1、濾波器基本原理和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器的原理及分類常用模擬濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其信號(hào)流圖內(nèi)容提要數(shù)字濾波器屬于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的范疇。它具有穩(wěn)定性好、精度高、靈活性大等突出優(yōu)點(diǎn)。本章主要介紹濾波器的原理及分類、常用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法及數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)第一節(jié) 濾波器的原理及分類濾波器基本概念一濾波器分類 二數(shù)字濾波器技術(shù)要求三一、濾波器基本概念濾波器可以用描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示，如圖6-1所示。圖6-1 濾波器的時(shí)域輸入輸出關(guān)系一、濾波器基本概念若x(n)，y(n)的傅里葉變換存在，則輸入輸出的頻域關(guān)系為： 在時(shí)域中輸入輸出關(guān)系用公式表示為二、濾波

2、器分類 根據(jù)濾波器所處理的信號(hào)不同:主要分模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式。從功能上分類:濾波器可以分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖6-3所示。 圖6-3 各種理想濾波器的幅頻特性 二、濾波器分類從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位沖激響應(yīng)分類:數(shù)字濾波器可以分成無限脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器和有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器。它們都是典型線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)分別為(6-1)(6-2) 三、數(shù)字濾波器技術(shù)要求常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 用下式表示 選頻濾波器的技術(shù)要求一般由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求，但如果對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相

3、頻特性的技術(shù)指標(biāo)，例如在語音合成、波形傳輸、圖像信號(hào)處理等應(yīng)用場(chǎng)合。如果對(duì)輸出波形有嚴(yán)格要求，則需要設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器。 三、數(shù)字濾波器技術(shù)要求圖6-4 低通濾波器的技術(shù)要求第二節(jié) 常用模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器按幅頻特性可分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻帶變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。下面先介紹模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法，然后再介紹模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法。 主要內(nèi)容巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法一切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法 二模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)三一、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波

4、器的幅度平方函數(shù)用下式表示 （6-8） 下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，幅度下降的速度愈快，過渡帶愈窄。幅頻特性和N的關(guān)系如圖6-5所示。 一、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法圖 6-5 巴特沃斯幅頻特性和N的關(guān)系一、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下1）據(jù)技術(shù)指標(biāo) 、 、 和 ，用式（6-18）求出濾波器的階數(shù)N。2）按照式（6-14），求出歸一化極點(diǎn) ， 將代入式（6-13），得到歸一化傳遞函數(shù) 。也可以根據(jù)階數(shù)N，直接查表6-1，得到極點(diǎn) 和歸一化傳遞函數(shù) 。 一、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法3）將 去歸一化。將 代入 ，得到實(shí)際的濾波器傳遞函數(shù) 。其中3dB截止頻率 ，

5、如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出，可以按照式（6-19）或式（6-20）求出。 一、巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)方法圖6-7 例6-1幅頻特性曲線二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法 切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性，可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。它有兩種型式：幅頻特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫型濾波器；幅頻特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫II型濾波器。采用何種型式切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際用途。 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖6-8分別畫出了階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫I型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用表示（6-21） 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法

6、圖 6-8 切比雪夫型濾波器幅頻特性二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為（6-23） 圖 6-9 N=0，4，5切比雪夫多項(xiàng)式曲線二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖 6-10 切比雪夫型與巴特沃斯低通的曲線二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖 6-11 三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： (1)確定技術(shù)要求 、 、 和 , 是 時(shí)的衰減系數(shù)， 是 時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)椋?-35） （6-36） 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法(2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)(3)求歸一化傳遞函數(shù)二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法為求 ，先按照式（6-29）求

7、出歸一化極點(diǎn) ，i1，2，N。（6-41） 將極點(diǎn) 代入式（6-33）得(4)將 去歸一化，得到實(shí)際的 ，即（6-42） 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法例6-2 設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率 ，通帶最大衰減 ，阻帶截止頻率 ，阻帶最小衰減 。解： 1)濾波器的技術(shù)要求， ， ， 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法2)求階數(shù)N和，取N53)求 二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法 由式（6-41）求出N5時(shí)的極點(diǎn) ，代入上式，得到4)將 去歸一化，得二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法在MATLAB中，可以利用函數(shù)cheblap設(shè)計(jì)切比雪夫I型低通濾波器。Cheblap的語法為： z,p,k=cheblap

8、(n,rp)，其中n為濾波器的階數(shù)，rp為通帶的幅度誤差。返回值分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。對(duì)于例題6-2可以通過如下MATLAB程序完成。二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法stoprad=12000;passgain=0-1;stopgain=60;t1=sqrt(10(0-1*passgain)-1);t2=sqrt(10(0-1*stopgain)-1);n=ceil(acosh(t2/t1)/acosh(stoprad/passrad);z,p,k=cheb1ap(n,passgain);syms ra passrad=3000;hs1=k/(i*rad/passrad-p(1)/(i*

9、rad/passrad-p(2)/(i*rad/passrad-p(3)/ (i*rad/passrad-p(4)/(i*rad/passrad-p(5);hs2=10*log10(abs(hs1)2);ezplot(hs2,-12000,12000);grid on;二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法得到濾波器的歸一化極點(diǎn)位置為：濾波器的增益系數(shù)： 得到的濾波器的幅頻特性曲線如圖6-12所示，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。二、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法圖6-12 例6-2幅頻特性曲線三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻濾波器的傳遞函數(shù)可以通過頻率變換，分別由低通濾波器的傳遞函數(shù)求

10、得，因此不論設(shè)計(jì)哪一種濾波器，都可以先將該濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，按照該技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率變換，將低通的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成所需類型的濾波器的傳遞函數(shù)。為了防止符號(hào)混淆，先規(guī)定一些符號(hào)如下假設(shè)低通濾波器的傳遞函數(shù)用G(s)表示， ；歸一化頻率用 表示， ，p稱為歸一化拉氏復(fù)變量。三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)所需類型（例如高通） 濾波器的傳遞函數(shù)用 H(s)表示， ；歸一化頻率用 表示， ， q稱為歸一化拉氏變量， H(q)稱為歸一化傳遞函數(shù)。 圖 6-13 低通與高通濾波器的幅度特性三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的

11、設(shè)計(jì)（一）低通到高通的頻率變換 設(shè)低通濾波器的 和高通濾波器 的幅度特性如圖6-13所示。圖中 、 分別稱為低通的歸一化通帶截止頻率和歸一化阻帶截止頻率， 和分別稱為高通的歸一化通帶下限頻率和歸一化阻帶上限頻率。下面通過 和 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，推出其頻率變換。由于 和 都是頻率的偶函數(shù)，可以將 右邊曲線和 曲線對(duì)應(yīng)起來，低通的 從 經(jīng)過 和 到0時(shí)，高通 的則從0經(jīng)過 和 到 ，因此 和 之間的關(guān)系為（6-43） 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通 ，則高通 用下式轉(zhuǎn)換 （6-44） 低通和高通的邊界頻率也用式（6-43）轉(zhuǎn)換。模擬

12、高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下（1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 通帶下限頻率 ，阻帶上限頻率 ，通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減 。三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)（2）確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)按照式（6-43），將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為： 1）低通濾波器通帶截止頻率 ； 2）低通濾波器阻帶截止頻率 ； 3）通帶最大衰減仍為 ，阻帶最小衰減仍為 。(3）設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G（p）。（4）求模擬高通的H（s）。將G（p）按照式（6-44），轉(zhuǎn)換成歸一化高通H（q），為去歸一化，將 代入H（q）中，得三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、

13、帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成模擬高通的轉(zhuǎn)換公式。例6-3 設(shè)計(jì)高通濾波器， 200Hz， 100Hz，幅度特性單調(diào)下降， 處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減 15dB。解：1）高通技術(shù)要求 200Hz， 3dB 100Hz， 15dB（6-45） 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)歸一化頻率， 2）低通技術(shù)要求 1， 3dB，15dB3）設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)4）求模擬高通H（s），取N3 式中 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)（二）低通到帶通的頻率

14、變換低通與帶通濾波器的幅頻特性如圖6-14所示。圖中 和 分別稱為帶通濾波器的通帶上限頻率和通帶下限頻率；令B ，稱B為通帶帶寬，一般用B作為歸一化參考頻率。 和 分別稱為下阻帶上限頻率和上阻帶的下限頻率。另外定義 ，稱 為通帶的中心頻率，歸一化邊界頻率用下式計(jì)算 ， ， 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)現(xiàn)在將低通和帶通的幅頻特性對(duì)應(yīng)起來，得到 和 的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表6-2所示。圖 6-14 帶通與低通濾波器的幅頻特性表6-2 和的對(duì)應(yīng)關(guān)系三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)由 和 的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，得（6-46） 由表6-2知 對(duì)應(yīng) ，代入上式中，有式（6

15、-46）稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將低通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成帶通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于將式（6-46）代入上式，得到 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)將 代入上式，得到為去歸一化，將qs/B代入上式，得到（6-47） 因此 （6-48） 上式就是歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。 三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下（1）確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 帶通上限頻率 ，帶通下限頻率 ； 下阻帶上限頻率 ，上阻帶下限頻率 ； 通帶中心頻率 ，通帶寬度 。 與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界

16、頻率如下： ， ， ， ， 還需確定的技術(shù)指標(biāo)有：通帶最大衰減 ，阻帶最小衰減 。三、模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)（2）確定歸一化模擬低通技術(shù)要求 取 和 的絕對(duì)值較小的 ；通帶的最大衰減為 ，阻帶最小衰減為 。（3）設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。（4）由式（6-51）直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。， ， 第三節(jié) 數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其信號(hào)流圖數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)首先就是根據(jù)給定技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)或單位取樣響應(yīng)h(n)，然后再選擇一定的運(yùn)算結(jié)構(gòu)將它轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)字系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)，不管它有多么復(fù)雜，它所包含的基本運(yùn)算只有三種，即乘法、加

17、法和單位延遲。數(shù)字濾波器就是這三種基本運(yùn)算單元按照一定的算法步驟連接起來，而構(gòu)成一定的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)的。信號(hào)流圖是表達(dá)數(shù)字濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較好的一種方法。圖6-16給出了數(shù)字濾波器中三種運(yùn)算單元的信號(hào)流圖。利用這些基本運(yùn)算單元,可以方便地畫出差分方程對(duì)應(yīng)的流圖。例如表征一簡(jiǎn)單的一階FIR數(shù)字濾波器的差分方程為y(n)=x(n)+ax(n-1),其對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖6-17所示。表征最簡(jiǎn)單的一階IIR數(shù)字濾波器的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1),其對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖如圖6-18所示。圖6-16 基本運(yùn)算的信號(hào)流圖圖6-17 一階FIR數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖圖6-18 一階IIR數(shù)字濾波器的信

18、號(hào)流圖 主要內(nèi)容 IIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一 FIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)二一、 IIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)于特定的數(shù)字濾波器,表征它的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)是唯一的,但由那些基本運(yùn)算構(gòu)成的算法可以有很多種。例如, 可以寫成 + ,也可寫成 。一、 IIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)盡管它們是同一系統(tǒng)函數(shù),但具體算法卻不同,因此對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也不同。不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將有不同的運(yùn)算誤差、穩(wěn)定性、運(yùn)算速度,所以網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也是數(shù)字濾波器研究的重要內(nèi)容之一。IIR數(shù)字濾波器具有下列特點(diǎn):單位沖激響應(yīng)h(n)具有無限時(shí)寬,即其延伸到無限長;系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限Z平面(0|Z|0處收斂，且有（N1）階

19、極點(diǎn)在z0處，有（N1）個(gè)零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。因此FIR濾波器的結(jié)構(gòu)主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分。FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)形式。(-)直接型由于表征FIR數(shù)字濾波器的差分方程為 （6-60） 二、 FIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)據(jù)此可以直接畫出其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它是x(n)延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)，如圖6-28所示，稱之為直接型結(jié)構(gòu)，也可稱之為卷積型或橫截型結(jié)構(gòu)，也可畫成圖6-29的結(jié)構(gòu)。圖6-29和圖6-28互為轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)。圖6-28 FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)圖6-29 FIR數(shù)字濾波器直接結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置二、 FIR數(shù)字濾波

20、器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（二）級(jí)聯(lián)型如將H(z)寫成二階因式的乘積即可得FIR的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。（6-61） N/2表示取整，若N為偶數(shù)，則N1為奇數(shù)，故系數(shù) 中有一個(gè)為零，因?yàn)檫@時(shí)有奇數(shù)個(gè)根。與式（6-61）對(duì)應(yīng)得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表示于圖6-30中，（N為奇數(shù)）圖中每一個(gè)二階因子都用直接型實(shí)現(xiàn)，其優(yōu)點(diǎn)是零點(diǎn)便于調(diào)整，因?yàn)檫@種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)；缺點(diǎn)是其所需的乘法次數(shù)比卷積型多，因?yàn)橄禂?shù) 的個(gè)數(shù)比系數(shù)h(n)的個(gè)數(shù)多。二、 FIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖6-30 FIR數(shù)字濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)二、 FIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（三）線性相位型FIR數(shù)字濾波器最重要的特點(diǎn)是可以設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格的線性相位，這時(shí)它的單位沖激響應(yīng)有如下特性 偶對(duì)稱 （6-62） 奇對(duì)稱 因此，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)（6-63） 二、 FIR數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)（6-64）式（6-63）意味著實(shí)現(xiàn)直接形式網(wǎng)絡(luò)需N/2次乘法，而式（6-64）則僅需（N1）/2次乘法，它們都不像直接型結(jié)構(gòu)那樣需要N次乘法，圖6-31a、 b分