1、倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創新能力的有效途徑下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”及后面的問題習題解答：習題 如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC=B=90，把ABE繞點A逆時針旋轉90至ADE，點F、D、E在一條直線上EAF=9045=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF習題研究觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是ABCD是四邊形，點

2、E、F分別在邊BC、CD上；AB=AD；B=D=90；EAF=BAD類比猜想：（1）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，B=D時，還有EF=BE+DF嗎？研究一個問題，常從特例入手，請同學們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當BAD=120，EAF=60時，還有EF=BE+DF嗎？（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，EF=BE+DF嗎？歸納概括：反思前面的解答，思考每個條件的作用，可以得到一個結論“EF=BE+DF”的一般命題：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上

3、，當AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，則EF=BE+DF（1）當BAD=120，EAF=60時，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由見解析；（2）當AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，EF=BE+DF成立理由見解析【解析】試題分析：（1）根據菱形的性質和EAF=60得到AB=AD，1+3=60，B=ADC=60，則把ABE繞點A逆時針旋轉120至ADE，如圖（2），連結EF，根據旋轉的性質得EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，則2+3=60，所以EAF=EAF，然后利用“SAS”證明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=12

4、0，則點F、D、E不共線，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）如圖（3），由于AB=AD，則把ABE繞點A逆時針旋轉BAD的度數至ADE，根據旋轉的性質得EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，由于B+D=180，則ADE+D =180，所以點F、D、E共線，利用EAF=BAD，得到1+2=BAD，則2+3=BAD，所以EAF=EAF，然后利用“SAS”證明AEFAEF，得到EF=EF，所以EF=DE+DF= BE+DF；根據前面的條件和結論可歸納為：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當滿足AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，則有EF=BE

5、+DF試題解析：（1）當BAD=120，EAF=60時，EF=BE+DF不成立，EFBE+DF理由如下：在菱形ABCD中，BAD=120，EAF=60，AB=AD，1+3=60，B=ADC=60，把ABE繞點A逆時針旋轉120至ADE，如圖（2），連結EF，EAE=120，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B=60，2+3=60，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，ADE+ADC=120，即點F、D、E不共線，DE+DFEFBE+DFEF；（2）當AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，EF=BE+DF成立理由如下：如圖（3），AB=AD，把AB

6、E繞點A逆時針旋轉BAD的度數至ADE，如圖（3），EAE=BAD，1=3，AE=AE，DE=BE，ADE=B，B+D=180，ADE+D=180，點F、D、E共線，EAF=BAD，1+2=BAD，2+3=BAD，EAF=EAF，在AEF和AEF中，AEFAEF（SAS），EF=EF，EF=DE+DF=BE+DF；歸納：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，B+D=180，EAF=BAD時，則EF=BE+DF考點：四邊形綜合題如圖，已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h1、h2、h3，ABC的高為h在圖（1）中，點P是邊BC

7、的中點，此時h3=0，可得結論：h1+h2+h3=h在圖（2），（3），（4），（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、ABC內、ABC外（1）請探究：圖（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之間的關系；（直接寫出結論）圖-中的關系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）證明圖（2）所得結論；（3）證明圖（4）所得結論；（4）（附加題2分）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，B=C=60，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h1、h2、h3、h4，橋形的高為h，

8、則h1、h2、h3、h4、h之間的關系為：h1+h3+h4=圖（4）與圖（6）中的等式有何關系（1）圖-中的關系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）由圖（2）有SABP+SACP=SABC根據等邊三角形的性質，及面積公式得出結論；（3）由圖（4）有SABP+SBCP+SACP=SABC，根據等邊三角形的性質，及面積公式得出結論；（4）延長BR、CS交于A，由（3）有h1+h3+h4=【解析】（1）圖-中的關系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（4分）（2）圖中，h1+

9、h2+h3=h證法一：h1=BPsin60，h2=PCsin60，h3=0，（6分）h1+h2+h3=BPsin60+PCsin60=BCsin60=ACsin60=h（8分）證法二：連接AP，則SAPB+SAPC=SABC（6分）又h3=0，AB=AC=BC，h1+h2+h3=h；（8分）證明：（3）圖中，h1+h2+h3=h過點P作RSBC與邊AB、AC相交于R、S（9分）在ARS中，由圖中結論知：h1+h2+0=h-h3h1+h2+h3=h（10分）說明：（2）與（3）問，通過作輔助線，利用證全等三角形的方法類似給分；（4）由（3）可知：h1+h3+h4=（11分）讓R、S延BR、CS延

10、長線向上平移，當n=0時，圖變為圖，上面的等式就是圖中的等式，所以上面結論是圖中結論的推廣（12分）提出問題：如圖,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,（其中n為奇數）,連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢？ 探究發現：為了解決這個問題,我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：(1)如圖：四邊形ABCD中,點E、F是AD的3等分點,點G、H是BC的3等分點,連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢？如圖,連接EH、BE、DH,因為EGH與EBH高相等,底的比是1:2,所以

11、SEGH=SEBH因為EFH與DEH高相等,底的比是1:2,所以SEFH=SDEH所以SEGH+SEFH=SEBH +SDEH即S四邊形EFHG=S四邊形EBHD連接BD,因為DBE與ABD高相等,底的比是2：3,所以SDBE=SABD因為BDH與BCD高相等,底的比是2：3,所以SBDH=SBCD所以SDBE +SBDH=SABD+SBCD =(SABD+SBCD)=S四邊形ABCD即S四邊形EBHD=S四邊形ABCD所以S四邊形EFHG=S四邊形EBHD=S四邊形ABCD=S四邊形ABCD（1）如圖：四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2

12、個,連接EG、FH,猜想：S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢 驗證你的猜想：（2）問題解決：如圖,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數）那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間的關系為： （不必寫出求解過程）（1）S四邊形EFHG=S四邊形ABCD,證明見解析；（2）S四邊形EFHG=S四邊形ABCD【解析】試題分析：仿照上面的探究思路,類比求解試題解析：（1）四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,S四邊形EFHG=

13、S四邊形ABCD,如圖：連接EH、BE、DH,因為EGH與EBH高相等,底的比是1:3,所以SEGH=SEBH因為EFH與DEH高相等,底的比是1:3,所以SEFH=SDEH所以SEGH+SEFH=SEBH +SDEH即S四邊形EFHG=S四邊形EBHD連接BD,因為DBE與ABD高相等,底的比是3：5,所以SDBE=SABD因為BDH與BCD高相等,底的比是3：5,所以SBDH=SBCD所以SDBE +SBDH=SABD+SBCD = (SABD+SBCD)=S四邊形ABCD即S四邊形EBHD=S四邊形ABCD所以S四邊形EFHG=S四邊形EBHD=S四邊形ABCD=S四邊形ABCD（2）在

14、四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數）那么S四邊形EFHG=S四邊形ABCD考點：三角形的面積圖1是兩個正方形紙片ABCD和CEFG疊放在一起，分別以BC邊所在直線和BC邊的中垂線為坐標軸建立如圖所示的坐標系，其中B（-2，0），E（2，），C（2，0），固定正方形ABCD，直線L經過AC兩點；將正方形CEFG繞點C順時針旋轉135得到正方形CE1F1G1，（1）在圖2中求點E1的坐標，并直接寫出點E1與直線L的位置關系（2）利用（1）的結論，將圖2中的正方形CE1F1G1在射線CA上沿著CA方向以每秒1個

15、單位的速度平移，平移后的正方形CE1F1G1設為正方形PQRH（圖3），當點R移動到點A停止，設正方形PQRH移動的時間為t秒，正方形PQRH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數解析式，并寫出函數自變量t的取值范圍（3）在（2）的條件下，如果S=1時，過BP的直線為m，M點為直線m上的動點，N為直線L上的動點，那么是否存在平行四邊形MNBC，如果存在，請求出M點的坐標，如果不存在，請說明理由（1）CEFG是邊長是的正方形，則CE1F1是等腰直角三角形，直角邊長是，則E1的坐標即可求解，E1與AC在一條直線上；（2）分0t，當t，t3，3t，4t5五種情況利用三角形的面

16、積公式即可求解；（3）在（2）中所求的解析式中，利用S=1，即可求得t的值，從而確定P的坐標，則直線m，l的解析式即可求得，四邊形MNBC是平行四邊形時，M、N的縱坐標一定相等，橫坐標的差等于BC的長，據此即可得到一個關于縱坐標的方程，解方程即可求得M、N的縱坐標，進而得到坐標【解析】（1）由E點坐標可知正方形CEFG邊長，那么其對角線CF長度為2，正方形CEFG繞點C順時針旋轉135 后CE與x軸夾角為45，C坐標（2，0），那么E1坐標為（3，-1），E1在直線L上（2）當0t時，S=t2；當t時，S=-t2+2t-2；當2t3時，S=2；當3t4時 S=-t2+3t-7；當4t5時，S=

17、t2-5t+25；（3）S=1時，當t時，解t2=1，解得：t=；當t時，解2-（2-t）2=1，解得：t=或3，（舍去）；當t時，解（4-t）2=1，解得：t=3或5（5不合題意，舍去）則t=或31）當t=時，那么P位于CD中點處，P的坐標是：（2，2），設直線m的解析式是y=kx+b，則，解得：則直線m表達式，直線L表達式y=-x+2設MN的縱坐標是a，則在中，令y=a，解得：x=2（a-1），則M的橫坐標是2（a-1）；在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標是：（2-a）根據BC=4，則：2（a-1）-（2-a）=4，解得：a=，把y=代入中，解得：x=則M的坐標為2）當

18、t=3時，P是AD與y軸的交點，則P的坐標是：（0，4）設直線m的解析式是y=kx+b，則，解得：，則m的解析式是：y=2x+4同1）方法相同，設MN的縱坐標是a，則在y=2x+4中，令y=a，解得：x=（a-4），則M的橫坐標是（a-1）；在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標是：（2-a）根據BC=4，則：（a-4）-（2-a）=4，解得：a=，把y=代入y=2x+4中，解得x=-則M的坐標是：（-，）故M的坐標是：（，）或（-，）請嘗試解決以下問題：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足EAF=45，連接EF，求證DE+BF=EF感悟解

19、題方法，并完成下列填空：將ADE繞點A順時針旋轉90得到ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB=AD，BG=DE，1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=90+90=180，因此，點G，B，F在同一條直線上EAF=452+3=BAD-EAF=90-45=451=2，1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF（2）運用（1）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，ADBC（ADBC），D=90，AD=CD=10，E是CD上一點，且BAE=45，DE=4，求BE的長（3）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全

20、等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，BAC=AGF=90，若ABC固定不動，AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉過程中，等式BD2+CE2=DE2始終成立，請說明理由（1）利用角之間的等量代換得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）過A作AGBC，交BC延長線于G，由正方形的性質得出CG=AD=10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；（3）運用旋轉性質和勾股定理判斷說明等式成立【解析】（1）根據等量代換得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF=EF，故答案為：FAE；EA

21、F；GF；（2）過A作AGBC，交CB延長線于G在直角梯形ABCD中，ADBC，C=D=90，又CGA=90，AD=CD，四邊形AGCD為正方形CG=AD=10已知BAE=45，根據（1）可知，BE=GB+DE設BE=x，則BG=x-4，BC=14-x在RtBCE中，BE2=BC2+CE2，即x2=（14-x）2+62解這個方程，得：x=BE=；（3）證明：如圖，將ACE繞點A順時針旋轉90至ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，ABH=C=45，旋轉角EAH=90連接HD，在EAD和HAD中，AE=AH，HAD=EAH-FAG=45=EAD，AD=ADEADHAD，DH=DE，又HBD=A

22、BH+ABD=90，BD2+HB2=DH2，即BD2+CE2=DE2（11分）如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點同樣，點D也是A，B兩點的勾股點（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm動點P從D點出發沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動設運動時間為t（s），點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上當t=4時，求PH的長探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，或線段CD的中點就是A，B兩點在C