1、微分方程 第七章 積分問(wèn)題 微分方程問(wèn)題 推廣 1微分方程的基本概念 第一節(jié)微分方程的基本概念引例 幾何問(wèn)題物理問(wèn)題 第七章 2引例1. 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 3引例2. 列車(chē)在平直路上以的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解: 設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,已知由前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住 , 以及制動(dòng)

2、后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .4常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階.分類(lèi)或5引例2 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1 通解:特解:微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件 其圖形稱(chēng)為積分曲線.0422-=dtsd6例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解 . 解: 這說(shuō)明是方程的解 . 是兩個(gè)

3、獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得: 故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件 7求所滿足的微分方程 .例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q，解: 如圖所示, 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, P263 (習(xí)題12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思考與練習(xí)8例3. 已知函數(shù)是微分方程的解, 則解: ，故 將 代入微分方程，得的表達(dá)式為（ ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) .從而9轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程 可

4、分離變量方程 第七章 10分離變量方程的解法:設(shè) y (x) 是方程的解, 兩邊積分, 得 則有恒等式 說(shuō)明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱(chēng)為方程的隱式通解, 或通積分.= f (x)0 時(shí),上述過(guò)程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 (y) g(y)0 時(shí), 同樣,當(dāng) (x)11例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )12例2. 解初值問(wèn)題解: 分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C = 1,( C

5、為任意常數(shù) )故所求特解為練習(xí)：已知曲線過(guò)點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處切線斜率為 ，則13例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 則故有即解得( C 為任意常數(shù) )所求通解:14練習(xí):解法 1 分離變量即( C 0,積分得故有得 (拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程) 31頂?shù)降椎木嚯x為 h ,說(shuō)明:則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得32( h, k 為待 *二、可化為齊次方程的方程作變換原方程化為 令 , 解出 h , k (齊次方程)定常數(shù)), 33求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化為 令(可分離變量方程)注: 上述方法可適用于下述更一般的方程 34例4. 求解解:令得再令 YX u , 得令積分得代回原變量, 得原方程的通解:35得 C = 1 ,故所求特解為思考: 若方程改為 如何求解? 提示:36練習(xí)1.求微分方程的通解。2.求微分方程的特解。滿足條件3.求初值問(wèn)題的特解。3.求初值問(wèn)題的特解。(93,)(96,)(91,)(99, )37(2003,)設(shè)位于第一象限的曲線過(guò)點(diǎn)其上任一點(diǎn) 處的法線與 軸的交點(diǎn)為 ，且線段 被 軸評(píng)分。(1) 求曲線 的方程；(2) 求曲線 在 上的弧長(zhǎng)為 ，試用表示曲線 的弧長(zhǎng) 。38(2001,)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)的切線在 軸的