1、此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除 線 性 規 劃 常 見 題 型 及 解 法 由 已 知 條 件 寫 出 約 束 條 件 ，并 作 出 可 行 域 ，進 而 通 過 平 移 直 線 在 可 行 域 內 求 線 性 目 標 函 數 的 最 優 解 是 最 常 見 的 題 型 ， 除 此 之 外 ， 還 有 以 下 六 類 常 見 題 型 。一 、 求 線 性 目 標 函 數 的 取 值 范 圍x2的 取 值 范 圍 是（）例 1、若 x 、 y 滿 足 約 束 條 件y2， 則 z=x+2yxy2y B y =2 A、 2,6 B、 2 ,5 C、 3,6 D、（ 3,5 2 解 ：

2、 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 線 l ： x+2y 0， 將O 2 A x l 向 右 上 方 平 移 ， 過 點 A（ 2,0 ） 時 ， 有 最 小 值x=2 x + y =2 2， 過 點 B（ 2,2 ） 時 ， 有 最 大 值 6 ， 故 選 A 二 、 求 可 行 域 的 面 積2xy60A B y =2 例 2 、不 等 式 組xy30表 示 的 平 面 區 域 的 面 積 為（）A、 4 y2D、 無 窮 大y B、 1 C、 5 解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 積 即 為 所 求 ， 由 梯 形OMBCxy 3 = 0 的 面 積

3、減 去 梯 形 OMAC的 面 積 即 可 ， 選 B M O 三 、 求 可 行 域 中 整 點 個 數C x 2x + y 6= 0 = 5 x 例 3 、 滿 足 |x| |y| 2 的 點 （ x ， y ） 中 整 點 （ 橫 縱 坐 標 都 是 整 數 ） 有 （）A、 9 個B、 10 個C、 13 個D、 14 個xy2(x0,y0)解 ： |x| |y| 2 等 價 于xxyy22(xp0,yp0)y (x0,y0)xy2(xp0,yp0)作 出 可 行 域 如 右 圖 ， 是 正 方 形 內 部 （ 包 括 邊 界 ）， 容 易 得 到 整 點 個 數 為 13 個 ， 選

4、 D O 只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除 四 、 求 線 性 目 標 函 數 中 參 數 的 取 值 范 圍xy5y x y + 5 = 0 例 4 、已 知 x 、 y 滿 足 以 下 約 束 條 件xy50，使z=x+ay(a0)x3x + y = 5 取 得 最 小 值 的 最 優 解 有 無 數 個 ， 則 a 的 值 為（）O x=3 x A、 3 B、 3 C、 1 D、 1 解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 線 l ： x+ay 0 ， 要 使 目 標 函 數 z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 優 解有 無 數 個 ，

5、則 將 l 向 右 上 方 平 移 后 與 直 線 x+y 5 重 合 ， 故 a=1 ， 選 D 五 、 求 非 線 性 目 標 函 數 的 最 值例 5 、 已 知 x 、 y 滿 足 以 下 約 束 條 件2x2y20， 則 z=x2 +y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 是 （）xy403xy30y A A、 13 ， 1 B、 13 ， 2 C、 13 ，4 5D、13 ，2 5 5解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 點 （ x ， y ） 到 原 點 的 距 離 的O x 2y + 4 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 平 方 ， 故

6、最 大 值 為 點A（ 2, 3 ） 到 原 點 的 距 離 的 平 方 ， 即3x y 3 = 0 |AO|2=13 ，最 小 值 為 原 點 到 直 線 2x y 2=0 的 距 離 的 平 方 ，即 為4 5， 選 C 六 、 求 約 束 條 件 中 參 數 的 取 值 范 圍例 6 、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 區 域 包 含 點（ 0,0 ）和（ 1,1 ），則 m 的 取 值 范 圍 是（）A、（ -3,6）B、（ 0,6 ）C、（ 0,3 ）D、（ -3,3）y 2x y + 3 = 0 2x y = 0 解 ： |2x y m| 3 等 價 于2 xym3

7、0O 2 xym30由 右 圖 可 知m33, 故 0 m 3 ， 選 C m30只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除七、比值問題當目標函數形如 z y a 時, 可把 z 看作是動點 P x y 與定點 Q b a 連線的斜率，這樣目標函數的最值就轉x b化為 PQ連線斜率的最值。xy20，例 已知變量 x，y 滿足約束條件 x1，xy70，則y x的取值范圍是（）. （A） 9 5，6 （ B）（，9 5 6 ，）（C）（， 3 6 ，）（ D）3 ，6 y解析 x是可行域內的點 M（x， y）與原點 O （0，0）連線的斜率，當直線 OM過點（5 2，9 2）時，

8、y x取得最小值 5；當直線 OM過點（ 1， 6）時， y x取得最大值 6. 答案 A 八、線性規劃應用例 1、某工廠利用兩種燃料生產三種不同的產品 A、 B 、C，每消耗一噸燃料與產品 A 、 B 、C有下列關系：現知每噸燃料甲與燃料乙的價格之比為 2 : 3，現需要三種產品 A 、 B 、C各 50 噸、 63 噸、 65 噸問如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？分析：由于該廠成本與兩種燃料使用量有關，而產品A 、 B 、C又與這兩種燃料有關，且這三種產品的產量也有限制，因此這是一道求線性目標函數在線性約束條件下的最小值問題，這類簡單的線性規劃問題一般都可以 利用二元一次不等式求在可

9、行域上的最優解解：設該廠使用燃料甲x 噸，燃料乙y 噸，甲每噸2t2 元，的最小值即可則成本為z2 tx3 tyt(2x3y )因此只須求x3y10 x5y50,7x9y63 ,又由題意可得x 、y滿足條件5x13y65.作出不等式組所表示的平面區域（如圖）只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除由10 x5y50 ,得A(27,56)7x9y63 .1111由7x9y63 ,得B(117,70)B 時，5x13y65 .2323作直線l：x3y0，把直線l向右上方平移至可行域中的點z2x3y2117370444232323最小成本為444t2311770答：應用燃料甲23噸

10、，燃料乙23噸，才能使成本最低說明：本題中燃料的使用不需要是整數噸，若有些實際應用問題中的解是整數解，又該如何來考慮呢？例 2、 咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9 克、咖啡4 克、糖 3 克，乙種飲料每杯含奶粉4 克、咖啡5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限額為奶粉3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克如果甲種飲料每杯能獲利0.7 元，乙種飲料每杯能獲利 1.2 元，每天在原料的使用限額內飲料能全部售出，每天應配制兩種飲料各多少杯能獲利最大？分析：這是一道線性規劃的應用題，求解的困難在于從實際問題中抽象出不等式組只要能正確地抽象出不等式組，即可得到正確的答案解：設每天配

11、制甲各飲料1x 杯、乙種飲料y 杯可獲得最大利潤，利潤總額為z 元由條件知：z07.x2.y變量x、y滿足9x4y3600,4x5y2000,3x10y3000,x,0y0.作出不等式組所表示的可行域（如圖）只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除作直線l：7.x1 .2y0，把直線l向右上方平移至經過A 點的位置時，z0.7x1 .2y取最大值3 x 10 y 3000 ,0由方程組：4 x 5 y 2000 .0得 A 點坐標 A ( 200 , 240 )答：應每天配制甲種飲料 200 杯，乙種飲料 240 杯方可獲利最大高考真題練習x 3 y 3 0,1. （2010

12、 年浙江理 7） 若實數 x ， y 滿足不等式組 2 x y 3 0, 且 x y 的最大值為 9，則實數 mx my 1 0,（A）2（B）1（C）1 （D）2 解析： 將最大值轉化為 y 軸上的截距，將 m等價為斜率的倒數，數形結合可知答案選 C，本題主要考察了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題xy1a2.(2009年陜西理 11) 若 x，y 滿足約束條件xy1，目標函數zax2y 僅在點（ 1，0）處取得最小值，則2xy2的取值范圍是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) （1，2 ） (B) （4

13、，2 ） (C) ( 4,0 (D) ( 2,4)答案： B解析： 根據圖像判斷，目標函數需要和xy1， 2xy2平行，由圖像知函數a 的取值范圍是（4，2 ）3xy603.(2009年山東理 12)設 x，y 滿足約束條件xy20，y x-y+2=x0,y0若目標函數z=ax+by （a0，b0）的值是最大值為12，-2 2 2 x z=ax+b則2 a3的最小值為 ( ). bO A.25 B. 68 C. 311 D. 4 33x-y-6=0 只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除【解析】 : 不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分, 當直線 ax+by= z （a0，

14、b0）過直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0的交點（ 4,6 ）時 , k目標函數 z=ax+by （a0，b0）取得最大12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6, 而2 a3=2 a3 2 )ba63 b13(ba)13225, 故選 A. b6ab66【命題立意】 : 本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題. 要求能準確地畫出不等式表示的平面區域 , 并且能夠求得目標函數的最值, 對于形如已知2a+3b=6, 求2 a3的最小值常用乘積進而用基本不等式解答b4. （2009 年安徽理 7） 若不等式組xx0y4所表示的平面區域被直線ykx4分為面積相

15、等的兩部分，則x333y4的值是（A）7 3（B）3（C）4 3（D）3高資源網M ，x 74 解析 ：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分ABC 由x3y4得 A（ 1，1），又 B（0， 4），C（ 0，4 3）y y=kx+4 D 33 xy4 S ABC=1 2(44) 14，設 ykx 與 3xDy14的yD5C A 33O BCD1S ABC2 3知x，交點為 D，則由S2225 2k14,k7選 A。233x2y190，5.(2008年山東理 12) 設二元一次不等式組xy80，所表示的平面區域為2xy140使函數yax(a0，a1)的圖象過區域M 的 a 的取值范圍是（）A 1

16、 3B 2，10 C 2 9， D 10 9解： C, 區域 M 是三條直線相交構成的三角形（如圖）顯 然 a 1，只 需 研 究 過 (1,9)、(3,8) 兩 種 情 形，1 3a 9 且 a 8 即 2 a 9.2 x y 2 06.(2010 年 安 徽 理 13) 設 ,x y 滿 足約 束 條件 8 x y 4 0， 若 目標 函 數x 0 , y 0z abx y a 0, b 0 的最大值為 8，則 a b 的最小值為 _。【答案】 4【解析】 不等式表示的區域是一個四邊形，4 個頂點是只供學習與交流此文檔僅供收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除1 (0,0),(0, 2),(2

17、所以 8 ab,0),(1, 4)，易見目標函數在a(1,4) 取最大值 8，ab 的最小值為b2時是等號成立。所以4ab4，所以，在4. 【規律總結】線性規劃問題首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域）則區域端點的值是目標函數取得最大或最小值，求出直線交點坐標代入得 ab 4，要想求 a b 的最小值，顯然要利用基本不等式 . 7.( 2010 年陜西理 14) 鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a , 冶煉每萬噸鐵礦石的 CO 的排放量 b 及每萬噸鐵礦石的價格 c 如下表：a b ( 萬噸 ) c （百萬元）A 50% 1 3 B 70% 05 6 某 冶 煉 廠 至 少 要 生 產 1.9( 萬 噸 ) 鐵 , 若 要 求 CO 2 的 排 放 量 不 超 過 2 ( 萬 噸 ), 則 購 買 鐵 礦 石 的 最 少 費 用 為_ _ ( 百萬元 ). 【解析】 設鐵礦石 A 購買了 x 萬噸，鐵礦石 B購買了y萬噸，購買鐵礦石