1、銳角三角函數的基礎測試題及答案一、選擇題.如圖，在扇形 OAB中， AOB 120，點P是弧AB上的一個動點（不與點 A、B重 合），C、D分別是弦AP , BP的中點.若CD 373 ,則扇形AOB的面積為（）A. 12B. 2C. 4D. 24【答案】A【解析】【分析】如圖，作OHXABT H.利用三角形中位線定理求出 AB的長，解直角三角形求出OB即可解決問題.【詳解】解：如圖作OHAB于H.HPC、D分別是弦AP、BP的中點.CD是3PB的中位線，.AB=2CD= 6 73,.OHXAB,bh=ah= 3 向1. OA=OB, / AOB= 120,AOH= / BOH= 60,AH在

2、 RtAAOH 中，sin/AOH=,AOAH 3.3 6 AO= sin AOH33，22扇形AOB的面積為：120g g612360故選：A.【點睛】本題考查扇形面積公式，三角形的中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會 添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖 2,它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B=之間的距離為10cm,雙翼的邊緣 AC= BD= 54cm,且與閘機側立面夾角/ PCA= / BDQ= 30.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）圖1D. 54cmBF的長，依據端點A與B之間的A. （54 百+1

3、0） cm B. （54啦+10） cmC. 64 cm【答案】C【解析】【分析】過A作AE, CP于E,過B作BF DQ于F,則可得AE和 距離為10cm,即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度.【詳解】F,則同理可得，BF=27cm,又點A與B之間的距離為10cm,，通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27=64 （cm）,故選C.【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數 進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多.如圖，那BC內接于半徑為 5的。O,圓心。到弦BC的距離等于3,則/ A的正切值等C.D.試題分析：如答圖，過點O

4、作OD，BC,垂足為D,連接 OB, OC,. OB=5, OD=3, 根據勾股定理得 BD=4. /A=1/BOC,/A=/BOD.2 一r BD 4/. tanA=tan Z BOD= OD 3故選D.考點：1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.勾股定理；4.銳角三角函數定義.4.同學們參加綜合實踐活動時，看到木工師傅用豈弧法”在板材邊角處作直角，其作法是：如圖：(1)作線段AB,分別以點A, B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點 C;(2)以點C為圓心，仍以AB長為半徑彳乍弧交 AC的延長線于點 D；(3)連接 BD, BC.根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是()-0A. /A

5、BD= 90B. CA= CB= CDC. sinA= X3D. cosD= 1【答案】D【解析】【分析】由作法得CA= CB= CD= AB,根據圓周角定理得到/ ABD=90。，點C是AABD的外心，根 據三角函數的定義計算出/D= 30,則/ A=60,利用特殊角的三角函數值即可得到結論.【詳解】由作法得 CA= CB= CD= AB,故B正確；點B在以AD為直徑的圓上，丁./ ABD=90,故 A 正確；.點C是AABD的外心，_AB1在 RtABC中 sin/ D=-=-AD2 ./ D= 30, / A = 60,.sinA=Y3,故C正確；cosD= ,故D錯誤，故選：D.【點睛

6、】本題考查了解直角三角形，三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.也考查了圓周角定理和解直角三角形.A. 2+ 73B. 273.如圖，在 AABC中，AC BC, Z ABC= 30 ,點D是CB延長線上的一點，且 BD= BA, 則tan / DAC的值為（）C. 3+ .3D. 3 .3【分析】【詳解】設 AC=x,在 RtAABC 中，/ ABC=30 ,即可得 AB=2x, BC=J3x,所以 BD=BA=2x,即可得 CD=Qx+2x=(73+2) x,在 RtAACD 中，tan / DAC=CD_ 1點 2)x J3 2AC x

7、故選A.A. 1【答案】C【解析】B.一2.如圖，在矩形 ABCD中，BC= 2, AE BD,垂足為 E, / BAE= 30,貝U tan / DEC的值是c 3 C.【分析】先根據題意過點2C 作 CFL BD 與點 F 可求得 那Eg CFD (AAS),彳#到 AE=CF= 1, EF=即可求出答案過點C作CF BD與點F. / BAE= 30,./ DBC= 30, BC= 2,CF= 1, BF= ,3 ,易證 AAE CFD (AAS) .AE=CF= 1 ,. / BAE= / DBC= 30,.be=ae=立，331 EF= BF- BE= 3z = 5/3 ,33在 Rt

8、CFE中,tan / DEC=2 2_ 更, EF T此題考查了含30。的直角三角形，三角形全等的性質，解題關鍵是證明所進行的全等.如圖，四邊形 ABCD內接于eO, AB為直徑，AD CD,過點D作DE AB于點E ,連接AC交DE于點F若sin CAB3DF 5 ,則AB的長為（5【答案】D【解析】【分析】C. 16D. 20連接BD ,如圖，先利用圓周角定理證明ADE DAC得到FD FA 5 ,再根據正弦的定義計算出EF 3 ,則AE 4, DE8 ,接著證明 ADEs DBE ,利用相似比得到 BE 16 ,所以 AB 20.【詳解】Q AB為直徑，ADB ACB 90 ,Q AD

9、CD,DAC DCA ,而 DCA ABD ,DACABDDE AB ,ABD BDE 90 ,而 ADE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 ,EF 3在 Rt AEF 中，Q sin CAB AF 5EF 3,AE 5T? 4，DE 5 3 8,Q ADE DBE , AEDADEs DBE ,DE ：BE AE : DE ,即 8： BE 4:8 ,BE 16 , AB 4 16 20.故選：D.【點睛】 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧90的圓周角所對的所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角

10、, 弦是直徑.也考查了解直角三角形.如圖，已知圓O的內接六邊形 ABCDEF的邊心距OM 2,則該圓的內接正三角形ACE的面積為（）A. 2B. 4C. 643D. 473【答案】D【解析】【分析】連接OC,OB,過O作on CE于N ,證出 COB是等邊三角形，根據銳角三角函數 的定義求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接 OC,OB,過O作on CE于N,多邊形 ABCDEF是正六邊形, COB 600,OC OB ,COB是等邊三角形, OCM 600,OM OC?sin OCM,OCOMsin 60(cm) .OCN 30,2 .33一 1 一ON OC 2CE 2CN 4 ,，該圓的內

11、接正三角形 ACE的面積 3 1 4 巫 4J3, 23,故選：D.【點睛】本題考查的是正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數；熟練掌握正六邊形 的性質，由三角函數求出 OC是解決問題的關鍵.9.在Rt祥BC中，/ C=90,如果 AC=2, cosA=-,那么 AB的長是（）3A. 3B, 4C. 75D. Vl3【答案】A【解析】根據銳角三角函數的性質，可知cosA-AC =-,然后根據AC=2,解方程可求得AB 3故選A.點睛：此題主要考查了解直角三角形，解題關鍵是明確直角三角形中，余弦值A的鄰邊AB=3.cosA=斜邊,然后帶入數值即可求解10.如圖，一艘輪船位于燈塔 P的北

12、偏東 船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔 P之間的距離為（）60。方向，與燈塔P的距離為P的南偏東30。方向上的30海里的A處，輪B處，則此時輪船45海里20J3海里D.30J3海里【答案】D【解析】APB=90 ,再利用勾股定理得出BP的長，求出答【分析】根據題意得出：/ B=30, AP=30海里，/案.【詳解】解：由題意可得：/ B=30, AP=30海里，/ APB=90 ,故 AB=2AP=60 （海里）,則此時輪船所在位置 B處與燈塔P之間的距離為：bp=Jab2 AP230f3 （海里） 故選：D.【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用以及方向角，正確應用勾股定理是解題關鍵.

13、11.某同學利用數學知識測量建筑物DEFG的高度.他從點 A出發沿著坡度為i 1:2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，用測角儀測得建筑物頂端D的仰角為37,建筑物底端E的俯角為30,若AF為水平的地面，側角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為（精確到0.1米，參考數據：73 1.73, sin37 0.60 ,cos37 0.80,tan370.75）（）A. 23.0米B. 23.6 米C. 26.7米D, 28.9米【答案】C【解析】【分析】如圖，設CBAF于N,過點C作CMDE于M,根據坡度及 AB的長可求出BN的長，進而可求出CN的長，即可得出 ME的長，利用/

14、 MBE的正切可求出 CM的長，利用/ DCM 的正切可求出DM的長，根據DE=DM+ME即可得答案.【詳解】如圖，設CBAF于N,過點C作CMDE于M,沿著坡度為i 1： 2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，,BN 1AN 2.4 .-.AN=2.4BN,BN2+ （2.4BN） 2=262, 解得：BN=10 （負值舍去）， .CN=BN+BC=11.。.-.ME=11.6, / MCE=30 ,-.CM=MEtan30=11.6 石, / DCM=37 ,.DM=CM tan37 =8.7 73 , .DE=ME+DM=11.6+8.7 石= 26.7（米）,故選：C.【點睛】本題考查

15、解直角三角形的應用，正確構造直角三角形并熟練掌握三角函數的定義及特殊角 的三角函數值是解題關鍵.12 .如圖，AB是。的直徑，C是。上的點，過點 C作。的切線交AB的延長線于點E,若/ A=30,則 sin/E 的值為（）dT【答案】A【解析】【分析】首先連接OC,由CE是。切線，可證得 OC，CE,又由圓周角定理，求得/ BOC的度數, 繼而求得/ E的度數，然后由特殊角的三角函數值，求得答案.【詳解】如圖，連接OC,. CE是OO的切線, ./ OCE=90,.OA=OC,.Z OCA=Z A=30 ,./ COEN A+/ OCA=60 ,E=180 -90 -60 =30,一 。 si

16、nE=sin30 =一2故選A.13.如圖,1 .、x2刻回,2將一個小球從斜坡的點斜坡可以用一次函數O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數y=4x 1y=-x刻畫，下列結論錯誤的是 （）21A.斜坡的坡度為1： 2B.小球距。點水平距離超過4米呈下降趨勢C.小球落地點距 O點水平距離為7米D.當小球拋出高度達到 7.5m時，小球距O點水平距離為3m【答案】D【解析】【分析】求出拋物線與直線的交點，判斷A、C;根據二次函數的性質求出對稱軸，根據二次函數性質判斷B;求出當y 7.5時，x的值，判定D .【詳解】y解：y1 2 -x 21 -x24x解得,X 0V10X2V27 ： 7=1 ： 2

17、, A 正確；2小球落地點距 O點水平距離為7米，C正確;y 4x12(x2 4)2 8,則拋物線的對稱軸為x 4,當x 4時, 確，y隨x的增大而減小，即小球距 。點水平距離超過 4米呈下降趨勢，b正當y 7.5時,7.54x整理得x2 8x15解得，X 3X2D. 18.3 9當小球拋出高度達到 7.5m時，小球水平距 O點水平距離為3m或5m, D錯誤，符合題心、，故選：D【點睛】本題考查的是解直角三角形的坡度問題、二次函數的性質，掌握坡度的概念、二次函數的性質是解題的關鍵.14.如圖，在邊長為 8的菱形ABCD中，/ DAB=60 ,以點D為圓心，菱形的高 DF為半徑 ()【分析】由菱

18、形的性質得出 AD=AB=8, /ADC=120,由三角函數求出菱形的高DF,圖中陰影部分的面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積，根據面積公式計算即可.【詳解】解：二.四邊形 ABCD是菱形，/ DAB=60, .AD=AB=8, Z ADC=180 - 60 =120 ,.DF是菱形的高，DFXAB, .DF=AD?sin60 =8 4百，2，圖中陰影部分的面積 =菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積120(4 3)2=8 4V3 3273 16 .360故選：C.【點睛】本題考查了菱形的性質、三角函數、菱形和扇形面積的計算；由三角函數求出菱形的高是解決問題的關鍵.15.如圖，AB

19、是。的直徑，弦 CD AB于E點，若AD CD 2J3 .則？C的長為()【答案】B【解析】【分析】2.3根據垂徑定理得到 CEDE 73, ?C Bd , / A=30,再利用三角函數求出OD=2,3即可利用弧長公式計算解答 .【詳解】如圖：連接OD,. AB 是。的直徑，弦 CD) AB于 E 點，AD CD 2 J3 , CE DE 43 ?C BD ， / A=30 ,/ DOE=60DEOD=sin60o2,602 2Be 的長=?D 的長=.0C -1803故選：B.A【點睛】此題考查垂徑定理，三角函數，弧長公式，圓周角定理，是一道圓的綜合題16.如圖，已知。O上三點A, B, e

20、,半徑OC=1, /ABC=30,切線PA交OC延長線于點 P,則PA的長為（）【解析】【分析】連接OA,由圓周角定理可求出/ AOC=60,再根據/ AOC的正切即可求出 PA的值. 【詳解】連接OA, / ABC=30 ,. / AOC=60 ,.PA是圓的切線，. / PAO=90 ,PA. tanZ AOC =- OA ,PA= tan60 x 1=/3 .故選B.fi【點睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質及銳角三角函數的知識，根據圓周角定理可求出/AOC=60是解答本題的關鍵.17.如圖，河壩橫斷面的迎水坡6m【答案】C【解析】8m10m12m迎水坡AB的坡比為3: 4得出tanBAC3 ,再根據BC= 6m得出AC的值，再根據勾4AB的坡比為3: 4, BC= 6m,則坡面 AB的長為（股定理求解即可.由題意得tanBAC ACBCtan BAC8m AB故選：C.【點睛】.AC2BC2,826210m本題考查解直角三角形的應用，把坡比轉化為三角函數值是關鍵18.如圖，在RtAABC內有邊長分別為a, b, c的三個