復(fù)變函數(shù)課件第二章2_第1頁
復(fù)變函數(shù)課件第二章2_第2頁
復(fù)變函數(shù)課件第二章2_第3頁
復(fù)變函數(shù)課件第二章2_第4頁
復(fù)變函數(shù)課件第二章2_第5頁
已閱讀5頁,還剩14頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

1、2 函數(shù)解析的充要條件 1.函數(shù)解析的充要條件 2. 舉例 如果復(fù)變函數(shù)w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo),則函數(shù)w=f (z)在D內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)u (x , y)及v (x , y)的可微性,探求函數(shù)w=f (z) 的可微性,從而導(dǎo)出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件,并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢?1. 函數(shù)解析的充要條件 記憶定義 方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1 設(shè)f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)有定義,則 f(z)在點z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y)和v(x

2、, y)在點(x, y )可微,且滿足 Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明(由f (z)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證!只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微)。函數(shù) w =f (z)點 z可導(dǎo),即則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令:f (z+z) - f (z)=u+iv,f (z)= a+ib, (z)=1+i2 故(1)式可寫為因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x

3、+1y所以u(x, y),v(x, y)在點(x, y)處可微. (由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點z=x+iy處可導(dǎo))u(x,y),v(x,y)在(x,y)點可微,即:定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要條件 是u(x, y)和v(x, y)在D內(nèi)可微,且滿足 Cauchy-Riemann方程 定理提供了判別函數(shù)解析性的方法及如何求f (z)的導(dǎo)數(shù)值.使用時: i)判別u(x, y),v (x, y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性, ii) 驗證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù):2. 舉例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何

4、處解析:解(1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v=-y 則解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny僅在點z = 0處滿足C-R條件,故解(3) 設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則例2 求證函數(shù)證明 由于在z0處,u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù),且滿足C-R條件:故函數(shù)w=f (z)在z0處解析,其導(dǎo)數(shù)為例3 證明例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù), 且f (z)0,那么曲線族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,這里C1 、 C2常數(shù).那么在曲線的交點處,i)uy、 vy 均不為零時,由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族 u(x, y)=C1,v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為 解利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:兩族曲線互相正交.ii) uy,vy中有一為零時,不妨設(shè)uy=0,則k1=, k2=0(由C-R方程)即:兩族曲線在交點處的切線一條是水平的,另一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾弧?

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論