1、2 函數解析的充要條件 1.函數解析的充要條件 2. 舉例 如果復變函數w=f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在定義域D內處處可導，則函數w=f (z)在D內解析。 本節從函數u (x , y)及v (x , y)的可微性，探求函數w=f (z) 的可微性，從而導出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法。問題 如何判斷函數的解析性呢？1. 函數解析的充要條件 記憶定義 方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1 設f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內有定義，則 f(z)在點z=x+iy D處可導的充要條件是 u(x, y)和v(x

2、, y)在點(x, y )可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有證明（由f (z)的可導 C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導 函數 u(x, y)、v(x, y)可微）。函數 w =f (z)點 z可導，即則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x

3、+1y所以u(x, y)，v(x, y)在點(x, y)處可微. （由函數u(x,y) ,v (x,y)在點(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點z=x+iy處可導）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：定理2 函數f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內解析充要條件 是u(x, y)和v(x, y)在D內可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程 定理提供了判別函數解析性的方法及如何求f (z)的導數值.使用時: i)判別u(x, y)，v (x, y)偏導數的連續性， ii) 驗證C-R條件.iii)求導數：2. 舉例例1 判定下列函數在何處可導，在何

4、處解析：解(1) 設z=x+iy w=x-iy u=x, v=-y 則解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny僅在點z = 0處滿足C-R條件，故解(3) 設z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則例2 求證函數證明 由于在z0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數，且滿足C-R條件：故函數w=f (z)在z0處解析，其導數為例3 證明例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數， 且f (z)0，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里C1 、 C2常數.那么在曲線的交點處，i)uy、 vy 均不為零時，由隱函數求導法則知曲線族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為 解利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交.ii) uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=， k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的, 它們仍互相正交。