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文檔簡介
1、2 函數解析的充要條件 1.函數解析的充要條件 2. 舉例 如果復變函數w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定義域D內處處可導,則函數w=f (z)在D內解析。 本節從函數u (x , y)及v (x , y)的可微性,探求函數w=f (z) 的可微性,從而導出判別函數解析的一個充分必要條件,并給出解析函數的求導方法。問題 如何判斷函數的解析性呢?1. 函數解析的充要條件 記憶定義 方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1 設f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內有定義,則 f(z)在點z=x+iy D處可導的充要條件是 u(x, y)和v(x
2、, y)在點(x, y )可微,且滿足 Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明(由f (z)的可導 C-R方程滿足上面已證!只須證 f (z)的可導 函數 u(x, y)、v(x, y)可微)。函數 w =f (z)點 z可導,即則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令:f (z+z) - f (z)=u+iv,f (z)= a+ib, (z)=1+i2 故(1)式可寫為因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x
3、+1y所以u(x, y),v(x, y)在點(x, y)處可微. (由函數u(x,y) ,v (x,y)在點(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點z=x+iy處可導)u(x,y),v(x,y)在(x,y)點可微,即:定理2 函數f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內解析充要條件 是u(x, y)和v(x, y)在D內可微,且滿足 Cauchy-Riemann方程 定理提供了判別函數解析性的方法及如何求f (z)的導數值.使用時: i)判別u(x, y),v (x, y)偏導數的連續性, ii) 驗證C-R條件.iii)求導數:2. 舉例例1 判定下列函數在何處可導,在何
4、處解析:解(1) 設z=x+iy w=x-iy u=x, v=-y 則解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny僅在點z = 0處滿足C-R條件,故解(3) 設z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則例2 求證函數證明 由于在z0處,u(x,y)及v(x,y)都是可微函數,且滿足C-R條件:故函數w=f (z)在z0處解析,其導數為例3 證明例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數, 且f (z)0,那么曲線族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,這里C1 、 C2常數.那么在曲線的交點處,i)uy、 vy 均不為零時,由隱函數求導法則知曲線族 u(x, y)=C1,v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為 解利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:兩族曲線互相正交.ii) uy,vy中有一為零時,不妨設uy=0,則k1=, k2=0(由C-R方程)即:兩族曲線在交點處的切線一條是水平的,另一條是鉛直的, 它們仍互相正交。
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