1、第 6 章 內(nèi)力和內(nèi)力圖6-1 平面桁架的內(nèi)力 6-2 軸力和軸力圖6-3 扭矩和扭矩圖 6-4 剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖外力：物體或系統(tǒng)所承受的其它物體對它的作用力（包括約束力）。內(nèi)力：物體或系統(tǒng)內(nèi)部，因外力作用而產(chǎn)生的各物體之間或各部分之間的相互作用力。 物體受到外力作用而變形時，其內(nèi)部各質(zhì)點間的相對位置將有變化。與此同時，各質(zhì)點間的相互作用力也發(fā)生了改變。上述相互作用力由于物體受到外力作用而引起的改變量就是內(nèi)力。 內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強度，剛度、穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。6-1 平面桁架的內(nèi)力 1. 什么是桁架 桁架是由細長直桿組成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。2. 工程實例6.1.1 桁架的概念 所有桿件

2、的軸線都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。 例：地面衛(wèi)星接收系統(tǒng)例：海洋石油鉆井平臺例：埃菲爾鐵塔 (1) 桿件截面形狀和尺寸設計； (2) 材料選取； (3) 強度校核。 3. 分析桁架內(nèi)力的目的6.1.2 模型的建立1. 屋架結(jié)構(gòu)的簡化2. 桁架簡化的幾個假設 (1) 各桿在節(jié)點處用光滑的鉸鏈連接； (2) 各桿的軸線都是直線，并通過鉸的中心； (3) 所有外力（主動力及支座約束力）都作用在節(jié)點上，對于平面桁架，各力的作用線都在桁架的平面內(nèi)。 根據(jù)上述假設，桁架的各個桿件都是二力桿。我們能比較合理的地選用材料，充分發(fā)揮材料的作用，在同樣跨度和載荷情況下，桁架比梁更能節(jié)省材料，減輕自重。3.

3、平面簡單桁架的構(gòu)成 在平面問題中，為保證桁架幾何形狀不變，可以由基本三角形ABC 為基礎(chǔ)，這時是3 個節(jié)點，以后每增加一個節(jié)點，相應增加兩根不在一條直線上的桿件，依次類推，最后將整個結(jié)構(gòu)簡支，這樣構(gòu)成的桁架稱為平面簡單桁架。平面簡單桁架桿件數(shù)m與節(jié)點數(shù)n之間的關(guān)系為 ：m=3+2(n-3)=2n-3平衡方程數(shù)：2n ，未知力數(shù)目：m+3 在支座約束力共有3 個未知量而且布置恰當?shù)那闆r下，平面簡單桁架是靜定的。三個支座約束力既不匯交也不平行。6.1.3 平面簡單桁架的內(nèi)力計算1. 節(jié)點法例題 6-1 如圖平面簡單桁架，已知鉛垂力FC= 4 kN，水平力FE =2 kN。求各桿內(nèi)力。 取節(jié)點為研究

4、對象來求解桁架桿件的內(nèi)力。解：先取整體為研究對象,受力如圖所示。由平衡方程聯(lián)立求解得 FAx= 2 kN, FAy= 2 kN FB = 2 kN例題 6-1取節(jié)點A，受力分析如圖, 設所有桿件均為拉桿。由平衡方程解得例題 6-1例題 6-1取節(jié)點K，受力分析如圖。由平衡方程解得取節(jié)點C，受力分析如圖。由平衡方程解得例題 6-1取節(jié)點D，受力分析如圖。由平衡方程解得例題 6-1例題 6-1取節(jié)點B，受力分析如圖。由平衡方程例題 6-2 如圖平面桁架，已知鉛垂力FC = 4 kN，水平力FE = 2 kN。求KE，CE，CD 桿內(nèi)力。 2. 截面法 解：先取整體為研究對象, 作受力圖。 由平衡方

5、程聯(lián)立求解得 FAx= 2 kN，F(xiàn)Ay= 2 kN，F(xiàn)B = 2 kN例題 6-2由平衡方程聯(lián)立求解得例題 6-2 作一截面m-m將三桿截斷，取左邊部分為分離體，作其受力圖。意義：簡化計算, 問題：能否去掉零桿? 3. 零桿在一定載荷作用下，桁架中軸力為零的桿件。注意：(1) 載荷改變后，“零桿”可以變?yōu)榉橇銞U。因此，為了保證結(jié)構(gòu)的幾何形狀在任何載荷作用下都不會改變，零桿不能從桁架中除去。實際上，零桿的內(nèi)力也不是零，只是較小而已。在桁架計算中先已作了若干假設，在此情況下，零桿的內(nèi)力才是零。 首先判斷出零桿，對簡化桁架計算是有益的。思考題6-1 在圖示載荷下，試判斷下列各桁架中的零桿。思考題6

6、-1參考答案： 4. 小 結(jié) (1) 節(jié)點法 (a)一般先研究整體，求支座約束力； (b) 逐個取各節(jié)點為研究對象； (c) 求桿件內(nèi)力； (d) 所選節(jié)點的未知力數(shù)目不大于2，由此開始計算。 (2) 截面法 (a)一般先研究整體，求支座約束力； (b) 根據(jù)待求內(nèi)力桿件，恰當選擇截面（直截面或曲 截面均可）； (c) 分割桁架，取其一部分進行研究，求桿件內(nèi)力； (d) 所截桿件的未知力數(shù)目一般不大于3。試用截面法計算圖示桁架中指定桿件的內(nèi)力。思考題6-2思考題6-2參考答案：（取上半部分為研究對象可不求支座約束力）試計算圖示桁架中1、2桿的內(nèi)力。思考題6-3思考題6-3參考答案：6-2 軸力

7、和軸力圖 如上圖中軸向受力（作用于桿上的外力合力的作用線與桿的軸線重合）的桿件常稱為拉伸或壓縮桿件，簡稱拉壓桿。其主要變形是縱向伸長或縮短。 拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，由任一橫截面(m-m)一邊分離體的平衡條件可知，是與橫截面垂直的分布力，此分布內(nèi)力的合力稱為軸力。用符號 表示。 內(nèi)力的大小及指向只有將物體假想地截開后才能確定。 習慣上，把對應于伸長變形的軸力規(guī)定為正值（即分離體上的軸力其指向離開截面），對應于壓縮變形的軸力為負值（軸力的指向?qū)χ孛妫?當桿件軸向受力較復雜時，則常要作軸力圖，將軸力隨橫截面位置變化的情況表示出來。解：要作ABCD桿的軸力圖，則需分別將AB、BC、CD 桿的軸力求

8、出來。分別作截面1-1、2-2、3-3，如左圖所示。作軸力圖。 1-1截面處將桿截開并取右段為分離體，并設其軸力為正。則Fx= 0，-FN1 - 20 = 0例題 6-3FN1 = -20 kN 負號表示軸力的實際指向與所設指向相反，即為壓力。注意： 在作截面取分離體之前不允許應用力的可傳性原理，因為外力移動后就改變了桿件的變形性質(zhì)，并使內(nèi)力也隨之改變。如上例中D處的力若移到C處，則CD段的軸力為零了。但截開后，研究分離體在外力作用下的平衡時，可以應用力的可傳性原理。 于2-2截面處將桿截開并取右段為分離體，設軸力為正值。則Fx= 0，-FN2 + 20 - 20 = 0例題 6-3FN2 =

9、 0Fx= 0，-FN3 + 30 + 20 - 20 = 0FN3 = 30 kN軸力與實際指向相同。例題 6-3 作軸力圖，以沿桿件軸線的x 坐標表示橫截面的位置，以與桿件軸線垂直的縱坐標表示橫截面上的軸力 。 當然此題也可以先求A處的支座約束力，再從左邊開始將桿截開，并取左段為分離體進行分析。例題 6-3試作圖示桿的軸力圖。 思考題 6-4思考題6-4參考答案：思考題6-5 考慮圖示桿的自重，作其軸力圖。已知桿的橫截面面積為A，材料密度為r ，桿的自重為 。思考題6-5參考答案：6-3 扭矩和扭矩圖 桿件所受外力經(jīng)簡化后，主要是作用在垂直于桿軸線平面內(nèi)的力偶，其作用使桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)。 如上圖

10、所示，桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。其側(cè)面上原有的直線 ab 變?yōu)槁菪€ ab, 諸橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，例如B截面相對于A截面轉(zhuǎn)過一角度bOb。 為了分析橫截面上的內(nèi)力，取m -m截面。 由圖示任意橫截面m - m左邊一段桿的平衡條件可知，受扭桿件橫截面上的內(nèi)力是一個作用于橫截面平面內(nèi)的力偶。這一力偶之矩稱為扭矩，常用符號T 表示。 即T=Me 取(c)圖列方程可得相同的計算結(jié)果。扭矩的正負號由右手螺旋法則規(guī)定： 使卷曲右手的四指其轉(zhuǎn)向與扭矩T的轉(zhuǎn)向相同，若大拇指的指向離開橫截面，則扭矩為正；反之為負。扭矩圖：表示扭矩隨橫截面位置變化的圖線。 一傳動軸的計算簡圖如圖所示，作

11、用于其上的外力偶矩之大小分別是：MA=2 kNm , MB=3.5kNm，MC =1 kNm ，MD = 0.5 kNm，轉(zhuǎn)向如圖。試作該傳動軸之扭矩圖。 解：只要求出AB、BC、CD 段中任意橫截面上的扭矩，即可作出扭矩圖。例題 6-41-1截面：MA + T1 = 0得T1=MA= -2 kNm 分別作截面1-1、2-2、3-3，如右圖所示。考慮1-1截面例題 6-4例題 6-4同理得T2=1.5kNm , T3 = 0.5 kNm該傳動軸橫截面上的最大扭矩是多少？思考題6-6作桿的扭矩圖。思考題6-7思考題6-7參考答案 6-4 剪力和彎矩剪力圖和彎矩圖 梁：在外力作用下以彎曲為主要變形

12、的桿件。 彎曲：當桿承受的外力作用線垂直于桿軸線（有時不包括力偶）時，桿變形的主要現(xiàn)象是任意兩橫截面繞垂直于桿軸線的軸作相對轉(zhuǎn)動，同時桿的軸線彎成曲線。 為計算梁的應力和位移，首先應確定梁在外力作用下任一橫截面上的內(nèi)力。 由上圖可知，其橫截面上的內(nèi)力根據(jù)截面一邊分離體的平衡條件有：位于橫截面平面內(nèi)切向分布內(nèi)力的合力為剪力 和位于縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩為彎矩M。 圖中C是橫截面的形心。分析梁左段任意橫截面mm上的剪力，由Fy = 0 ，F(xiàn)A - FS = 0 得M = FA x =Fbx / lFS = FA 得 現(xiàn)分析如何求解剪力 和彎矩M。 也可取橫截面的右邊一段梁作為分離體計算，結(jié)果相同，但

13、稍復雜。正負號根據(jù)變形情況來確定。剪 力以使梁的微段發(fā)生左上右下的錯動者為正；反之為負。彎 矩以使梁的微段發(fā)生上凹下凸的變形，即梁的上部縱向受壓而下部縱向受拉時為正；反之為負。剪切變形演示彎曲變形演示 試求下圖所示懸臂梁之任意橫截面m -m 上的剪力和彎矩。思考題6-8思考題6-8參考答案：FS= - FM= - Fx(a)(b)FS= 0M=Me 試求圖示截面（1-1、2-2、3-3）上的剪力和彎矩。解：本題可從右邊開始求解，也可從左邊開始求 解。從右邊開始可先不求支座A處的約束力。 取右段分析，考慮1-1截 面，有Fy=0，F(xiàn)S1 - 2 =0，F(xiàn)S1 = 2 kN例題 6-5 取右段分析

14、，考慮2-2截面，有例題 6-5取右段分析，考慮3-3截面，有例題 6-5 為了驗證結(jié)果的正確性，可從左邊開始進行分析。先求A處的支座約束力，有 下面以左段為研究對象，分析3-3截面上的剪力和彎矩。例題 6-5此結(jié)果與取右段分析的結(jié)果相同。例題 6-5 從上例看到，梁的橫截面上的內(nèi)力，一般而言，在不同的橫截面上有不同的數(shù)值。因此有必要作出梁的內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖，以直觀地表示這些內(nèi)力隨橫截面位置變化的情況。從而為梁的強度計算與剛度計算提供重要的依據(jù)。解：取軸x 與梁的軸線重合，坐標原點取在梁的左端。以坐標 x 表示橫截面的位置。只要求得x 處橫截面上的剪力和彎矩，即可畫出其內(nèi)力圖。試作圖示梁的

15、剪力圖和彎矩圖。 例題 6-6 根據(jù)左段分離體的平衡條件便可列出剪力方程和彎矩方程。有FS(x)= - qx (0 xl)M (x)= - q x2/2 (0 xl)例題 6-6 右圖所示為一受滿布均布荷載的簡支梁，試作剪力圖和彎矩圖。解：此梁的支座約束力根據(jù)對稱性可知：FA=FB=ql/2 梁的剪力方程和彎矩方程分別為FS(x)=ql/2-qx (0 xl)M(x)=qlx/2-qx2/2 (0 x l)例題 6-7解：根據(jù)整體平衡，求得支座約束力FA=Fb/l, FB=Fa/l 梁上的集中荷載將梁分為AC 和CB 兩段，根據(jù)每段內(nèi)任意橫截面左側(cè)分離體的受力圖容易看出，兩段的內(nèi)力方程不會相同

16、。例題 6-8 圖示為一受集中荷載 作用的簡支梁。試作其剪力圖和彎矩圖。AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l-F = - Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l(axl)例題 6-8AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0 xa)(0 xa)FS(x)=Fb/l -F = - Fa/l(axl)M(x)=Fbx/l - F(x - a) =Fa(l-x)/l(axl)例題 6-8 從剪力圖上看到，在集中力作用處剪力發(fā)生突變，突變的值等于集中力的大小。 發(fā)生

17、這種情況是由于把實際上分布在很短區(qū)間內(nèi)的分布力，抽象成了作用于一點的集中 力。例題 6-8例題 6-8 若將集中力 看為Dx區(qū)間上均勻的分布荷載，如左圖所示，則在 Dx 梁段內(nèi)，剪力從Fb/l沿斜直線過渡到 - Fa/l，不存在突變現(xiàn)象。 簡支梁如圖所示。試作該梁的剪力圖和彎矩圖。解：先求支座約束力例題 6-9分段列出剪力方程和彎矩方程：AC段：CB段：FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2=-5x 2+1.8FS(x)= -FA = -2(0 x0.2 m)M(x)= -FA

18、 x= -2x(0 x 0.2 m)例題 6-9AC段：CB段：FS(x)= -2-10(x-0.2)= -10 x(0.2 m x 0.6m)(0.2 mx0.6 m)M(x)= -2x+2-10(x-0.2)2 /2=-5x 2+1.8FS(x)= -FA = -2(0 x0.2 m)M(x)= -FA x= -2x(0 x0.2 m)例題 6-9 由彎矩圖看到，在集中力偶作用處彎矩值發(fā)生突變，突變量等于集中力偶之矩。例題 6-9 通過以上四個例題的分析，你能否總結(jié)一些畫剪力圖和彎矩圖的規(guī)律嗎？（這個問題我們在第 9 章中將繼續(xù)討論）思考題6-9 試求圖示各指定的橫截面上的剪力和彎矩，并作其剪力圖和彎矩圖。思考題6-10思考題6-