j=ii = 1,2,豐 3)x = b313Xzlj=l t 件i七均為整數(shù)變量根據(jù)以上分析，我們假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)及各單位人員均參與投票，且投票方式如問(wèn)題2所述， 此時(shí)有b =（84 51 38 55 27），N=255.通過(guò)應(yīng)用Lingo軟件，運(yùn)行程序（見(jiàn)附錄3-2）求解的結(jié)果為：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = +s z = 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765觀察結(jié)果可知，選舉落

25、入單位為甲（1）、乙（1）。結(jié)果與上一種的模型以及問(wèn)題2的模 型的結(jié)果是一致的。我們用加權(quán)變異系數(shù)法對(duì)問(wèn)題三的公平系數(shù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)加權(quán)變異系數(shù)匕與問(wèn) 題2的匕相等，說(shuō)明問(wèn)題三的這種做法并沒(méi)有提高選舉的公平性。故對(duì)于某個(gè)單位只推 薦一名候選人的做法對(duì)結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響。可見(jiàn)，如何提高選舉的公平度是值得我們探 討的。下面我們將建立新的模型對(duì)就公平性問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步分析與完善。4、問(wèn)題四的模型建立和求解存在公平的分配方法嗎“比如加慣例”分配方法是有缺陷的，按照相對(duì)不公平度 最小的原則，Q值方法是合理的，然而還有其它衡量公平的指標(biāo)及分配方法，于是，我 們先提出一組描述公平分配的公理，然后尋求滿足這些公

26、理的分配方法。設(shè)第i方人數(shù)p （i = 1,2,.,m），總?cè)藬?shù)i=1 ，待分配席位N，分配結(jié)果為in = n （N,p ,p ）。記q = Np /P，顯然若q均為整數(shù)，則n = q當(dāng)q不全為整數(shù)是記lq ， TOC o 1-5 h z i i1miiii i ii -IqJ分別為q,向下取整和向上取整，下面是一組公平分配的公理:公理一公理二公理三應(yīng)減少。q n q ,即 n 必取 HJ二者之一。n （N,p，,p ）n（N +1,p，,p），即總席位增加時(shí)n不應(yīng)減少。i1m i1m若p Y p,p = p （j。i），則n（N,p，,p ） nN,p，,p），即人數(shù)增加時(shí)n 不i i j

27、ji 1 m i 1 mi公理四 n，n之間的轉(zhuǎn)移不應(yīng)使|n - q |+ n - q減少。i ji i i j“比例加慣例”方法顯然滿足公理一，但是不滿足公理二。Q值方法滿足公理二，但是它不滿 足公理一。由于滿足上述公平分配公理的方法根本不存在，只能退而求其次，研究去掉某些公理的 分配方法。為了提高選舉的公平度，我們的模型從以下兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)。4.1改變候選人的分配因?yàn)橥镀边x舉問(wèn)題涉及的是在一定候選人中進(jìn)行的投票選舉問(wèn)題，因此，我們可以 將此問(wèn)題模型轉(zhuǎn)化為公平席位分配模型。為了使公平性達(dá)到最高，應(yīng)該是每個(gè)單位都有候選人。為了討論問(wèn)題的方便，我們 只考慮候選人數(shù)為9和10（候選人數(shù)改變時(shí)，方

28、法不改變）的情況。我們先運(yùn)用最簡(jiǎn)單 的按比例分配方法，按每個(gè)單位所占單位總?cè)藬?shù)比例進(jìn)行分配，可得各單位所占候選人 數(shù)位。當(dāng)候選人數(shù)為9時(shí)，各單位所分配的候選名額分別為3、2、1、2、1；當(dāng)候選人 數(shù)為10時(shí)，各單位所分配的候選名額分別為3、2、2、2、1。但是，這種分配方法是有缺陷的。下面我們用Q值法來(lái)重新檢驗(yàn)當(dāng)候選名額為9和 10的分配問(wèn)題。我們引入公式八P 2.Q,-皿(J* 1)，1 -1，.，m(4-1)i i其中弓表示第i個(gè)單位人數(shù)，.表示已占有名額。先按照比例計(jì)算結(jié)果將整數(shù)部分的5席分配完畢，各單位所分配的候選名額分別為 2、1、1、1、0。利用公式（4-1）分配第6個(gè)名額，計(jì)算7

29、52_452_=亦=9335 乙=E = 1012.5,。丙=心。丁=n125025 2= 湍土）=8，Q戊的值最大，因此把第6個(gè)名分給戊單位。依此種方法一直分配 下去，得到的結(jié)果為：第7個(gè)候選名額分配給乙單位，第8個(gè)候選名額分配給丁單位， 第9個(gè)候選名額分配給甲單位，第10個(gè)候選名額分配給丁單位。用Q值法進(jìn)行分配9名候選人及10候選人時(shí)，各單位所分配的候選名額分別為3、2、1、2、1 和 3、2、2、2、1。4.2改變投票方式在保證了候選名額分配合理的前提下，為了使選舉達(dá)到更公平，我們對(duì)投票方式做 了改變。根據(jù)上面的結(jié)果，由于我們假設(shè)候選人條件完全相同，當(dāng)候選人有優(yōu)先次序之 分時(shí)，各單位人員

30、都會(huì)將優(yōu)先票投給本單位的候選人。這樣的投票方式就會(huì)使人多的單 位有優(yōu)勢(shì)，我們將投票方式改進(jìn)為每人選舉兩人，但要求投票者只能填寫1個(gè)本單位人 員，1位其它單位人員，且投票人在票上本人同意的人名下書寫數(shù)字1，表明支持這兩 個(gè)人，其余不填，最后清點(diǎn)所有候選人所得數(shù)字之和（在統(tǒng)計(jì)數(shù)字之和時(shí)，我們將不填 的記為0），數(shù)字之和最大的兩個(gè)候選人當(dāng)選。若出現(xiàn)數(shù)字之和最大的大于等于3人時(shí)， 統(tǒng)計(jì)領(lǐng)導(dǎo)的投票的數(shù)大的當(dāng)選。倘若還是一樣是，將進(jìn)行對(duì)這幾個(gè)數(shù)字之和最大的候選 人進(jìn)行二輪投票，投票方式不變。下面，我們依然采用加權(quán)變異系數(shù)法來(lái)檢驗(yàn)當(dāng)候選人數(shù)為10，指標(biāo)依舊為2時(shí)此種 投票方法的公平性。不過(guò)此時(shí)我們采用衡量得

31、到的票是數(shù)字“ 1”差異來(lái)衡量各單位的 公平性。下面將再次賦予公式中的各變量的含義為：、為加權(quán)變異系數(shù)即是得票是數(shù)字是：“1”的差異程度；xi為第i單位某個(gè)候選人的得票是數(shù)字是：“1”的平均數(shù)目；X為所有候選人 的得票是數(shù)字是：“1”的平均數(shù)目，即X =z xi/n； n為單位的個(gè)數(shù)；p為投票的總?cè)藬?shù)，即p=Z pi； pi為第i單 位的人口數(shù)量，pi/p為第i單位投票人占總投票人的比重（權(quán)重系數(shù)）。將數(shù)據(jù)代入公式（計(jì)算見(jiàn)附錄（4-2），所得結(jié)果為：Vw3=0.05878.與Vw2比較，有Vw3 Vw2，顯然公平度提高了。結(jié)果令人比較滿意。結(jié)果分析在問(wèn)題一中，我們討論了只有領(lǐng)導(dǎo)投票和領(lǐng)導(dǎo)與各單

32、位人員都參與投票這兩種情 況。其中，只有領(lǐng)導(dǎo)投票時(shí)，指標(biāo)落入的可能單位為甲、乙；領(lǐng)導(dǎo)與各單位人員都參與 投票時(shí)，指標(biāo)落入的可能單位為甲、丁。從現(xiàn)實(shí)情況考慮，進(jìn)行評(píng)優(yōu)時(shí)，為了體現(xiàn)公平， 采用的投票方式一般都是民主投票，因此各單位的人員是要參與投票的，指標(biāo)最可能落 入的單位為甲、丁。對(duì)于問(wèn)題1、2、3,我們用加權(quán)變異系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)改變投票方式后的公平度是否提高。 經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題2較問(wèn)題1的匕小，因此公平度有提高，但是問(wèn)題3與問(wèn)題2 的匕值幾乎一樣，也就是說(shuō)，問(wèn)題3的改變推舉候選人的方式，對(duì)問(wèn)題2中的選舉方式 中產(chǎn)生的結(jié)果幾乎沒(méi)影響。這是意料之中的。從按比例分配角度出發(fā)，我們就可以基本 肯定，造

33、成這個(gè)結(jié)果的原因首先是各單位推選候選人的方法不合理。基于這個(gè)原因，問(wèn)題四中，我們首先對(duì)候選人名額進(jìn)行按比例分配到各單位中。我 們采用Q值法來(lái)檢驗(yàn)各單位的分配名額，進(jìn)一步保證了候選人分配的合理性。也就是在 這一前提下，我們對(duì)投票方式及計(jì)數(shù)方式也進(jìn)行了改變進(jìn)，使公平性進(jìn)一步提高。從改 進(jìn)模型后計(jì)算的V值上我們也可以看出，問(wèn)題四提出的選舉方法是較合理的，而且也比 W較符合實(shí)際。模型檢驗(yàn)在現(xiàn)實(shí)生活中，涉及投票評(píng)優(yōu)選舉時(shí)，投票選舉的結(jié)果往往都是落在人多的單位， 而我們?cè)趩?wèn)題1，2, 3中建立的模型也能反應(yīng)這一特點(diǎn)。投票選舉都應(yīng)該秉承“公平、 公正、公開(kāi)”的原則，從這點(diǎn)考慮，我們?cè)趩?wèn)題四中建立的模型是比較

34、合理的。因?yàn)橐?般情況下，投票時(shí)各單位人員均傾向于本單位，而且領(lǐng)導(dǎo)也有一定的傾向性。但領(lǐng)導(dǎo)的 傾向性跟一般成員有差異：當(dāng)指標(biāo)較少的時(shí)候，首先傾向于本單位，當(dāng)指標(biāo)相對(duì)多的時(shí) 候，為了在整個(gè)部門有好印象，會(huì)將其中的部分票投向其它單位成員。當(dāng)候選人條件完 全相同的時(shí)候，這種傾向性就顯得更重要。我們首先在分配候選人時(shí)保證了相對(duì)公平性，這也是投票公平的前提。我們對(duì)投票方式也進(jìn)行了限制，這有利于減小由傾向性而造成 的選舉不公平。模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)方向1 .模型的評(píng)價(jià)從我們建立的模型來(lái)看，無(wú)論是理論上或者是和現(xiàn)實(shí)的接近性上，都是比較合理的， 我們主要從模型的假設(shè)合理性、建模的創(chuàng)造性和結(jié)果的正確性對(duì)其作出客觀的評(píng)

35、價(jià)：我們針對(duì)問(wèn)題作出了滿足條件的一些假設(shè)，對(duì)于問(wèn)題一，利用餅圖，首先粗糙的 估計(jì)可能落入甲和乙。然后建立了整數(shù)線性優(yōu)化模型對(duì)估計(jì)檢驗(yàn)。結(jié)果符合度很高。但 是由于我們的假設(shè)和選舉的方式存在著一些不合理。故對(duì)問(wèn)題二和問(wèn)題三修改了假設(shè)和 選舉方式，并引入了加權(quán)變異系數(shù)來(lái)衡量公平度，驗(yàn)證對(duì)改變的假設(shè)和選舉方式提出的 合理性。面對(duì)問(wèn)題四時(shí)我們從公理一到公理四中得知在現(xiàn)實(shí)生活中不存在絕對(duì)的公平選 舉方式和分配方法；所以我們提出了滿足公理二比較公平的Q值法來(lái)進(jìn)行分配候選人的 方法，然后不分優(yōu)先投票，并檢驗(yàn)其公平度更高。模型的改進(jìn)方向由于我們的模型是建立在我們的假設(shè)和選舉的方式上的。故存在著一定的不足， 忽略

36、很多影響的因素，把模型理想化和簡(jiǎn)單化。故我們的模型可以在對(duì)假設(shè)和選舉的方 式的改進(jìn)。使得更切合實(shí)際。例如：選舉的問(wèn)題很復(fù)雜，必須考慮到人與人之間的各種關(guān)系。我們直接是從總共推舉十名候選人中去選的，并且所有的人都進(jìn)行投票，沒(méi)有 考慮到棄權(quán)的情況。沒(méi)有區(qū)分領(lǐng)導(dǎo)與單位的人員的不同作用。參考文獻(xiàn)姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)建模（第三版），北京：高等教育出版社,2004年楊啟帆何勇談之奕，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽-浙江大學(xué)學(xué)生獲獎(jiǎng)?wù)撐狞c(diǎn)評(píng)（1999-2004）， 杭州：浙江大學(xué)出版社，2005.5張成剛王秀麗，電力技術(shù)經(jīng)濟(jì)基于修正加權(quán)變異系數(shù)的電力調(diào)度公平性指標(biāo)， 第21卷第五期，2009.10刁在筠劉桂真宿潔馬建華，運(yùn)

37、籌學(xué)（第三版），北京：高等教育出版社，2007.1黃可坤網(wǎng)站 HYPERLINK 嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)模課件附錄附錄1-1:餅圖(1. 1)各單位人數(shù)(1.2)領(lǐng)導(dǎo)傾向單位人數(shù)附錄1-2：:min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+16火c;z12=2*x11+x12+16火c;z21=x21+2*x22+19火c;z22=2*x21+x22+19火c;z31=x31+2*x32+22火c;z32=2*x31+x32+22火c;z41=x41+2*x42+20火c;z42=2*x41+x42+20火c;z51=x51+2*

38、x52+23火c;z52=2*x51+x52+23火c;x11+x12=9;x21+x22=6;x31+x32=3;x41+x42=5;x51+x52=2;附錄1-3：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+171火c;z12=2*x11+x12+171*c;z21=x21+2*x22+204*c;z22=2*x21+x22+204*c;z31=x31+2*x32+217*c;z32=2*x31+x32+217*c;z41=x41+2*x42+200*c;z42=2*x41+x42+200*c;z51=x51+

39、2*x52+228*c;z52=2*x51+x52+228*c;x11+x12=84;x21+x22=51;x31+x32=38;x41+x42=55;x51+x52=27;附錄2-1：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z12=x12+(u212+u312+u412+u512)*2+(255-(x12+u212+u312+u412+u512)*c;z21=x21+(u121+u321+u421+u521)

40、*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x22+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x22+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x31+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x31+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x32+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x32+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x41+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x41+u141+u241+u341+u541)*c;z42=

41、x42+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x42+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x51+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x51+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x52+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x52+u152+u252+u352+u452)*c;x11+x12=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u212+u231+u232+u241+u242+u251+u25

42、2=45+6;x31+x32=35+3;u311+u312+u321+u332+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+x42=50+5;u411+u412+u421+u422+u431+u432+u451+u452=50+5;x51+x52=25+2;u511+u512+u521+u522+u531+u532+u541+u542=25+2;附錄3-1：min=z11+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z21=

43、x21+(u121+u321+u421+u521)*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x21+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x21+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x22+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x22+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x31+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x31+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x32+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x32+u1

44、41+u241+u341+u541)*c;z42=x41+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x41+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x42+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x42+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x51+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x51+u152+u252+u352+u452)*c;x11=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u231+u232+u241+u242+u251+u252=45+6;x31+x32=35+3;u311+u321+u322+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+