1、定積分第一節 定積分的概念與性質1abxyoA ?曲邊梯形由連續曲線 y f ( x)( f ( x) 0)、 x軸與兩條直線x a 、 x b所圍成.實例1 （求曲邊梯形的面積）一、問題的提出y f ( x)2abxyxoabyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近 曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）3曲邊梯形如圖所示，在區間a,b內插入若干 個分點，a x0 x1 x2 xn1 xn b,oaxi 1i xixn1 bxyx1把區間a,b 分成 n 個小區間 xi 1 , xi ， 長度為 xi xi xi 1;在每個小區間 xi 1 , xi 上任取一點

2、 ，i以 xi1 , xi 為底，f (i ) 為高的小矩形面積為Aif (i )xi4nA f (i )xii1當分割無限加細, 記小區間的最大長度 或者( x )x maxx1 , x2 ,xn 趨近于零 ( x 0或者 0) 時，曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為 A lim f (i )xin 0 i 15實例2 （求變速直線運動的路程）設某物體作直線運動，已知速度v v(t )是時間間隔 T1 ,T2 上 t 的一個連續函數，且 v(t ) 0，求物體在這段時間內所經過的路程思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上 速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通

3、過對時間的無限細 分過程求得路程的精確值6（1）分割T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2ti ti ti1si v( i )ti部分路程值某時刻的速度（2）求和ns v( i )tii 1 maxt1 , t2 , tn （3）取極限s limv( i )tin 0 i 1路程的精確值7定義 設函數 f ( x) 在a, b上有界，在a, b中任意插入記 x maxx1, x2 , xn，如果不論對a, b若干個分點a x x x x x b012n1n把區間a, b分成n個小區間，各小區間的長度依次為xi xi xi 1 ，(i 1,2,)，在各小區間上任取一點i （i xi ），作乘

4、積 f (i )xin并作和S f (i )xi ，i 1(i 1,2,)二、定積分的定義8怎樣的分法， 也不論在小區間 xi1 , xi 上a積分下限f ( x)dx I lim f (i )xibn 0 i1被 積 函 數被 積 表 達 式積 分 變 量a,b 積分區間點i 怎樣的取法，只要當 x 0 時，和S 總趨于確定的極限I ， 我們稱這個極限 I 為函數 f ( x)在區間a, b上的定積分， 記為積分上限積分和9注意：（1）積分值僅與被積函數及積分區間有關，而與積分變量的字母無關.abbf ( x)dx af (t )dt af (u)dub（2）定義中區間的分法和i 的取法是任

5、意的.（3）當函數 f ( x) 在區間a, b上的定積分存在時，稱 f ( x)在區間a, b上可積.10當函數 f ( x) 在區間a, b上連續時，稱 f ( x)在區間a, b上可積.定理1定理2設函數 f ( x) 在區間a, b 上有界，且只有有限個第一類的 間斷點，則 f ( x)在區間a, b上可積.三、存在定理11f ( x) 0,af ( x)dx Ab曲邊梯形的面積f ( x) 0,af ( x)dx A曲邊梯形的面積的負值bA1A2A3A4A4A2 A3f ( x)dx A1ba四、定積分的幾何意義12幾何意義：它是介于 x 軸、函數 f ( x) 的圖形及兩條 直線

6、x a, x b 之間的各部分面積的代數和 在 x 軸上方的面積取正號；在 x 軸下方的面 積取負號13例1 利用定義計算定積分xdx.102解 將0,1n等分，分點為x i ，(i 1,2, n)ni小區間 xi1 , xi 的長度xi取i xi ，(i 1,2, n)，(i 1,2, n)n1n f (i )xii 1 ixii 1n2xx ,i 12i in14ni 1 n 2 i 1n i 2 n3 i 1n 161n(n 1)(2n 1)n3 1 ,1 2 1 16 n n x 0 n xdx102xiin 0 i1 lim2n lim 1 1 1 2 1 1 .n n 6 315五

7、、定積分 的性質16證a f ( x) g( x)dxnb lim f (i ) g(i )xi 0 i1 lim f (i )xi lim g(i )xinn 0 i1 0 i 1 af ( x)dx a g( x)dx.（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）bbbbb性質1 a f ( x) g( x)dx af ( x)dx a g( x)dx.17a kf ( x)dx k af ( x)dxk(bb為常數).證a kf ( x)dx lim kf (i )xibn 0 i 1 lim k f (i )xinni1 0 k lim f (i )xi 0 i 1 k af ( x)d

8、x.b性質218abcbf ( x)dx af ( x)dx cf ( x)dx .補充：不論 a,b,c的相對位置如何, 上式總成立.例 若a則a b c,cf ( x)dx af ( x)dx b f ( x)dxcbabf ( x)dx af ( x)dx b f ( x)dxcccb af ( x)dx cf ( x)dx.（定積分對于積分區間具有可加性）性質3假設a c b19性質4 1 dx badx b a .ba則af ( x)dx 0.b(a b)證f ( x) 0,f (i ) 0,(i 1,2, n) xi 0,n f (i )xi 0,i 1 maxx1 , x2 ,

9、xn i in 0 i1f ( )x limf ( x)dx 0.ba性質5如果在區間a, b上 f ( x) 0，20例 1比較積分值edx 和x20 xdx 的大小.20解令 f ( x) ex x,x 2, 0f ( x) 0,(ex x)dx 0,02edxx20 xdx,02于是 edxx20 xdx.20可以直接作出答案21性質5的推論：（1）如果在區間a, b上 f ( x) g( x)，證f ( x) g( x),g( x) f ( x) 0,a g( x) f ( x)dx 0,a g( x)dx af ( x)dx 0,bbb于是f ( x)dx bbag( x)dx .a

10、則f ( x)dxg( x)dx .(a b)bbaa22f ( x)dx f ( x)dx.(a b)baab證 f ( x) f ( x) f ( x),f ( x)dx,f ( x)dx f ( x)dx babbaa 即f ( x)dx f ( x)dx.baab說明： | f ( x)|在區間a, b上的可積性是顯然的.性質5的推論：（2）23設M 及m分別是函數證a m f ( x) M ,a mdx af ( x)dx a Mdx,bbbm(b a) f ( x)dx M (b a).ba（此性質可用于估計積分值的大致范圍）曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間則m(b a) f (

11、x)dx M (b a).bf ( x)在區間a, b上的最大值及最小值，性質624解f ( x) ,sin xxx2x2f (x) x cos x sin x cos x( x tan x) 0 x , 42f ( x)在,上單調下降,42故 x 為極大點， x 為極小點,42例2不計算定積分 估計 的大小dxx sin x242424Mf ( ) 2 2 ,m f () 2 ,42b a ,244 2 sin xdx 2 2 ,441 2sin xdx 2 .x 2x25證性質7（Th5.1 定積分第一中值定理）如果函數 f ( x)在閉區間a, b上連續，則在積分區間a, b上至少存在一

12、個點 ，f ( x)dx Mb am ba1 m(b a) f ( x)dx M (b a)ba由閉區間上連續函數的介值定理知使af ( x)dx f ( )(b a).(a b)積分中值公式b26在區間a, b上至少存在一個點 ，使f ( x)dx, 1 f () b abaf ( x)dx f ( )(b a).ba(a b)積分中值公式的幾何解釋：在區間a, b上至少存在一xoab個點 ，使得以區間a, b為即yf ( )以曲線 y f ( x)底邊，為曲邊的曲邊梯形的面積 等于同一底邊而高為 f ( ) 的一個矩形的面積。27Th5.2(推廣的積分第一中值定理）如果函數 f ( x),

13、g(x)在閉區間a, b上連續，且 g(x)在閉區間a,b上可積且不變號,則在積分區間a, b上至少存在一個點 ，使f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx當g(x) 1時,即為Th5.1bbaa28六、積分上限函數及其導數設函數 f ( x) 在區間a, b上連續，并且設x 為a, b上的一點， 考察定積分ax xf ( x)dx af (t )dt記 ( x) af (t )dt.x積分上限函數如果上限x 在區間a, b上任意變動，則對于 每一個取定的x 值，定積分有一個對應值，所以 它在a, b上定義了一個函數，29ax xbxyf (t )dto定理 如果 f ( x) 在a,

14、 b上連續，則積分上限的函數( x) f (t )dt 在a, b上具有導數，且它的導xa數是f (t )dt f ( x)(a x b) ( x) dx d xa證 ( x x) xxa ( x x) ( x) af (t )dt af (t )dtxx x( x)x( x) af (t )dt.x30 x x xbf (t )dtf (t )dt f (t )dt xaxxxxa xf (t )dt,xx由積分中值定理得 f ( )xx 0, x f ( ),xlim limf ( )x0 x0 x( x) f ( x).o x, x x,axy( x)31計算下列導數t 2etttcos

15、xxxdtdxdx dedtdx dedtd111222(3)(2)(1)32補充如果 f (t ) 連續，a( x) 、b( x) 可導，則F ( x) f (t )dt 的導數F ( x) 為b( x )a ( x )證F ( x) f (t )dta( x )b( x )00f (t )dt 0b( x ) 0f (t )dt,a ( x )F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)f (t )dtf b( x)b( x) f a( x)a( x)F ( x) dxb( x )a( x )d33例1求 limx0.21cos x2xedtt解et d 1cos x2

16、dt dxdt,cos xt 21edx d (cos x)cos2 x e, sin x ecos2 xx21cos xlimx02dtet2x2sin x ecosx limx0. 1 2e00分析：這是型不定式，應用洛必達法則.34定理2（原函數存在定理）如果 f ( x) 在a, b上連續，則積分上限的函數( x) 原函數.f (t )dt 就是 f ( x) 在a, b上的一個xa定理的重要意義：（1）肯定了連續函數的原函數是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系.35定理 3（微積分基本公式）如果F ( x)是連續函數 f ( x) 在區間a, b上b的一個原函

17、數，則f ( x)dx F (b) F (a).a又( x) f (t )dt 也是 f ( x) 的一個原函數,xa已知F ( x)是 f ( x) 的一個原函數， F ( x) ( x) Cx a,b證七 牛頓萊布尼茨公式36令x aF (a) (a) C , (a) af (t )dt 0aF (a) C ,f (t )dt F ( x) F (a),xa F ( x) f (t )dt C ,xa令 x bf ( x)dx F (b) F (a).ba牛頓萊布尼茨公式37f ( x)dx F (b) F (a) F ( x)ba微積分基本公式表明：一個連續函數在區間a, b上的定積分等

18、于 它的任意一個原函數在區間a, b上的增量.求定積分問題轉化為求原函數的問題.b a注意當a b時，f ( x)dx F (b) F (a)仍成立.ba38例4求2 (2cos x sin x 1)dx.0原式202sin x cos x x 3 .2f ( x)dx.例5設 f ( x) , 求 2 x0 x 151 x 220解解12f ( x)dx 0f ( x)dx 1f ( x)dx02在1,2上規定當 x 1時， f ( x) 5 ,原式 0 2 xdx 1512dx 6.xyo1239例6求maxx, x2 dx.22解由圖形可知f ( x) maxx, x2 x2 2 x 0

19、 x0 x 1,1 x 22xdx 0 xdx 1x dx原式 0 x22122.2 112xyoy x2y x1 240設 f (x) Ca,b, 且 F(x) f (x),則有1. 微積分基本公式a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a)b積分中值定理微分中值定理牛頓 萊布尼茨公式41定理假設（1） f ( x) 在a, b上連續；（2）函數 x (t )在 , 上是單值的且有連續 導數；（3）當t 在區間 , 上變化時， x (t ) 的值 在a, b上變化，且 ( ) a 、 ( ) b ，則 有f (t ) (t )dt .f ( x)d

20、x ba八、換元公式42證設F ( x)是 f ( x) 的一個原函數，f ( x)dx F (b) F (a),ba(t ) F(t ),(t ) dF dxf ( x)(t )f (t )(t ),dxdt(t )是 f (t ) (t )的一個原函數.f (t )(t )dt () (),43 ( ) a、 ( ) b ,( ) ( ) F ( ) F ( ) F (b) F (a),f ( x)dx F (b) F (a) ( ) ( )ba f (t ) (t )dt.注意當 時，換元公式仍成立.44應用換元公式時應注意:（1）用 x (t )把變量 x換成新變量t 時，積分限也 相

21、應的改變.（2）求出 f (t ) (t )的一個原函數(t )后，不 必象計算不定積分那樣再要把(t )變換成原 變量 x的函數，而只要把新變量t 的上、下 限分別代入(t )然后相減就行了.452cos5 x sin xdx.0例1計算.xln xe 43edx例2計算46例1計算cos5 x sin xdx.202225cos5 xd (cos x)00cos6 x0cosx sin xdx (0 1) 1 .666 解湊微分是第一類換元積分法，特點是不要明顯地換元，也就不要更換積分的上下限。473 1 )42 2( 2ln xln xd ln xxln xe 4e 4ee dx 例2

22、計算 解原式3e 4e33.xln xe 43edx48例3 計算 3解2xdx49三角代換和根式代換50例4計算解12x1 x122dx.1令 x sin t,x 1 t ,2x 12 t 6dx cos tdt,原式2226sin2 t cos tsin2 t66 cos t dt dt cot t (cot cot ) (0 3) 3 2 6 明顯換元51例 5 當 f ( x)在a, a上連續，且有 f ( x)為偶函數，則af ( x)dx 20f ( x)dx；aa f ( x)為奇函數，則af ( x)dx 0.a證f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,0a0aa

23、a在a0f ( x)dx 中令x t ,52af ( x)dx af (t )dt 0f (t )dt,00a f ( x)為偶函數，則f (t ) f (t ),af ( x)dx 0f ( x)dxf (t )dt;f ( x)dx aa 0a 20a f ( x)為奇函數，則 f (t ) f (t ),af ( x)dx af ( x)dx 0f ( x)dx 0.a 0a在a0f ( x)dx 中令x t ,53奇函數例6計算解2 x x cos x dx.1 1 x2112原式 11 1 x2122 xdx 11 1 x21x cos x dx偶函數 40dx1 1 x2 40(1

24、 12 x 01 (1 x2 ) 41x (1 1 x ) dx221 x)dx 4 4121 xdx102 4 .單位圓的面積54總結：1、定積分公式2、定積分計算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換）3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換 元要換上下限4、 介紹了積分上限函數5、積分上限函數是原函數6、計算上限函數的導數55例 7若 f ( x) 在0,1上連續，證明（1）f (sin x)dx f (cos x)dx;2200（2） 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx .20由此計算0 1 cos2 x x sin x dx .證（1）設 x t2 dx dt,x

25、 0 t ,2x t 0,25620f (sin x)dx fsin t dt 02220f (cos t )dtf (cos x)dx;20 x t257（2）x t dx dt,x 0 t ,x t 0,0 xf (sin x)dx ( t) f sin( t)dt0( t) f (sin t)dt,0由此計算 0 1 cos2 x2 00 xf (sin x)dx f (sin x)dx x sin x dx設58xf (sin x)dx 0f (sin t)dt0 tf (sin t)dt 0f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,f (sin x)dx.2 0 xf (

26、sin x)dx 00 1 cos2 x x sin x dx sin x 2 0 1 cos2 x dx2 0 1 cos2 x 1 d(cos x) arctan(cos x)02.42) ( 244059avdu.定積分的分部積分公式九、分部積分公式設函數u( x) 、v( x) 在區間a, b上具有連續導數，則有udv uvb abb a推導uv uv uv, (uv)dx uv ,baba uvdx uvdx,baabb auv udv uv vdu.bababa60例計算解ln xdx.1e61例2計算arcsin xdx.120解令u arcsin x,dv dx,du dx ,

27、1 x2v x,120arcsin xdx x arcsin x120 xdx 1 x2120261 1 d (1 x2 )1 x120212 1 x121202 1.122 3則62例3計算解xe dxx10例4 計算 x cos xdx1063例5計算解1edxx2ln x64一、無窮限的廣義積分定義 1設函數 f ( x) 在區間a,) 上連續，取b a，如果極限 limbb af ( x)dx 存在，則稱此極限為函數 f ( x) 在無窮區間a,) 上的廣義積分，記作af ( x)dx .af ( x)dx limbb af ( x)dx當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在 時，

28、稱廣義積分發散.第四節 廣義積分65類似地，設函數 f ( x) 在區間(, b 上連續，取a b，如果極限 limabaf ( x)dx 存在，則稱此極限為函數 f ( x) 在無窮區間(, b 上的廣義積 分，記作f ( x)dx .bbf ( x)dxlimab af ( x)dx當極限存在時，稱廣義積分收斂；當極限不存在 時，稱廣義積分發散.66設函數 f ( x) 在區間(,) 上連續,如果0廣義積分 f ( x)dx 和 0f ( x)dx 都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數 f ( x) 在無窮區間(,)上的廣義積分，記作f ( x)dx .0f ( x)dx f ( x)dx

29、 0f ( x)dxablim0af ( x)dx limb0f ( x)dx極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發散.67例1 計算廣義積分解 1 sin 1 dx.22x x2 1 sin 1 dxx x2 2sind x 1 1x x 2 cos 1 cos 0 0 12 limcos 1 cosxxlimF (x) F (a)x F () F (a)f (x)dx F (x)aa簡記為68例1 計算廣義積分.1 x2dx解 1 x2dx 1 x20dx 01 x2dx1 x0 1 limdx lima2a0 1 x2bb 1 dxarctan x0limaabarctan xb0li

30、m lim arctana lim arctanb ab .2 2 69例 3 證明廣義積分11dx 當 p 1時收斂，x p當 p 1時發散.證(1)p 1,1 1 dx x p1 1dx ln xx1 , ,p 1(2)p 1,1 1 dx xp1 p1 x 1 1 p, p 1 p 1因此當 p 1時廣義積分收斂，其值為 1 ；p 1當 p 1時廣義積分發散.70 o, iiJy$y()dbbo+cb/(z)dz71,y( d .:i a.aJ(z) dz-J-J(z) dz72Acr BUX if. 4STJ1. i*J1 I;-,;y,pJb/(,)dp2 z 4z 731 11 2

31、1174f= o i l y r-s jk.r yG& GT *fJ 5.7pa l e*dx( o0)75ti5.8e 2z176回顧曲邊梯形求面積的問題A af ( x)dxb第五節、定積分應用曲 邊 梯 形 由 連 續 曲 線 y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 軸與兩條直線 x a 、 x b所圍成。abxyoy f ( x)771、幾何上的應用78面積79ax x dxbxyoy f ( x)A lim f (i )xi n 0 i 1abf ( x)dx a f ( x)dx.bdA面積元 素80一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形設曲線與直線及 x 軸所圍曲邊梯形面積

32、為 A ,則dA f (x) dxA f (x) dxbaOaxbxyy f (x)x dxyby f2 (x)xay f1(x)Oxx d x f (x) f(x) dxA 右圖所示圖形，面積元素為dA f1(x) f2 (x)dxba1281xyoy f ( x)axx xbxyoy f1 ( x)y f( x)2ab曲邊梯形的面積A abf ( x)dx曲邊梯形的面積A a f2 ( x) f1 ( x)dxbxx82f1 (x) f2 (x) dxA baybxa x x d xy f2 (x)y f1(x)Oc f (x) f(x)dxca12 f(x) f (x)dxbc21A (

33、 y) ( y) dydcy d yyOx ( y)xy d x ( y)cdA | f1(x) f2 (x) | dx有時也會選 y 為積分變量dA | ( y) ( y) | dy83例 1 計算由兩條拋物線 y2 x 和y x2 所圍成的 圖形的面積.解（1）作圖（2）求出兩曲線的交點(0,0)(1,1)（3） 選 x 為積分變量x 0,1A (x x2 )dx 101x3 3 03223x.13y x2x y2（4）代公式 A a f2 ( x) f1 ( x)dxb84例 2計算由曲線 y2 2x和直線 y x 4所圍成的圖形的面積.解兩曲線的交點 y2 2 x y x 4 (2,2), (8,4).選 y 為積分變量y 2, 4dA y 4 y dy22 A dA 18.42y2 2xy x 485解題步驟：(1)畫出草圖；(2)求出交點；(3)選擇合適的積分變量，確定積分區間，計算。86Ox x d x ayb例3. 求橢圓解: 利用對稱性 ,有 d A y dx所圍圖形的面積 .A 40y d x 4b0a利用橢圓的參數方程x a cos t(0 t 2 )y b sin t應用定積分換元法得 4ab 202sint dt 4ab 2 2 ab1 當 a = b 時得圓面積公式x1 aaxd x287二、