1、數學必修一知識系統匯總第一章 集合與函數概念一、集合1集合的含義及表示：元素：一般地，我們把研究對象統稱為元素。集合：一般地，我們把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）。 列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用大括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法。 集合的表示方法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。圖示法：在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖。 自然語言。元素的特性：互異性，無序性，確定性。集合的分類 數集：x| 有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集。點集：（x，y）| 無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集。 （我們把不含任何

2、元素的集合叫做空集，記為，并規定：空集是任何集合的子集。） N：全體非負整數組成的集合成為非負整數集（或自然數集）。 N*（N+）：所有正整數組成的集合稱為正整數集。特殊的數集 Z：全體整數組成的集合稱為整數集。 Q：全體有理數組成的集合稱為有理數集。 R：全體實數組成的集合稱為實數集。2集合間的關系及其運算：子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作。如果集合，但存在元素，且,我們稱集合A是集合B的真子集，記作。如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此時，集合A與集合B中的元素是

3、一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B。我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card來表示有限集合A中元素的個數。若card（A）= n，則A的子集數為2n，真子集數為（2n-1），非空真子集數為（2n-2）。一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AB，即AB=x|xA,或xB。取法：皆要但不重復。性質：AB=BA , A=A , AA=A ,AAB ,BAB.交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即AB=x|xA,且xB。取法：取公共部分。性質：AB=BA，A=，AA=A，ABA , ABB

4、.補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即。取法：U以內，A以外。性質： 摩根律：二、函數及其表示1.函數定義：一般地，我們有：設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數，記作。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。2.函數的三要素：定義域，值域，對應關系。3.函數的表示方法：解析法，圖像法，列表法。4.函數解析式的求證： 零點式：

5、待定系數法 注意：二次函數解析式的設法 頂點式： 換元法 一般式：5.定義域求法：給出優先；令函數解析式有意義；根據實際問題。6.函數值域的求法：觀察法；配方法；換元法；根據單調性；方程法（根據判別式）；分離常數法數形結合（圖像法）；復合函數求值法。7.分段函數：根據自變量的不同取值范圍，將函數分別用不同的形式表示出來，這種函數叫做分段函數。注意：分段函數是一個函數而不是幾個函數。8.區間：設是兩個實數，而且，我們規定：滿足不等式的實數x的集合叫做閉區間，表示為；滿足不等式的實數x的集合叫做開區間，表示為；滿足不等式或的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為。這里的實數都叫做相應區間的端點。

6、注意：實數集R可以用區間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”，“”讀作“正無窮大”。我們把滿足的實數x的集合分別表示為。9.映射：一般地，我們有：設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個映射。注意：定義中的關鍵詞“任意”、“唯一”；集合A中的元素可以多對一，不能一對多；集合A中的元素必有象，B中元素可以沒原象；映射與一般是不同的；聯系：函數是映射的特殊情況，映射是函數的推廣。規定：若是從A到B的映射，那么與A中元素對應的B中的元素b叫做的象，叫做b的原象。A中元素在

7、B中必有象，且有唯一象；B中元素不一定有原象。規律：設A中有m個元素，B中有n個元素，則從A到B可以構成nm個映射。三、函數的基本性質1.單調性：一般地，設函數的定義域為I：增函數：如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間D上時增函數。如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間D上時減函數。2.判斷函數單調性的方法：圖像法；直接法；定義法。3.求函數單調性的步驟：取值；作差；判斷符號；得出結論。（注意：求單調區間時應先求定義域。）4.復合函數單調性：同增異減。5.奇偶性：一般地，對于函數的定義域內任意一個x，都有

8、，那么函數就叫做偶函數。一般地，如果對于函數的定義域內任意一個x，都有，那么函數就叫做奇函數。6.復合函數奇偶性：全奇則奇，全偶則偶。7.證明函數奇偶性的步驟：求函數定義域；求的值；比較與的關系；得出結論。8.在奇函數中，或沒有意義。9.奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于y軸對稱。10.奇函數在對稱區間上是有相同的單調性，相反的最值；偶函數在對稱區間上是有相反的單調性，相同的最值。11.對稱性：關于直線對稱；關于直線對稱。 關于點對稱；關于點對稱。12.周期性： 周期為T 周期為2T （為常數，且） 周期為2T13.平移規則： 左加 右減 上加 下減第二章 基本初等函數（）指數與指數冪的運

9、算1一般地，如果，那么x叫做的次方根，其中，且2 n為奇數：的次方根有一個。記作.為負數 n為偶數：負數沒有偶次方根。 n為奇數：的次方根有一個。記作.為正數 n為偶數：的次方根有兩個。記作.0的次方根為0.記作=0.3根式的性質：為奇數時， 為偶數時， 4正數的正分數指數冪的意義：.正數的負分數指數冪的意義：.0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義。5有理數指數冪的運算性質：;.指數函數1一般地，函數y=ax（a0,且a1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。2一般地，指數函數y=ax（a0,且a1）的圖像和性質如下表所示。0a1a1圖 像定義域R值 域（0，+）性 質

10、過定點（0，1），即x=0時，y=1在R上是減函數在R上是增函數當x0時，y1當x0時，0y1當x0時，0y1當x0時，y13判斷指數函數的底數大小的方法：在第一象限內，從x軸開始，逆時針方向查找，先看到的圖像底數最小，最后看到的圖像底數最大。4注意：指數函數只能為一個自變量的形式；底數必須大于零且不等于一；冪的系數只能為一。5規定a0,且a1的原因：當a0時，如a=-2,x=1/2時，則該式無意義；當a=0時，0 x中當x0時，該式無意義；當a=1時，1x=1沒有研究價值。對數與對數的運算一般地，如果ax=N（a0,且a1），那么數x叫做以a為底N的對數，記作：logaN，其中a叫做對數的底

11、數，N叫做真數。通常我們將以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lg N.在科學技術中常使用以無理數e=2.71828為底的對數，以e為底的對數稱為自然對數，并且把logeN記為ln N. 零和負數沒有對數。對數的性質 loga1=0 logaa=1對數與指數間的關系：當a0，a1時，ax=Nx= logaN5名稱辨別：式 子名 稱abc指數式ab=N底數指數冪對數式b=logaN底數對數真數對數的運算性質：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)=logaM+logaN=logaM-logaN=nlogaM (nR)=logab=NlogaaN=Nlogab= (c0

12、,且c1）引申：logablogbclogcdlogde=logaelogablogba=1logab +log=0logab =對數函數一般地，我們把函數y=logax（a0,且a1）叫做對數函數。其中x是自變量，函數的定義域是（0，+）。一般地對數函數y=logax（a0,且a1）的圖像和性質如下表所示。0a1a1圖像定義域（0，+）值域R性質過定點（1，0），即x=1時y=0在（0，+）上是減函數在（0，+）上是增函數當0 x1時，y0當x1時，y0當0 x1時，y0當x1時，y0補充：關于x軸對稱點（a,-b）M(a,b) 關于y軸對稱點（-a,b）關于原點對稱點（-a,-b）關于直線

13、y=x對稱點（b,a） 當底數相同時，指數函數與對數函數互為 反函數 反函數。互為反函數的兩個函數圖像關于直線y=x對稱。冪函數一般地，函數y=x叫做冪函數。其中x是自變量，是常數。規定：=1或2或3或1/2或-1 所有冪函數在區間（0，+）上都有意義，并且函數圖像都過點（1，1）。冪函數y=x的性質 若0，冪函數圖像都過點（0，0），（1，1），并且在區間0，+）上是增函數。 若0，冪函數在（0，+）上是減函數，當x從右方趨向于0時，圖像在y軸右方無限逼近y軸，當x軸趨向于+時，圖像在x軸上方無限逼近x軸。4.y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR0，+）（-，0）（0，+）值 域R0

14、，+）R0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性增函數（-，0減函數0，+）增函數增函數增函數減函數（-，0）（0，+）公共點均過點（1，1），且前四個圖像還均過點（0，0）5.圖像y=xy=x2y=x3y=x-1第三章 函數與方程一、方程的根與函數的零點1.關于x的實系數一元二次方程，設， 方程有根的等價條件是x0；恒成立的等價條件是 ；恒成立的等價條件是 ；一根為正，一根為負的等價條件是 ；兩根為正的等價條件是 ；兩根為負的等價條件是 ；一根為正，一根為零的等價條件是 ；一根為負，一根為零的等價條件是 ；兩根均大于m的等價條件是 ；兩根均小于m的等價條件

15、是 。2.設判別式，則有：當時，一元二次方程有兩個不等的實數根，相應的二次函數的圖像與x軸有兩個交點；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根，相應的二次函數的圖像與x軸有唯一的交點；當時，一元二次方程沒有實數根，相應的二次函數的圖像與x軸沒有交點。3.零點：對于函數，我們把使的實數x叫做函數的零點。4.方程有實數根函數的圖像與x軸有交點函數有零點。5.求函數零點的方法：代數法（解方程）；幾何法（圖像法）；6.求函數零點的步驟：令；解方程；寫出零點。7.一般地，我們有：如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區間內有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的根。二、用二分法求方

16、程的近似解1.二分法：對于在區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。2.給定精確度，用二分法求函數零點近似值的步驟如下：確定區間，驗證，給定精確度；求區間的中點c；計算；若，則c就是函數的零點；若，則令（此時零點）；若，則令（此時零點）。判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值（或b）；否則重復第步。三、函數模型及其應用1.常數函數不增長；2.一次函數勻速增長；3. 函數增長，增長速度因的不同而不同；4. 函數增長，增長速度越來越快，最后成爆炸式增長；5.函數增長，增長速度越來越慢，最后幾乎不增長。6

17、.當時，總會存在一個，當時，有。7.當時，總會存在一個,當時，有。8.利用現有函數模型解決實際問題；建立確定的函數模型解決問題；建立擬合函數模型解決問題。數學必修二知識系統匯總第一章 空間幾何體一、空間幾何體的結構1.多面體：一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2.旋轉體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體。這條定直線叫做旋轉體的軸。 棱柱：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個各四邊形的公共邊都互相平行，

18、由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。柱 圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱。旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。 棱錐：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是由一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公

19、共錐 頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。3 圓錐：以直角三角形的一天直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。圓錐也有軸、底面、側面、母線。 棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。原棱錐臺 的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，棱臺也有側面、側棱、頂點。 圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分，叫做圓臺。圓臺也有軸、底面、側面、母線。球： 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直

20、徑。二、空間幾何體的三視圖和直觀圖1.投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現象叫做投影。其中我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面。2.中心投影：我們把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影。3.平行投影：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。4.三視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的側視圖；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖。幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體的三視圖。5.

21、斜二測畫法：對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖。斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法。斜二測畫法原則：橫不變，縱減半。斜二測畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點。畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸與軸，兩軸交于點，且使（或135），它們確定的平面表示水平面。已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段。已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度為原來的一半。三、空間幾何體的表面積與體積面積、體積幾 何 體 側面積表面積體 積柱 體錐 體臺 體球 體第二章 點、直線、平面之間的位置關系1.平面：我們常常把水平的平面畫成

22、一個平行四邊形，用平行四邊形表示平面，平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫變長等于其鄰邊長的2倍。如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把被遮擋部分用虛線畫出。2.平面的表示：為了表示平面，我們常把希臘字母，等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱。3.補充：1個平面將空間分成2個部分；2個平面將空間分成3或4個部分；3個平面將空間分成4或6或7或8個部分。4.異面直線：我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。5.空間兩條直線的位置關系：相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點。

23、共面直線 平行直線：同一平面內，沒有公共點。異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。6.異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）【規定：兩條直線平行時，兩直線所成的角為0】。如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直。兩條互相垂直的異面直線，記作。注意：異面直線所成的角是空間中的線線角；用平面角來刻畫異面直線所成的角；異面直線所成的角的范圍是；異面直線所成的角與點的位置無關；選點時，一般選在一條異面直線上，再過該點作另一條直線的平行線，如果在特殊圖形中，一般選端點或中點；若兩條異面直線所成的角

24、為90，我們稱這兩條異面直線相互垂直（以算代證）。7.直線與平面的位置關系：直線在平面內有無數個公共點；直線與平面相交有且只有一個公共點（直線與平面相交于點A，記作）；直線與平面平行沒有公共點（直線與平面平行，記作）。直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外。8.兩個平面之間的位置關系：兩個平面平行沒有公共點（平面與平面平行，記作）；兩個平面相交有一條公共直線。_O_P_A9.如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足。10. 直線和平面所成角：如圖，一條直線PA和一個平面相交

25、，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0的角。_B_L_A_Q_P_N_M_O11.二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角或二面角或二面角或二面角【注意：二面角是一個面面角，范圍是】。在二面角的棱

26、上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線ON和OM，則射線ON和OM構成的NOM叫做二面角的平面角。一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。12. 公理：公理1：【文字語言】如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。【符號語言】注意：點動成線、線動成面。直線、平面都可以看成點的集合。點在直線上，記作;點在直線外，記作。如果直線上的所有點都在平面內，就說直線在平面內，或者說平面經過直線，記作；否則，就說直線在平面外，記作。文字語言符號語言圖形語言點A在直線L上點A不在直線L上點A在平面內點A不在平面內直線L在平面內直線L不

27、在平面內公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。作用：公理2刻畫了平面特有的基本性質，它給出了一個確定平面的依據。引申：推論：經過直線和直線外一點，有且只有一個平面。推論：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理3：【文字語言】如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。【符號語言】作用：用來判斷平面是否相交；用來證明點共線；用來證明線過點。公理4：（平行公理）平行于同一條直線的兩條直線互相平行。作用：公理4表明，空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行。它給出了判斷空間兩條直線平行的依據。它表述的性質通常叫做空

28、間平行線的傳遞性。13.定理：（等角定理）空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。（直線與平面平行的判定）【文字語言】平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（線線平行線面平行）【符號語言】（平面與平面平行的判定）【文字語言】一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。（線面平行面面平行）【符號語言】，引申：推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。（直線與平面平行的性質）一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（線面平行線線平行）作用：直線與平面平行的

29、性質定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。（平面與平面平行的性質）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）（直線與平面垂直的判定）一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（平面與平面垂直的判定）一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。（直線與平面垂直的性質）垂直于同一個平面的兩條直線平行。（平面與平面垂直的性質）兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。14.補充：證線線平行的方法：.定義法；.線面平行的性質定理；.面面平行的性質定理；.平行公理證線面平行的方法：.線面平行的判定定理；.定義法；.面

30、面平行證線面平行證面面平行的方法：.定義法；.面面平行的判定定理；.平面平行的傳遞性三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條垂線垂直。三垂線定理逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。射影長定理：.從平面外一點向平面所引的斜線段、垂線段中，垂線段最短。.如圖（射影長定理圖）：若，則；若，則。. 如圖（射影長定理圖）：若，則；若，則。最小角定理：斜線和平面所成的角是這個斜線與平面內過斜足的所有直線所成角中的最小角。（最小角定理圖）余弦定理：第三章 直線與方程一、直線的傾斜角與斜率1.傾斜角：當直線與x軸相交

31、時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線向上方向之間所成的夾角叫做直線的傾斜角。當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0。則直線的傾斜角的取值范圍為0180。2.確定一條直線的條件：直線上的一點和這個直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。3.確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角。4.坡度（傾斜程度）：日常生活中，我們用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾斜程度），即5.斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，我們用斜率表示直線的傾斜程度。斜率常用小寫字母k表示，即。注意：傾斜角是90的直線沒有斜率。6.經過兩點的直線的斜率公式為7.

32、對于兩條不重合的直線，其斜率分別為，有注意：若直線可能重合時，我們得到或8.如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果它們的斜率之積等于-1，那么它們互相垂直，即9.兩條直線垂直的條件：二、直線的方程1.直線的點斜式方程（簡稱點斜式）：【當直線的傾斜角為0時，tan0=0，即k=0，這是直線與x軸平行或重合，的方程就是】注意：直線的點斜式方程僅適用于有斜率的情形，所以在求直線的方程時，應先討論直線有無斜率。2.截距：我們把直線與x軸交點的橫坐標叫做直線在x軸上的截距。我們把直線與y軸交點的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距。注意：截距不是距離，截距是數。3.直線的

33、斜截式方程（簡稱斜截式）：注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。4.直線的兩點式方程（簡稱兩點式）：注意：直線的兩點式方程不適用于沒有斜率或斜率為0的直線。若中有或時，直線沒有兩點式方程。當時，直線平行于x軸，直線方程為，或；當時，直線平行于x軸，直線方程為，或。5.直線的截距式方程：注意：直線的截距式方程不適用于平行于x軸（或y軸）或過原點的直線。6.線段的中點坐標公式：若點的坐標分別為，且線段的中點M的坐標為，則 7.直線的一般式方程(簡稱一般式)：8.在方程中，當時，方程表示的直線平行于x軸；當時，方程表示的直線平行于y軸；當時，方程表示的直線與x軸重合；當時，方程表示的直線與y軸

34、重合。9.已知直線，則的充要條件是：的充要條件是：三、直線的交點坐標與距離公式1.若方程組有唯一解與相交，且有唯一交點；若方程組無解；若方程與方程可化成同一個方程與重合。引申：2.當變化時，方程表示直線束。3.方程表示過直線與直線交點的任意一條直線，但它不能表示這條直線。延展【常用結論】:4.過與交點的直線方程可設為（不表示）或（不表示）5.與直線平行的直線方程可設為6.與直線垂直的直線方程可設為7.兩點間的距離公式為：8.原點與任一點的距離公式為：9.點到直線的距離公式為：10.兩條平行直線與間的距離為：第四章 圓與方程一、圓的方程1.圓的標準方程：注意：以方程的解為坐標的點都在圓上；在圓上

35、的點，它的坐標都是方程的解。2. 點在圓上 點在圓內 點在圓外3.單位圓：若，則稱其為單位圓。4.圓的一般方程：【注意：當時，方程表示以為圓心，為半徑長的圓；當時，方程表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。】二、直線、圓的位置關系1.直線與圓的位置關系 直線與圓相交，有兩個公共點方程組有兩組不同實數解 直線與圓相切，只有一個公共點方程組有唯一實數解 直線與圓相離，沒有公共點方程組無實數解2.求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓方程相減。3.求經過兩圓交點的圓系方程：三、空間直角坐標系1.如圖是單位正方體。以為原點，分別以射線的方向為正方向，以線段的長為單位長，建立三條數軸：x軸、y軸、z軸。

36、這是我們說建立了一個空間直角坐標系，其中點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸。通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱平面、平面、平面。2. 數軸：一個點與一個實數一一對應。 平面直角坐標系：一個點與一個有序實數對一一對應。 空間直角坐標系：一個點與一個有序實數組一一對應。3. 如圖，設點M位空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P，Q和R.設點P，Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應唯一確定的有序實數組。反過來，給定有序實數組，我們可以在x軸、y軸和z軸上依次取坐標為x，y和z的點P，Q和R，分別過P，Q和R

37、各作一個平面，分別垂直于x軸、y軸和z軸，這三個平面的唯一的交點就是有序實數組確定的點M。這樣，空間一點M的坐標可以用有序實數組來表示，有序實數組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作。其中x叫點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標。4. 表示的圖形是球。5.在空間直角坐標系中，任意一點與原點間的距離數學必修三知識系統匯總第一章 算法初步一、算法與程序框圖1.算法：算法指的是用阿拉伯數字進行算術運算的過程。在數學中，算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的明確和有限的步驟。算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執行并解決問題。2.算法與計算機：計算機解決任何問題都要依賴于算法。只

38、有將解決問題的過程分解為若干個明確的步驟，即算法，并用計算機能夠接受的“語言”準確地描述出來，計算機才能夠解決問題。3.算法的特征：有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的。確定性：算法中的每一步應該是確定的，并且能有效地執行且得到確定的結果。可行性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一個都準確無誤才能完成問題。不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以由不同的算法。普遍性：一個算法應該適用于求某一類問題的解，而不是只用來解決一個具體的問題。

39、【注意：有限性、確定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是檢驗一個算法的主要依據。】4.程序框圖：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形。5.程序框圖的組成：程序框圖由程序框及流程線組成；在程序框圖中，一個或幾個程序框的組合表示算法中的一個步驟；帶有方向箭頭的流程線將程序框連接起來，表示算法步驟的執行順序。6.基本程序框及其功能：圖形符號名 稱功 能終端框（起止框）表示一個算法的起始和結束輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息處理框（執行框）賦值、計算判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處表明“是”或“Y”；不成立時表明“否”或“N”流程線連接程序框連接點連

40、接程序框圖的兩部分【注意：起、止框是任何流程不可少的，表明程序的開始和結束。輸入和輸出可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。算法中間要處理數據或計算，可分別寫在不同的處理框內。一個算法步驟到另一個算法步驟用流程線連接。如果一個框圖需要分開來畫，要在斷開處畫上連接點，并標出連接的號碼。】7.程序框圖的畫法：畫一個算法的程序框圖，應先對問題進行算法分析，必要時可先用自然語言設計該問題的算法，弄清算法的流程，然后把算法步驟逐個轉化為框圖表示，最后用流程線依步驟順序連接成程序框圖。畫程序框圖的規則：使用標準的框圖符號；框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫；除判斷框外，大多數框圖符號只有一個進入點和一個

41、退出點，判斷框是具有超過一個退出點的唯一符號；一種判斷框是“是”與“不是”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一種公式多分支判斷，有幾種不同的結果。在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。8.算法的基本邏輯結構：順序結構：順序結構是由若干個依次執行的步驟組成的，其特點是步驟與步驟之間，框與框之間是按從上到下的順序依次執行，不會引起程序步驟的“跳轉”，它是任何一個算法都離不開的基本結構。條件結構：概念：在一個算法中，經常會遇到一些條件的判斷，算法的流程根據條件是否成立有不同的流向，這種先根據條件作出判斷，再決定執行哪一種操作的結構稱為條件結構。這是一種依據指定條件選擇執行不同指令的指控結構。結構

42、形式滿足條件？否 是步驟B步驟A步驟A滿足條件？否 是循環結構：概念：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定的條件反復執行某些步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的步驟稱為循環體。結構形式循環體滿足條件？否 是滿足條件？循環體是 否.直到型循環的結構特征：在執行了一次循環體后，對條件進行判斷，如果條件不滿足，就繼續執行循環體，直到條件滿足時終止循環。.當型循環的結構特征：在每次執行循環體前，先對條件進行判斷，當條件滿足時，執行循環體，否則終止循環。二、基本算法語句1.任何一種程序設計語言中都包含五種基本的算法語句，它們分別是輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句。2.輸入語句：

43、輸入語句是指程序運行中由用戶輸入數據的語句。它的一般格式是INPUT “提示內容”；變量。【注意： “提示內容”一般是提示用戶輸入什么樣的信息；輸入語句中，提示內容要寫在“ ”中，并且與變量之間要用“；”隔開；一個輸入語句可以輸入多個變量，中間用“，”隔開；輸入語句不僅能夠輸入具體的常數，還可以輸入單個或多個字符，但不能是函數、變量或表達式。】3.輸出語句：輸出語句是將程序運行的信息顯示出來的語句。它的一般格式是PRINT “提示內容”；表達式。【注意：“提示內容”一般是提示用戶輸出什么樣的信息；輸出語句中，提示內容與表達式之間要用“；”隔開；一個輸出語句可以輸出多個變量的值，中間用“，”隔開

44、；輸出語句中的表達式是指程序要輸出的數據，輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值，輸出語句具有計算功能。】4.賦值語句：賦值語句是賦給某一個變量一個具體的確定值的語句。它的一般格式是變量=表達式。其中，“=”叫做賦值號，其作用是先計算“=”右邊表達式的值，然后把這個值賦給“=”左邊的變量，使該變量的值等于表達式的值。【注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不是表達式；賦值號左右兩邊不能對換。賦值語句是將賦值號右邊的表達式賦給賦值號左邊的變量；不能利用賦值語句進行代數式（或符號）的演算；賦值號與數學中的等號的意義不同，賦值號左邊的變量如果原來沒有值，則在執行賦值語句后，獲得一個值，如果原已有值，則執

45、行該語句后，以賦值號右邊表達式的值代替該變量的原值，即將原值“沖掉”。】5.語句中的常用符號運算符號加減運算：，在程序語句中還是寫為，；乘法運算：在程序語句中寫作；除法運算：或在程序語句中寫作；乘方運算：在程序語句中寫作，也可用連乘的形式。函數符號算術平方根：表示；絕對值：表示；取整：表示不大于的最大整數。6.條件語句：概念：條件語句是處理條件結構的算法語句。條件語句的格式：圖一滿足條件？否 是步驟B步驟A圖二滿足條件？否步驟A 是IF 條件 THEN 語句體1ELSE 語句體2END IFIF 條件 THEN 語句體END IF與圖一相對應的條件語句的格式是IFTHENELSE格式 與圖二相

46、對應的條件語句的格式是IFTHEN格式其功能是：當計算機執行上述語句時，首先對IF后的條 其功能是：當計算機執行上述語句時，首先對IF后的件進行判斷，如果（IF）條件符合，那么（THEN）執行 條件進行判斷，如果（IF）條件符合，那么（THEN）語句體1，否則（ELSE）執行語句體2。 執行語句體，否則執行END IF之后的語句。兩種條件語句的區別與聯系共同點：兩種語句都首先對條件進行判斷，然后才執行相應的語句體；執行完語句體后退出條件結構。從形式上看，都以IF開始，最后以END IF結束。區別：第一種語句包含兩個語句體，滿足條件時執行一個語句體，不滿足條件時執行另一個語句體；而第二種語句只有

47、一個語句體，是滿足條件時執行的語句體。【注意：利用條件語句編寫程序應該：明確該程序解決什么問題，這個問題有幾種不同的情況，每一種情況成立的條件是什么；確定需要使用幾個條件語句來設計程序，每一個條件語句能解決問題的哪一種情況，可以先設計解決問題的算法，畫出相應的程序框圖，然后把算法步驟及框圖內容使用相應語句描述。】7.循環語句：循環語句的格式與功能：1.直到型循環結構對應的UNTIL語句圖三循環體滿足條件？否 是圖四滿足條件？循環體是 否與直到型循環結構（圖三）相對應的程序語句稱為UNTIL 與當型循環結構（圖四）相對應的程序語句為語句，它的一般格式是： WHILE語句，它的一般格式是：WHIL

48、E 條件 循環體WEND DO 循環體LOOP UNTIL 條件功能：當計算機執行上述語句時，先執行一次DO和UNTIL 功能：當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的之間的循環體，再對UNTIL后的條件進行判斷。如果條件不 真假，如果條件符合，就執行WHILE和WEND之間符合，繼續執行循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍不 的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，符合，再次執行循環體，直到條件符合時為止。這時，計算機 再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條不再執行循環體，直到跳到UNTIL語句后，接著執行UNTIL 件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接語句之后的

49、語句。 跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句。WHILE語句和UNTIL語句的關系：UNTILWHILE區別計算機的執行順序先執行循環體，在判斷條件，然后再循環體，再條件，反復執行，直到條件滿足先判斷條件，再執行循環體，然后再判斷條件，再循環體，反復執行，直至條件不滿足“UNTIL先循環后判斷，WHILE先判斷后循環”條件的內容此語句中條件是循環結束的條件，即滿足此條件時，循環結束，執行循環結構后面的語句；不滿足時，才執行循環體此語句的條件是執行循環體的條件，即滿足條件時，執行循環體；不滿足時，退出循環，執行循環結構后面的語句“WHILE滿足就循環，UNTIL滿足就停止”對循環體的執

50、行次數此語句由于先執行循環體，后判斷條件，因此，在任何一個這樣的語句中，循環體至少要執行一次此語句由于現判斷條件，后執行循環體，因此循環體可以一次也不執行而退出循環結構聯 系這兩種語句都可以實現計算機反復執行循環體的目的，一般來說，WHILE語句與UNTIL語句都可以相互轉化幾種對應關系：變量初始值與循環體中變量值的對應。初始值有時會直接影響循環體中的變量值。變量的初始值與循環條件的對應。一般來講，初始值可以確定循環條件。三、算法案例1.輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個正整數的最大公約數的方法。2.輾轉相除法具體算法：用兩個數中較大的數除以較小的數判斷玉樹是否為0，若不為0，則用較小的數除以余數

51、再判斷余數是否為0，反復進行上述步驟，直到余數為0為止。這時的除數就是最大公約數。3.更相減損術：更相減損術是求兩個正整數的最大公約數的方法。4.更相減損術的內容：任意給定兩個正整數，判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，則以較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減去小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，這個數就是所求的最大公約數。5.更相減損術與輾轉相除法比較：更相減損術是作減法運算，而輾轉相除法是作除法運算；更相減損術運算次數較多，但每一次的計算都較簡單。6.秦九昭算法：秦九昭算法是能求多項式函數值的一種算法。7.秦九昭算法步驟：對于任意一元n次多項式，首

52、先將多項式改寫為令則遞推公式為 其中所謂遞推，就是在一系列數中已知第一個數，則其后的每一個數都可由前面的數求出。根據上面的遞推公式，我們可由依次求出所有的。在上述公式中，是反復執行的，因此可用循環結構實現。8.進位制：概念：進位制是人們為了計數或計算方便而約定的計數系統。約定“滿幾進一”就是幾進制，幾進制的基數就是幾。如果是大于1的整數，那么以為基數的進制數可以表示為為了區分不同的進位制，常在數的右下角標明基數。十進制數一般不標基數；由于每一種進制的基數不同，所以，每一種進制所用的數字個數也不同；任何一個進制數都可以寫成不同位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式；不同進制之間的互化：進制數化為十

53、進制數：先把進制數寫成不同數位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式，再按十進制數的運算法則計算出結果。十進制數轉化為進制數：可以用進制數的基數去除十進制數，再用去除所得的商，反復進行，直至商為0，把每次相除所得的余數取出即可。此法稱為除取余法。兩個非十進制數之間的互化：將進制的數化為進制的數，可以先將進制的數化為十進制數，再將所得十進制數化為進制的數。第二章 統計一、隨機抽樣1.簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。2.簡單隨機抽樣的特點：被抽取樣本的總體個數較少；從總體

54、中逐個地抽取；不放回抽取；每一次抽取時，總體中各個個體被抽到的可能性相同，在整個抽樣過程中各個個體被抽到的機會也都相等（即等可能性）。從而保證了抽樣方法的公平性。3.兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法（抓鬮法）；隨機數法4.抽簽法（抓鬮法）步驟：一般地，抽簽法就是把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取次，就得到一個容量為的樣本。【上述步驟可簡寫為：編號；制簽：大小相同，形狀一樣，質地均勻；抽簽：不透明容器，均勻攪拌；依號取樣。】5.隨機數法步驟：編號；隨機確定開始數字；從選定的數開始讀數；根據號碼得到樣本。6.隨機數法就是利用隨機數表

55、、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣。7.系統抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統抽樣。8.系統抽樣的特點：適用于總體容量較大的情況；由于抽樣的間隔相等，因此系統抽樣也稱作等距抽樣。在進行大規模的抽樣調查時，系統抽樣比簡單隨機抽樣要方便；不放回抽樣；等可能抽樣。9.系統抽樣步驟：一般地，假設要從容量為的總體中抽取容量為的樣本，可以按下列步驟進行系統抽樣：先將總體的個個體編號；確定分段間隔，對編號進行分段。當（是樣本容量）是整數時，取；在第一段用簡單隨機抽樣確定一個個體編號；按照一定的規則抽取樣本。通常是將加上

56、間隔得到第2個個體編號，再加得到第3個個體編號，依次進行下去，直到獲取整個樣本。10.分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣。11.分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；更充分的反映了總體的情況；等可能性抽樣，每個個體被抽到的可能性都是。12.三種抽樣方法的比較：類 別共 同 點各自特點相互聯系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的可能性相等從總體中逐個抽取總體中的個體數較少系統抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規則在各部分抽取在起始部分抽樣

57、時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣總體由差異明顯的幾部分組成二、用樣本估計總體1.兩種估計方式：用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數字特征估計總體的數字特征。2.分析數據的兩種基本方法：作圖【作圖可以達到兩個目的：從數據中提取信息；利用圖形傳遞信息。】畫表格【畫表格可以達到的目的是：通過改變數據的構成形式，為我們提供解釋數據的新方式】。3.頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數據落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示。各小長方形的面積的總和等于1【】。直方圖能夠很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的

58、形狀，是我們能夠看到在分布表中看不清楚的數據模式。但直方圖也丟失了一些信息，如原始數據不能在圖中表示出來。4.頻率分布折線圖：連結頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖。隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數也增加，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精確地反映出總體在各個范圍內取值的百分比。5.莖葉圖：當樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的效果較好。它不但可以保留原始數據，而且能夠展示數據的分布情況，給數據的記錄和表示都帶來了方便。6.眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。7.中位數：將一組數據按大小依次排

59、列，把處在中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。8.平均數：如果有個數，那么叫做這個數的平均數。總體中所有個體的平均數叫做總體平均數；樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。【任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，平均數可以反映出更多關于樣本數據全體的信息。】9.用頻率分布直方圖估計中位數和平均數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等；平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。10.標準差：考察樣本數據的分散程度的大小，最常用的統計量是標準差。標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用表示。11.方

60、差：從數學的角度考慮，有時用標準差的平方方差代替標準差，作為測量樣本數據分散程度的工具。12.補充：標準分：【是個人成績；是整體平均分；是標準差。】在、中，為事件多發區；為事故必發區。三、變量間的相關關系1.相關關系：與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系。2.正相關與負相關：從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系成為正相關；點散布在從左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系成為負相關。3.回歸直線：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線。4.回歸直線方程：回歸直線方程