1、 Lecture 2 沖擊與碰撞質心運動定理根據質心的定義，并微分質點系質心系質心的運動好象是一個質點的運動，這個質點的質量等于整個系的質量，受到的力是所有外力的主向量。 質心運動定理在平均意義上考慮質點系的運動，并大大簡化了對剛體運動的處理。根據質點系的動量定理外力系的主矢量定義質心的速度質心運動定理：舉例m甲m乙r乙r甲rC飛石索的運動飛石索質心的運動軌跡總是一條拋物線。爆竹、煙花等雖然可以展現豐富多彩的景象，但其在平均意義上的軌跡方程是簡單的。質心運動定理：舉例電機總質量為M：轉動部分（轉子）的質量為m。轉子的質心偏離中心軸O的偏心距為e。假定電機固定部分的質心近似地在轉動軸上。電機的轉

2、速為勻速，且角速度為。電機放在水平地面上。分析電機轉動時地面對電機提供的約束反力。exymgO(M-m)gPPxPy質心運動定理：舉例分析對象：電機中的固定部分+轉子質點系的質心位置應用質心運動定理分量形式物理或工程意義討論：當e或較大時，Py可能出現負值，需要提供可承受拉力的部件。水平方向如果僅受靜摩擦的作用，要求的條件為有水平振動的條件為兩體問題兩體問題：將各個星體之間的相互作用忽略，僅考慮太陽對星體的相互作用，這樣行星的運動可以看做一個兩個質點相互作用的孤立系統。分析內容：是否可以將太陽作為慣性參考系，建立其它行星的運動方程？（將兩體問題轉化為單體問題）應用： 航天工程中的某些軌道動力學

3、問題的分析，粒子的散射等Mm兩體的質心C質心平動參考系rmrM兩體問題Mm兩體的質心C質心平動參考系rmrM建立質心平動參考系。質點m到質心C的位置矢量為：其中：r為M到m之間的矢量。兩質點之間的相互作用力為f. 定義：則即為當以太陽作為不動點參考系時，考慮地球在萬有引力作用下的折合質量。由于地球的質量遠遠小于太陽的質量，所以，可近似認為=1質心平動參考系為慣性參考系，質點m的動力學方程為粒子的散射rcrv1設質量為m1的質點以速度v1被一質量為m2的靜止質點散射。受與距離平方呈反比的排斥力的作用，在質心坐標系中觀測，粒子的散射角度為c求：實驗室坐標系:靜止坐標系，r粒子的散射建立質心平動參考

4、系。質心的速度方向必定沿v1的方向。質心平動參考系m1m1m2m2V1V2V2V1c質點1相對質心平動參考系的速度V1質點2相對質心平動參考系下的速度V2在質心參考坐標系中，動量守恒。故散射后質點1和2的速度方向必定沿相反方向。粒子的散射在實驗室參考系。質點1散射前后的速度為v1， v1質點2散射前后的速度0， v2m1m1m2m2v1實驗室坐標系v2v1rVv1V1cr兩種坐標系下的速度關系：寫成分量形式后，可得到粒子的散射實驗室坐標系xm1rcm2Cr2r1ry根據質心的定義，有如下關系對上式微分散射后，當兩質點遠離到無引力場的作用時，因系統是保守的，這時兩質點相對速度的大小必定與其起始時

5、兩粒子的相對速度的大小相等。即：則機械能守恒條件導致的結果。由于質心速度則散射過程，在機械能保持守恒的條件下，能夠使動能轉移。Review for the last course質點系： 質點系：離散系統，連續系統。 關聯作用的不同，構成了具有不同性態的基本模型（本構方程）。 剛體是由質點之間相對位置保持不變的無限多質點構成的一組特殊的質點系統。 質點系內力的兩個性質所有內力的主向量為零所有內力對某一共同點的主矩等于零質點系的動量定理（在整體上把握系統運動的特征）微分形式積分形式質心運動定理 質心的定義（加權平均意義上的處理）沖擊力沖擊力的概念：一個力對作用時間的平均大小比常規力大幾個數量級，

6、作用時間比常規力的作用時間小幾個數量級，而沖量具有常規量的數量級。數學表述的工具（廣義函數）函數（Dirac函數）廣義脈沖函數數學上的廣義系統：微分方程中包含函數的微分動力系統。廣義函數的微分和積分運算.設存在如下的一個分段連續函數廣義函數及其導數對函數F(x)分段微分xf(x)1/Heaviside函數Step fucntion同連續函數中極限的概念類似，令0。則分段函數F(x)將收斂到單位階躍函數I(x)脈沖函數（函數）： 函數f(x)將收斂到函數1(x)與(x)函數之間的關系11(x)xHeaviside函數：(x)x函數:廣義函數利用基本函數1(x)及(x)，我們便可以對一類具有分段連

7、續的函數定義相關的微分和積分運算。用廣義1(x)來表示函數yx-23yx2-23+(x+2)x2-3-(x-2)+函數y的導數為：沖擊力的數學表示tF+面積I力F 在時間間隔內的沖量：在趨于零時，沖擊力可以表示為：根據動量定理的積分形式可以看出，動量的變化量來源于沖量。即力和時間的共同作用，才是導致質點系體的運動發生改變的重要因素。因此，在分析系統受沖擊力作用時，沖量的概念具有重要的意義。tF0沖擊問題分析問題：設質量為m的質點同時受到常規力F常和沖擊力F(t)=I(t-)的作用，試分析質點受到沖擊作用前后的運動情況。根據質點動量定理則有積分可得沖擊力使質點的速度發生改變沖擊過程引起的位移變化

8、是小量。常規力的作用可以忽略不計，沖擊過程將在速度水平上改變質點的運動效果。沖擊過程中對質點位移的改變很小，可以忽略不計。以上這些基本的結論構成了處理具有多尺度問題的數學描述手段。沖擊問題舉例 質量為m的質點由彈簧豎直懸掛著處于平衡狀態，彈簧常數為k。給質點一個豎直向下的打擊，其沖量大小為I，求:質點受打擊后的運動。 沖擊問題舉例受力分析沖擊力重力彈簧拉力動力學微分方程對沖擊過程在時間間隔t=-0,+0積分沖擊后的運動微分方程坐標原點的選?。浩胶馕恢梦⒎址匠痰慕鉃橘|點的沖擊過程如同給彈簧質量系統施加一個初始條件。舉例:內沖擊光滑水平面上有兩個小球，質量均為m。它們用一條不可伸長的繩子相連，繩長

9、l。開始時兩小球緊挨著，設小球1獲得一初速u并設當繩子被拉直以后兩球的速度相等。分析兩個小球的運動和繩的張力。舉例:內沖擊假設：柔索的不可伸長約束和單邊受拉性質。碰撞后兩球的速度相等。動力學過程分析：具有分段和非連續特征。Phase 1: t =l/u; 質點系內部質點保持原有的運動形式不變。Phase 2: t= =l/u; 繩子張緊，設張緊過程具有微小的時間間隔-0, +0。沖擊后保證兩質點之間滿足繩索約束。Phase 3: 沖擊后，兩球將保持相同的速度運動（假設繩索的剛性約束一直保持，但繩中的拉力為零。）故根據動量守恒有單個小球的沖量：T=mu(t-)/2內力：舉例:內沖擊沖擊過程中的能

10、量變化：沖擊前的動能：沖擊后的動能內力對1球做的功內力對2球做的功注意：內力雖然不改變質點系統的動量，但會做功。Comments:題目中給定的沖擊后兩球速度相等的條件是一個很強的假定。事實上，該問題同兩球的碰撞問題非常相似。舉例:質點串的沖擊三個質點A，B和C，質量分別為m1，m2和m3，用拉直而不可伸長的繩子AB和BC相連，靜止地安放在光滑水平面上，角ABC為(-)， 是銳角。對質點C施加一沖擊力，其沖量大小為I，方向沿BC。求：質點B運動的方向與AB的夾角 質點A的速度 舉例:質點串的沖擊ij沖擊過程分析：沖擊后A點的速度方向沿AB方向；沖擊后C點的速度方向沿BC方向兩個約束方程：沖擊結束

11、時，質點A和質點B之間沿繩長方向無相對速度：質點B和質點C之間沿繩長BC方向無相對速度。設打擊后A點的速度為u1,C點的速度為u3, B點的速度為(u2, v2)對質點系應用動量定理：根據以上四個方程Discussion:解題過程中給出的兩個運動學補充條件是過強的假設。碰撞碰撞過程的特征（Impact or Collision） 接觸點處存在強的相互作用；常規力可忽略不計構型不變速度突變系統分析：碰撞過程中的沖擊力為內力，因此動量守恒。碰撞根據接觸面的相互作用，顯然需要在接觸點處沿法向和切向分別提供獨立的物理方程。切向方向：對干摩擦接觸，滿足庫倫摩擦定律法線方向：需根據材料的性質提供相關的物性

12、方程。法向物性方程的討論（經典碰撞動力學理論）：考慮碰撞過程可能激發的能量耗散現象，歷史上通常采用恢復系數(coefficient of restitution)的概念進行描述。牛頓恢復系數特點：利用碰撞前后相對速度的變化量來反映碰撞過程中的能量耗散現象。碰撞Poisson恢復系數：認為碰撞過程可以分為兩個階段：壓縮階段和恢復階段。壓縮階段的法向沖量為I1，恢復階段的法向沖量為I2。特點：根據壓縮和恢復階段沖量大小的比值來反映碰撞過程中的能量耗散。能量恢復系數：仍將碰撞過程分為兩個階段，壓縮和恢復。設壓縮階段法向沖擊力所做的功（負功）為Wc,恢復階段法向沖擊力所作的功（正功）為WR。三種恢復系

13、數的等價性三種不同的恢復系數，在處理兩個光滑質點碰撞過程中的統一性。壓縮階段與恢復階段轉化點的條件為：兩質點在壓縮階段結束時的相對速度為零，即這一瞬時，兩質點具有共同的速度V.根據動量定理，壓縮階段的沖量方程可表示為恢復階段的沖量方程可表示為由以上公式，可得顯然有三種恢復系數的等價性根據動量定理存在如下的動力學方程根據沖量的定義，在時間間隔0, 內的沖量為由于F總大于零，故p一定是單值函數。故上式可表示為如下的微分形式。因此，質點1和 2的動力學方程可表示為如下對新的微分變量dp的微分方程積分三種恢復系數的等價性壓縮階段結束時刻，內部沖擊力所做的功設整個碰撞過程的總沖量為I，碰撞過程內力所做的功恢復階段內部法向沖擊力所做