1、1第 3 章 功與能量共七十一頁2第 3 章 功與能量(nngling)3.1 功 質點(zhdin)動能定理3.2 保守力 非保守力 耗散力3.3 質點在保守力場中的勢能3.4 質點系的勢能3.5 功能原理 能量守恒定律共七十一頁3一、功 功是度量能量(nngling)轉換的基本物理量，它描寫了力對空間的積累效應。變力的功：焦耳(jio r)（J）恒力的功：3.1 功 質點動能定理共七十一頁4直角坐標(zh jio zu bio)系：自然(zrn)坐標系： 與參照系無關，位移與參照系有關，故 A與參照系有關。1. 一般情況下，功與力和路徑有關.說明共七十一頁5SSoo(t1)ABuo(t2)

2、位移(wiy)與參照系有關共七十一頁64. 平均功率瞬時功率瓦特(wt)(W)=(J/s)3.質點(zhdin)所受合力的功等于各分力的功的代數和。共七十一頁7解：變力恒力 曲線運動(q xin yn dn) 例3-1 小球在水平變力 作用下緩慢移動，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態，直到繩子與豎直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。ml共七十一頁8二、質點(zhdin)的動能定理設質點m在力的作用(zuyng)下沿曲線從a點移動到b點總功：ba元功：共七十一頁9質點(zhdin)的動能定理：合外力(wil)對質點所做的功等于質點動能的增量。說明3. 應用：1. 合外力的功是

3、動能變化的量度。與參考系有關，動能定理只在慣性系中成立。2.4. 微分形式：共七十一頁10例3-2 質量 m 長 l 的均勻鏈條，一部分放在光滑桌面上, 另一部分從桌面邊緣下垂, 下垂部分長 b ，假定(jidng)開始時鏈條靜止，求鏈條全部離開桌面瞬間的速度。解法(ji f)一 由動能定理xO共七十一頁11 由牛頓定律a也可由機械能守恒定律計算(j sun)。解法(ji f)二a共七十一頁12上次課主要(zhyo)內容變力的功質點(zhdin)的動能定理共七十一頁13LxoLsx傳送機滑道水平平臺例3-3 柔軟勻質物體以初速v0 送上平臺，物體前端在平臺上滑行 s 距離(jl)后停止。設滑道

4、上無摩擦，物體與臺面間的摩擦系數為 ，且 s ，求初速度v0 。解：共七十一頁14由動能定理(dn nn dn l)：思考(sko)：試用牛頓定律再求解。共七十一頁15例3-4 有三個相同的物體分別沿斜面(ximin)、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距離都相同，為 h 和 l ，與物體的摩擦系數均為。 試分析哪個面上的物體滑到地面時速度最大? (1)解：(1)(2)(3)共七十一頁16(2)(3)最大(1)(1)(2)(3)END共七十一頁17作業(zuy): 第 2 章 P72 2-7，2-9 第 3 章 P102 3-2，3-3, 3-5共七十一頁18一、幾種(j zhn)常見力的功1.

5、 重力(zhngl)的功 重力作功只與質點的起始和終了位置有關， 而與所經過的路徑無關。dzdxzz1z2abmxO3.2 保守力 非保守力 耗散力共七十一頁192. 萬有引力(wn yu ynl)的功 設質量為M的質點固定(gdng)，另一質量為m的質點在M的引力場中從a點運動到b點。dr 萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，而與路徑無關。rbraabMm共七十一頁203. 彈性力的功 彈性力作功只與質點的起始和終了位置(wi zhi)有關，而與質點運動的路徑無關。xmx2x1baOx共七十一頁21abOr4. 回旋(huxun)力的功O：為橫向單位矢量路徑(ljng)1： 圓弧ab A=

6、0 回旋力做功與路徑有關！路徑2：回旋力：共七十一頁225. 摩擦力的功 ab 摩擦力做功與路徑(ljng)有關！共七十一頁23 二、保守力 非保守力 和耗散力 abcd保守力：作功與路徑無關，只與始末(shm)位置有關的力。 保守力沿任何閉合(b h)路徑作功等于零。作功不僅與始末位置有關，還與路徑有關的力。如：重力，引力，彈性力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：而(一對)摩擦力作功始終是負的，又稱為耗散力。共七十一頁24 有心力： 有心力一定(ydng)是保守力。判據(pn j) 如： 引力 靜電力是非保守力。是保守力。任意閉合路徑共七十一頁25解： 例 已知 , C點坐標為(2，1)。

7、 求： (1) 的功 a. 沿路徑 OACb. 沿路徑 OBCc. 沿路徑 OC (2) 是否為保守力?(1)xOABC(2, 1)y共七十一頁26(2) 非保守力，因為(yn wi)做功與路徑有關。xOABC(2, 1)y共七十一頁27一、勢能(shnng)的引入與物體(wt)的位置相聯系的系統能量稱為勢能（Ep）。保守力的功是勢能變化的量度： 物體在保守力場中a，b兩點的勢能Epa， Epb 之差等于質點由a點移動到b點過程中保守力做的功Aab。 保守力的功等于系統勢能的減少。3.3 質點在保守力場中的勢能共七十一頁28彈性(tnxng)勢能重力勢能(zhn l sh nn)引力勢能如：共

8、七十一頁29 空間某點的勢能Ep在數值上等于(dngy)質點從該點移動到勢能零點時保守力作的功。 勢能的大小(dxio)只有相對的意義，相對于勢能零點而言。勢能零點可以任意選取。 勢能屬于相互作用是保守力的質點系統。說明 設空間 點為勢能零點，則空間任意一點 的勢能為：共七十一頁30例3-6 已知地球半徑 R，物體質量 m，處在地面 2R 處。求勢能:（1）地面為零勢能點；（2）無限(wxin)遠處為零勢能點。解：共七十一頁31例3-7 輕彈簧原長l0 ，勁度系數為k，下端懸掛質量為m的重物。已知彈簧重物在O點達到平衡，此時彈簧伸長了x0 ，現取x 軸向下(xin xi)為正，原點位于： (1

9、) 彈簧原長位置；(2)力的平衡位置。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，分別計算重物在任一位置 P 時系統的總勢能。解：(1) 以彈簧(tnhung)原長點O 為坐標原點，系統總勢能： xmOOPx0 x共七十一頁(2) 重力與彈性力合力(hl)的平衡位置O點可由下式確定： 以O點為重力勢能和彈性(tnxng)勢能的勢能零點時，任意位置 x 處的系統總勢能為：xmOOPx0 x若以O點為原點，則上式可改寫為：32共七十一頁33二、保守力與勢能(shnng)的關系1. 積分(jfn)關系2. 微分關系共七十一頁34矢量(shling)式：稱梯度(t d)算子。共七十一頁35例3-8 已知勢

10、能(shnng)函數， 求保守力。解：共七十一頁36三、勢能(shnng)曲線oz重力勢能曲線(qxin) 引力勢能曲線(qxin) 彈性勢能曲線(qxin)ox 雙原子分子的勢能曲線：oror共七十一頁37解：而Fx=0 ( x 0 ) ( 0 x a )例 3-9 已知一帶正電的點電荷在某電場中的電勢(dinsh)能曲線如圖所示，OA段為拋物線，且 x= a 處 Ep=E0，若點電荷的總能量為 E0，求: (1) 點電荷受到的電場力及 F 與 x 的關系曲線。(2) 點電荷的動能及 Ek 與 x 的關系曲線。（1）Ep與 x 的關系(gun x)axEpE0OAxOaFx( 0 x a )

11、共七十一頁38(2) ( 0 x a )Ek= E0 ( x a )OxaEkE0axEpE0OA共七十一頁39例3-10 已知雙原子分子的勢函數為： ，a、b為正常(zhngchng)數，函數曲線如圖，如果分子的總能量為零。求：(1) 雙原子之間的最小距離； (2) 雙原子之間平衡位置的距離； (3) 雙原子之間最大引力時的兩原子距離； (4) 勢阱深度Ed； (5) 畫出與勢能曲線相應的原子之間的相互作用力曲線。解：xEp(1)xmin當動能(dngnng) Ek=0 時，Ep為最大，兩原子之間有最小距離:Lennard-Jones勢共七十一頁平衡位置的條件(tiojin)為F=0，最大引

12、力(ynl)的條件為： (2) 雙原子之間平衡位置的距離(3) 原子間引力最大時的原子間距xEpx1xminx240共七十一頁41將平衡位置兩原子(yunz)之間的距離 x1 代入勢函數公式，得勢阱深度：在位置(wi zhi)x1處，保守力F為零。在勢能曲線的拐點位置 x2 處，保守力F有最小值。(4) 勢阱深度Ed (5) 畫出與勢能曲線相應的原子之間的相互作用力曲線。xEpx1xminx2xFEND共七十一頁42一、質點系 內力(nil)與外力內力外力3.4 質點系的勢能(shnng) 勢能屬于相互作用有保守力的各物體組成的整個系統，稱相互作用勢能。與系統內的一對保守內力做功有關。系統內，

13、內力是成對出現的。共七十一頁43二、內力(nil)的功相對(xingdu)元位移 Oij一對內力的功：相對位矢 共七十一頁441. 系統內一對(y du)內力的功一般不為零。2. 一對內力(nil)做功之和與所選的參照系無關。與參照系無關。一對摩擦力做功: Af = - f l (地面系，木塊系，子彈系)說明ijsl子彈木塊共七十一頁45三、相互作用勢能(shnng)一對(y du)保守內力ij計算時，可選其中一個物體為參照系, 內力只對另一物體做功：如： 重力勢能屬于地球和物體組成的系統。一對內力作功：O共七十一頁46 四、多質點系統(xtng)的勢能保守內力END其中 為質點 i 和 j

14、之間的相互作用勢能。共七十一頁47作業(zuy): P103 3-7，3-9，3-10，3-11，3-13， 共七十一頁48上次(shn c)課主要內容保守力 非保守力 質點(zhdin)在保守力場中的勢能是非保守力。是保守力。任意閉合路徑保守力的功等于系統勢能的減少。設 為勢能零點，共七十一頁49保守力與勢能(shnng)的關系：1. 積分(jfn)關系：2. 微分關系:一對內力的功：與參照系無關上次課主要內容一對保守內力的功與相互作用勢能：共七十一頁50 一、質點系的動能定理(dn nn dn l)3.5 功能原理(yunl) 能量守恒定律設第 i 個質點所受外力的功為 ，內力的功為 ,

15、初速度為 , 末速度為 。外力對質點系做的總功。內力對質點系做的總功。共七十一頁51質點系的動能定理： 所有外力和內力對系統所作的功之和等于(dngy)系統總動能的增量。質點系的末態總動能(dngnng)。質點系的初態總動能。共七十一頁52例3-11 光滑水平面上放有質量為m1的沙箱， 由左方飛來質量為m2的彈丸從箱左側擊入， 在沙箱中前進(qinjn) l 距離后停止。 在這段時間中沙箱向右運動了距離 s ， 此后沙箱帶著彈丸以勻速 v 運動。求(1) 沙箱對彈丸的平均阻力F；(2) 彈丸初速v0 ；(3) 沙箱-彈丸系統損失的機械能。 (2) 對彈丸，應用(yngyng)動能定理： (1)

16、 對沙箱, 應用動能定理：解：s+l s共七十一頁53 (3) 機械能變化(binhu)： 一對(y du)非保守內力(耗散力)做負功，使系統動能減少。s+l s共七十一頁54二、功能(gngnng)原理 保守內力的總功 非保守內力的總功內力的總功質點系的功能原理： 質點系在運動過程中，所有外力的功和非保守內力的功的總和等于系統(xtng)機械能的增量。共七十一頁551. 明確(mngqu)系統及初、末狀態。2. 適用(shyng)于慣性系。3. 機械能守恒定律與參照系無關, 而與參照系有關。在某一慣性系中機械能守恒，但在另一慣性系中機械能不一定守恒。系統中的動能和勢能可以轉換, 各質點間的機

17、械能也可以互換, 但保持系統的總機械能不變。 說明若 共七十一頁564. 對孤立(gl)系統能量(nngling)轉換和守恒定律其他形式的能量轉化為機械能。機械能轉化為其他形式的能量。則：共七十一頁57例3-13 已知鐵鏈質量m，長 l ，與桌面摩擦系數為 。問： (1) a 為多少 時鐵鏈開始下滑? (2) 金屬鏈全部離開桌面時 v 為多少?(與滑輪(huln)摩擦不計)解：(1)(2) 摩擦力做負功，以 a 處為坐標(zubio)原點下垂部分重力 等于摩擦力時開始下滑.Oxdxa共七十一頁58利用功能原理(yunl)，以桌面為零勢能點：Oxdxa共七十一頁59例3-12 證明流體內流速大的

18、地方(dfng)壓力反而小(伯努利方程)。證：由功能原理(yunl)：（忽略高度的變化）單位時間流過的水量相等v2v1s2s1s2s1p1p2共七十一頁60伯努利方程(fngchng)s2s1p1p2共七十一頁61飛機(fij)的升力 共七十一頁62例3-14 計算(j sun)第一、第二、第三宇宙速度。一、第一(dy)宇宙速度設發射速度為v1，繞地球的運動速度為v機械能守恒：萬有引力提供向心力：RMm第一宇宙速度是指從地面發射物體，使其在地面附近(離地面的高度與地球半徑相比很小)軌道繞地球飛行所需的最小發射速度，通常用v1表示。 共七十一頁63得：第一(dy)宇宙速度共七十一頁64二、第二(

19、d r)宇宙速度(1) 脫離地球引力時，飛船的動能(dngnng)必須大于或等于零。(2) 脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。由機械能守恒：得：第二宇宙速度是指從地面發射物體，使其脫離地球引力而成為繞太陽運動的人造天體所必須具有的最小發射速度，通常用v2表示。這就要求物體脫離地球引力時，其動能必須大于或等于零。共七十一頁三、第三(d sn)宇宙速度首先討論只考慮太陽(tiyng)引力作用時，使地球上的物體脫離太陽(tiyng)所需的最小速度v3。類似于第二宇宙速度， v3應滿足得：第三宇宙速度是指從地面發射物體，使其脫離太陽系所必須具有的最小發射速度，通常用v3表示。65共七十一頁三、第三(

20、d sn)宇宙速度首先討論(toln)只考慮太陽引力作用時，使地球上的物體脫離太陽所需的最小速度v3。第三宇宙速度是指從地面發射物體，使其脫離太陽系所必須具有的最小發射速度，通常用v3表示。v3是物體相對太陽的速率。在地球表面發射物體時，物體與地球一起具有地球繞太陽的公轉速度，即v0=29.8103m/s。如果使物體發射方向與地球公轉速度方向一致，發射時物體相對地球的速度只需要 由于物體是從地球發射，物體必須還同時具有脫離地球引力的動能，即，脫離地球引力時物體速度為v3，所以第三宇宙速度要滿足66共七十一頁67*黑洞(hidng)任何物體都被它的引力所約束，不管(bgun)用多大的速度都無法脫

21、離，連光都跑不出來，稱為黑洞。對于質量為M 的天體，若物體的逃逸速度為：質量為M 的黑洞的半徑：（史瓦西半徑）第一個黑洞的侯選者：X射線雙星天鵝座X-1 銀河系中心超大質量黑洞 Sgr A*太陽質量：3 km共七十一頁68Example. Two satellites A and B of the same mass are going around Earth in concentric orbits. The distance of satellite B from Earths center is twice that of satellite A. What is the ratio of the tangential speed of B to that of A? 1/2 (1/2)1/2 1 21/2 2 Answer: 2. 共七十一頁69Example. A rock, initially at rest with respect to Earth and located an infinite distance