1、第6章習(xí)題及詳解6-1增益。試求圖6-93所小電路的頻率特性表達(dá)式,并指出哪些電路的低頻段增益大于高頻段Ri QTR2uiuo(c)解：(a )R2R R2圖 6-93RCj，1R22Rj，1RR2(b)；(b )R2Q，1R1R2 Cj 1R3R4R6R7R6 RRCj，1益小于高頻段增益；(b)和(d)；(d)R3 RR7 RR7Cj 1R1R4R7Cj 1;(a)和(c)低頻段增6-2若系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為解:低頻段增益大于高頻段增益。g(t) =e，+0.5e7 ,試確定系統(tǒng)的頻率特性。11故 G(j )=0.5j 1 j 36-3已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試根據(jù)式1 G(s)=s

2、 1(6-11)頻率特性的定義求閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)=sin(t +305 2cos(5t -45 作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。1解：先求得閉環(huán)傳遞函數(shù) T(s)=。s 2(1)=1 ,T(j1)=1j1 +245 c 1=-=.447 , ZT(j1) =-arctan- =-26.56(2)5 =5,T(j5)=1 j5+2292故 y(t)|tHpO=0.447sin(t +3.449 0.372cos(5t 113.21。6-4某對(duì)象傳遞函數(shù)為G(s)=1Ts 1e-s試求:(1)該對(duì)象在輸入u(t) =sin(8t)作用下輸出的表達(dá)式，并指出哪部分是瞬態(tài)分量;(2)分析T和三增大對(duì)瞬態(tài)分

3、量和穩(wěn)態(tài)分量的影響；(3)很多化工過(guò)程對(duì)象的 T和T都很大，通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定對(duì)象的頻率特性需要很長(zhǎng)時(shí) 間，試解釋其原因。T ， 、T 與斛： (1) uo(t)=2 e T +1 T 后一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量。Ji +(to 2sin(o(t -T) -arctanTeo )前一項(xiàng)為瞬態(tài)分量,T和弋增大，瞬態(tài)分量收斂更慢；穩(wěn)態(tài)分量幅值減小，且相位滯后更明顯。(3)因?yàn)樗矐B(tài)分量收斂太慢。6-5 某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試描點(diǎn)繪制：(1)奈奎斯特曲線;解：各圖如習(xí)題6-5圖解所示。G(s)=工Ts -1(2)伯德圖；(3)尼科爾斯圖。5 O書 8 lawencesahp0.1/T1/T10/TNichols

4、 Chart210240270Open-Loop P hase (deg)Frequency (rad/sec)習(xí)題6-5圖解6-6給定反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下， TOC o 1-5 h z ,、101, 、10s 11(a) G(s) = ；( b) G(s) = ；( c) G(s)= ；(d) G(s)= ；s2s(s 1)s(s 1)s(s 1)(10s 1)10s 1(e) G(s) =2s (s 1)(1)試分別繪出其開(kāi)環(huán)頻率特性的奈奎斯特草圖，并與借助Matlab繪制的精確奈奎斯特曲線進(jìn)行比較。(2)試根據(jù)草圖判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)精確曲線如習(xí)題 6-6圖解所示。其余系

5、統(tǒng)穩(wěn)定。6-7(a)10G二E ； (b)G:(s 1)(s 2)(c) G(s)=0.1(10s 1)(0.5s 1)2s (s 1)(d) G(s)10(s 1) 位裕度。 位裕度。解:s(s20.2s 1)試?yán)L出各系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性，并根據(jù)所得的漸近特性估算截止頻率和相試借助Matlab繪制各系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻精確特性，并確定各系統(tǒng)的截止頻率和相試比較(1)、(2)所得結(jié)果的差別，并解釋出現(xiàn)差別的原因。(1)(a)(c)8c=Mad/s, 7=18； (b)線=242rad/s, =55口；(a)(b)(2) (a)臨界穩(wěn)定(閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軻虛根) 給定反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如

6、下，(2) (a) g(c)，=3.08rad/s, =18白;= 0.84rad/s,=66 ;(3)因漸近特性僅為精確曲線的近似,習(xí)題6-7圖解(b) .c =2.4rad/s,=63 ;(d) c =3.4rad/s,= -13 ;需要修正。6-8測(cè)量某最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，并對(duì)其作漸近特性近似，所得結(jié)果如圖6-94所示，試寫出其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。 ：/ j rad/sec圖6-94 習(xí)題6-8圖10(0.2s 1)解：G(s)s(2s 1)6-95所示，試求其各自對(duì)應(yīng)的傳6-9已知最小相位系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖(c)圖 6-95習(xí)題6-9圖解：(a) G(s) =4;

7、(b) G(s) =4(10s+1)；( g(s)= 2 叱51).,其中參5s 1s 1s 0.04 s0.4 s 1數(shù)，待定；(d) G(s)=一叱1。s(20s 1)(s 1)(0.5s 1)6-10 試證明圖6-95 (c)對(duì)應(yīng)反饋系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)為Ka=g2,并求其值。解：Ka =個(gè)5=0.2。6-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，其中各待定參數(shù)均大于零，G(s)=K( 1s 1)( 2s 1)3s試分別采用奈奎斯特判據(jù)、勞斯判據(jù)和根軌跡方法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。解：奈奎斯特判據(jù)見(jiàn)習(xí)題6-11圖解(a) , K印2(7 +%) 1時(shí)穩(wěn)定， 大血”+切1,故封閉曲線調(diào)整后

8、的奈奎斯特T（s+0j）-1曲線順時(shí)針包圍（1, j0）點(diǎn)一圈，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在右半s平面有一個(gè)極點(diǎn)，故閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面無(wú)極點(diǎn)。對(duì)于系統(tǒng)（2）,當(dāng)8=衣時(shí)，其開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線穿過(guò)（1, j0）點(diǎn)，表明s=WKj為其閉環(huán)極點(diǎn)。故應(yīng)使包圍右半s平面的封閉曲線逆時(shí)針繞過(guò)原點(diǎn)和這兩個(gè)閉環(huán)極 點(diǎn)。分析方法同系統(tǒng)（1）,易知閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面無(wú)極點(diǎn)。6-15試討論去掉6.4.3節(jié)例6-3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=100(s 2)s(s 1)(s 20)中的帶有零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（s+2）/2,對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度有何影響。解：虛、實(shí)線分別對(duì)應(yīng)于去掉零點(diǎn)前、后對(duì)數(shù)幅頻漸近特性和相頻特性。去掉該環(huán)節(jié)前

9、后，對(duì)數(shù)幅頻特性分別以 -20dB/dec和-40dB/dec的斜率穿過(guò)零分貝線，故前者相位裕度必然 遠(yuǎn)大于后者。根據(jù)相頻特性也可得到同樣的結(jié)論：去掉零點(diǎn)后相頻特性迅速下降，穩(wěn)定裕度 大大降低。與 c1ft 5rad/s 和根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性可求得，去掉該環(huán)節(jié)前后，截止頻率分別為22 ft3rad/s , 進(jìn)而得 % =180 n+arctaMc1)-90 0 arctan(6c1)arctan(1) =65.5 口 和 220c24 =180 -90 arctan(0c2) arctan()=9.9 20B-11011001010rad/sec題圖6-15題6-15縈統(tǒng)的宿德圖漸近線26-

10、16設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=10s Ke100s 1試確定:(1)使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值取值范圍。(2)使相位裕度之30白的K值取值范圍，并求出閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。(3)去掉延遲環(huán)節(jié)重復(fù)上述計(jì)算。解：其草圖如習(xí)題6-16圖解所示，其中，中之_”絲幽Larctan(100與)。簡(jiǎn)單試探可知，31co fe：0.163rad / s時(shí)，中；t180;缶st0.114rad/s時(shí)，邛七一1500;分別代上述值入Ke0如 一 -一 G( j co) = =1 ,可求信 K取大取值。10 08 +1使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值取值范圍約為0K16.3。使相位裕度之30的K值取值范圍

11、約為0K-90,故Ka0即可。三種情況下，穩(wěn)態(tài)誤差均為，6-17系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=Ks(0.2s 1)(s 1)要求:(1)繪制系統(tǒng)當(dāng)K =1時(shí)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性草圖，并估算系統(tǒng)的相位裕度。(2)根據(jù)系統(tǒng)的相位裕度和截止頻率估算系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)。(3)設(shè)K增大為10,重復(fù)上述計(jì)算。解：K增大前、后相頻特性不變，幅頻特性上升 20分貝，分別如習(xí)題6-17圖解(a)虛、 實(shí)線所示。K增大前、后截止頻率分別為切ci Mrad /s和52之3.2rad /s ；相位裕度分別為：Z電34 1和/1-13 口(按精確曲線所得分別為切ci-0.8rad / s , 外化43 口和6 c2 &2

12、.2rad/s,之-9口)。K增大前性能指標(biāo)：因?yàn)?K=1時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性幾乎以斜率-20穿過(guò)零分貝線，且第二 個(gè)轉(zhuǎn)折頻率5rad/s相對(duì)遠(yuǎn)離切c1 ,因此可以將其近似為典型二階系統(tǒng)處理，根據(jù)圖 6-59和圖 6-60 ,易知其階躍響應(yīng)最大超調(diào)量約為。%定30% ,調(diào)節(jié)時(shí)間約為ts%8s (按精確曲線所得分 別為仃生25%和ts之7.5s ；實(shí)際仿真結(jié)果為 仃%之25%, ts定8s)。K增大為10后系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此無(wú)法討論快速性和平穩(wěn)性。Bode Diagram(a)Time (sec)(b)單位階躍響應(yīng) 習(xí)題6-17圖解6-18 圖6-97給出了(a)和(b)兩組單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻

13、特性。設(shè)各開(kāi)環(huán)系統(tǒng)均為最小相位系統(tǒng),(1)試定性比較各組內(nèi)系統(tǒng)之間的性能。(2)試求出各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并借助Matlab仿真判斷(1)中定性分析的結(jié)果是否正確。(a)圖6-97 習(xí)題6-18圖解：圖 6-97 (a):平穩(wěn)性：三系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性均以斜率-20穿過(guò)零分貝線，且截止頻率兩端均具一定寬度，因此三系統(tǒng)的平穩(wěn)性均比較良好；第二個(gè)系統(tǒng)中頻段寬度相對(duì) 較窄，故可預(yù)計(jì)其單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量是三個(gè)系統(tǒng)中最大的，而另外兩 系統(tǒng)應(yīng)具有相同的最大超調(diào)量。快速性：第三個(gè)系統(tǒng)截止頻率最高，故響應(yīng)最快速；其余兩系統(tǒng)的快速性差別不大。準(zhǔn)確性：三系統(tǒng)的低頻段斜率亦均為-20,均為I型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)精度高。而

14、第三個(gè)系統(tǒng)低頻段增益顯著高于前兩個(gè)系統(tǒng)，故其穩(wěn)態(tài)精度最高。圖 6-97 (b):平穩(wěn)性：根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性穿過(guò)零分貝線的斜率可知第一個(gè)系統(tǒng)的平穩(wěn)性顯著 優(yōu)于其余兩系統(tǒng)。其余兩系統(tǒng)平穩(wěn)性差別不大。快速性：第三個(gè)系統(tǒng)截止頻率最高，且可推出其放大系數(shù)K最大，故其響應(yīng)最快；第二個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)最慢。準(zhǔn)確性：三個(gè)系統(tǒng)均為II型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)精度高。而第三個(gè)系統(tǒng)低頻段增益顯著高 于前兩個(gè)系統(tǒng)，故其穩(wěn)態(tài)精度最高，第二個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度最低。0.95(5s+l)s(14.3s 1)(2s 1)(0.5s 1)圖 6-97 (a):G(s)=001, G(s) s(20s 1)(s 1)(0.5s 1)G(s)=6(s 1)s

15、(2s 1)(0.1s 1)(0.05s 1)圖 6-97(b):21, g/0, G(s)=s2(0.2s 1)s2(0.2s 1)s2(0.2s 1)6-19 某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖 6-98所示，其中10c 1 1 10(0.5s 1)、 Gc (s) =，G p (s)=0.125s 1s(s 1)試按Y和coc估算系統(tǒng)的日域指標(biāo)6%和ts。圖6-98 習(xí)題6-19圖解：截止頻率飆定4.6rad/s,相位裕度 晨49 0 (按漸近特T古算為0c=5rad/s, 丁化47.5 按典型二階系統(tǒng)近似，根據(jù)圖6-59和圖6-60 ,系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量6%之18% ;調(diào)節(jié)時(shí)間ts :、5/

16、-，c =1.1s。因按開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)按典型二階系統(tǒng)處理，忽略了零點(diǎn)和一小慣性極 點(diǎn)的影響，故超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間估計(jì)值與實(shí)際值會(huì)有一定的偏差(仿真結(jié)果：仃%之23% ;調(diào)節(jié)時(shí)間ts M.1s)。Bode Diagram / rad/sec習(xí)題6-19圖解對(duì)數(shù)頻率特性6-20 某高階控制系統(tǒng)， 若要求6%=18% , ts =0.1s,試由近似公式確定頻域指標(biāo)6c和兀解：由式(6-41 )和(6-42 ),尸定 70 口； 8c 6.6/ts =66rad/s o6-21已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) =10/s(s +1),要求：(1)試求其開(kāi)環(huán)頻率特性的 不和8c。(2)試借助MATL

17、A核制該系統(tǒng)的尼科爾斯圖，求其閉環(huán)頻率特性的Mr和缶b。(3)分別用上述兩組特征量估算系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)6%和ts。解：(1)試求其開(kāi)環(huán)頻率特性的 手和網(wǎng)。(截止頻率coc之3.2rad ,相位裕度廠定18口)(2)試借助MATLAB繪制該系統(tǒng)的尼科爾斯圖，求其閉環(huán)頻率特性的 ”和6。(作尼科 爾斯圖，可讀出開(kāi)環(huán)頻率特性與尼科爾斯圖線的等 9dB線相切，故Mr之3 ;與-3dB線交點(diǎn)處頻 率約為6b 5t4.8rad s)(3)分別用上述兩組特征量估算系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)6%和ts。(根據(jù)式(6-69)式(6-72),系11統(tǒng)單位階躍響應(yīng)最大超調(diào)量6%也60%,調(diào)節(jié)時(shí)間分別約為5.8s和5.6s。)Ni

18、chols Chart40JBdrpaG DOOI-neDO300.5 dB1 dB%3 dB6 dB0 dB0.25 dB f II f、-1 dB 八 y dB/-6 dB-12 dB-20 dB-40 dB45 -90 -53180522 -70-26-22Open-Loop Phase (deg)習(xí)題6-21圖解尼科爾斯圖設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為cs 1G(s):11s(2s 1) s2 一 s 1410要求：解：試手工繪制其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率漸近特性，并根據(jù)其漸近特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用MATLA酸制其精確的對(duì)數(shù)頻率特性，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試根據(jù)(1)和(2)的結(jié)果討論諧

19、振環(huán)節(jié)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。漸近和精確曲線如習(xí)題 6-22圖解所示，其中折線段組合為漸近特性。按漸近特性，開(kāi)環(huán)頻率特性無(wú)正負(fù)穿越，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。但精確特性表明，開(kāi)環(huán)頻率特性在co=2rad/s附近出現(xiàn)一次負(fù)穿越，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)極點(diǎn)落于右半s平面。20-40-90-31510-1-135-180-225-270100，：/ j rad/sec習(xí)題6-22圖解對(duì)數(shù)頻率特性Bode Diagram6-23 已知一雙回路控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-99所示，試借助 MATLA瞅件，采用奈奎斯特判12據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值取值范圍。解:習(xí)題6-23圖圖 6-99Nyquist Diagram(a)

20、內(nèi)環(huán)路奈奎斯特曲線erxA Vrap9ars i xAy r an ig a3000-10 0 0200010000-2000-3000-10 0-5 0(b)系統(tǒng)奈奎斯特曲線Nyquist DiagramReal AxisNyquist DiagramOPIXA yapm mlSystem: syscls Real: -0.0752 Imag: 5.86e-005 Freq (rad/sec): -10.6-0.8-0.6-0.4-0.2Real Axis(c)系統(tǒng)奈奎斯特曲線局部放大圖習(xí)題6-23圖解各環(huán)路開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù):Tin10(1.25s+1)(15.25s 1) b.

21、0905s 2 2 0.5312 0.0905s 1 1故為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K值取值范圍為0K 1為正實(shí) 數(shù)。由閉環(huán)傳遞函數(shù)得131 KGM1T(j 180)= 7； : 01-1 KGM KGM - 1注意到 KGM 1=1/T(j必80)=1/|T(j 必80)0,進(jìn)一步得KGM = 1T(j M80)由于 Mr T(j180),得KGM_1LMr又因G(j0c)=1,故有Tjc)1二 1 二G(j 二 c)12sin 2利用圖6-74所示的關(guān)系Mr歸納結(jié)果：最大峰值指標(biāo)1+G jj =2sin(Y/2),由上式易得1r 1 、 1至= 2 2arcsin 之rad2sin(42)12Mr

22、j MrMr與穩(wěn)定裕度指標(biāo)的關(guān)系為1Kgm 一1 而;一 2arcsin2MrKGM 之 1.8, 0 0.8 rad =45.8oo1PM1,為 一1證畢。若M r=1.25 ,則系統(tǒng)的幅和相穩(wěn)定裕度分別為Wp(S)=(s.；K2 +cj2(s$2)26-25性能權(quán)函數(shù)也可選如下形式試確定其倒數(shù)1/wP(s)的伯德幅頻特性曲線，與性能權(quán)函數(shù)式(6-100)比較指出兩者對(duì)性能要求的區(qū)別在何處。解題中的性能權(quán)函數(shù)要求靈敏度函數(shù)的伯德幅頻特性S(jo)在中頻段比式(6-100)要求的斜率更大，在最大峰值發(fā)生的位置變化不大的前提下，這意味著擴(kuò)大了控制作用的帶 寬0,缶s,因此，該性能權(quán)函數(shù)的要求比式

23、(6-100)更側(cè)重克服外部擾動(dòng)輸入的影響。6-26 考慮圖6-80所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)。若不確定性對(duì)象為Gp(s)(1 Ts), 0 T Tmax即標(biāo)稱對(duì)象上附加了一個(gè)不確定性零點(diǎn)環(huán)節(jié)，其中，Gp(s)為標(biāo)稱對(duì)象，Tmax為已知的常數(shù)上界，T是滿足0 WT WTmax的未知不確定常參數(shù)，即只知取值范圍的常數(shù)。試求不確定性 對(duì)象模型白權(quán)函數(shù) W(S) o解：由題意可得14=p( j -)Gp(j -)Gp(j )(1 jT )-Gp(j )Gp(j -)jTo| jTmax3因上式對(duì)于任何頻率 0和任意0 0 時(shí)，ZGc(jo) 0且有界。令d Gc(j) =0得其唯一極值點(diǎn)處頻率滿足 d -

24、TOC o 1-5 h z 1 a1 a 處取得取大值，為 = arctan-尸 =arcsin。2 :1 7-7某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)=,s(0.1s 1)(s 1)要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essr8 rad/s,相位裕度y040：,，試判斷單級(jí)串聯(lián)超前校正裝置能否滿 足性能要求。解：19由essrV 0.1易知應(yīng)取K210。令K =10。此時(shí)，校正前對(duì)數(shù)幅頻特性以斜率M0穿過(guò)零分貝線，故穩(wěn)定裕度較低。按漸近性特性可求得，截止頻率8c r： 3.2rad/s ,相位裕度70 (精確值為 盤定3.0rad/s, 71.6),不滿足要求。可考慮采用超前校正提供

25、穿越零分貝線的斜率，如習(xí)題7-7圖解所示。1因存在極點(diǎn),校正后截止頻率 如應(yīng)適當(dāng)小于10,以保證一定的中頻段寬度。初0.1s 1選 成=5rad/s。則根據(jù)習(xí)題 7-7 圖解，40lg(cT) =20lg(0；T)= 1/T =2rad/s。按相位裕度040的要求，arctan(o(T斑) 8 rad/s由于存在極點(diǎn) ,無(wú)法保證足夠的中頻段寬度,0.1s 1故難以通過(guò)單級(jí)超前校正保證高達(dá)40o的相位裕度。7-8某單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G0(s)=10/s2 ,要求系統(tǒng)在斜坡函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為0,相角裕度45：試判斷應(yīng)采用何種串聯(lián)校正方式改善系統(tǒng)性能，并給出合 適的校正裝置的傳遞函

26、數(shù)。解:20習(xí)題7-8圖解校正前后系統(tǒng)伯德圖7-8圖易求得相位裕度0=0白，不滿足要求。校正環(huán)節(jié)必須提供超前相角，根據(jù)習(xí)題解，可考慮米用串聯(lián)超前校正環(huán)節(jié)。根據(jù)習(xí)題7-8圖解易知，引入適當(dāng)?shù)某靶Ｕh(huán)節(jié)后可使穿越零分貝線的斜率提高 為0。只要保證該斜率的頻段在截止頻率兩端均具有足夠?qū)挾龋纯蓾M足相角裕 度丫045&的要求。一種可行的方案為Gc（s） = 0.5s* ,易求得此時(shí) 飆=5rad/s 。0.08s - 1檢驗(yàn)校正方案：計(jì)算* =180NGo（jS；）Gc（j。）46、滿足要求。7-9試說(shuō)明串聯(lián)滯后校正是否能解決習(xí)題7-7系統(tǒng)所提出的性能要求，若可行，試給出合適的校正裝置的傳遞函數(shù)。解

27、：（1）可行，因?yàn)橄到y(tǒng)無(wú)快速性要求，且低頻段斜率為-20。故可考慮引入滯后校正環(huán)節(jié)使得校正后系統(tǒng)以斜率-20穿過(guò)零分貝線，同時(shí)恰當(dāng)選擇參數(shù)以保證該斜率的頻段在截 止頻率兩端均具有足夠?qū)挾龋纯蓾M足相角裕度y040的要求。取K =10,按中頻段具有足夠?qū)挾鹊囊螅瑫r(shí)考慮到被控對(duì)象存在極點(diǎn),可初選s - 1*孰 =0.5rad/s和1/T =6c/3 =0.167 rad/s。（注：由于其余轉(zhuǎn)折頻率與0c =0.5rad/s的距離均在十倍頻程以上，故校正后系統(tǒng)相位裕度基本可根據(jù)該中頻段寬度估算，*arctan（OT）-arctan =45 ,預(yù)留了足夠裕度）。根據(jù)習(xí)題7-9圖解，成立201g P

28、t =20lg（；T） +40 lg1 =10/0； =20。由此可確定校正環(huán)節(jié)為Gc(s)檢驗(yàn)：V* =180。-90 -arctan(2丁成)+arctan(Tc) -arctan-arctan(0.1oc) =43口，滿足要求。(2)不可行，因?yàn)闇笮Ｕ龝?huì)使截止頻率左移，不能同時(shí)滿足平穩(wěn)性和快速性的要求。7-10某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為、 KGo二；(TV21要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essrv0.1,階躍輸入下的最大超調(diào)量6%v 20%。試判斷當(dāng)前系統(tǒng)是否滿足要求；若不滿足要求，試采用頻率法設(shè)計(jì)滯后校正環(huán)節(jié)。若增加要求調(diào)節(jié)時(shí)間tsV 1s,試采用頻率法設(shè)計(jì)超前校正

29、環(huán)節(jié)。解：按典型二階系統(tǒng)將時(shí)域性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為頻域指標(biāo)，根據(jù)圖 6-59知要求落至46,考慮一定 裕度，可初選 湃之50口。由essrv0.1易知應(yīng)取K之10 ;令K =10。此時(shí)，校正前對(duì)數(shù)幅頻特性以 斜率S0穿過(guò)零分貝線，故穩(wěn)定裕度較低。(1)易求得校正前系統(tǒng)相位裕度718,遠(yuǎn)未滿足要求。可考慮采用滯后校正提高穿越零分貝線的斜率(可參考習(xí)題7-9圖解)。由于期望相位裕度較大，故應(yīng)按寬中頻段形式設(shè)計(jì)；考慮到被控對(duì)象存在極點(diǎn),s 7可初選 0 =0.3rad/s 和 i/t =曲/3 =0.1rad/s ；如此，arctan(C0eT) -arctan coc %55口，預(yù)留 了足夠裕度。參考習(xí)

30、題7-9圖解，成立20lg宙=20lgg；T)+40lg P=10/5=33。由此可確定校正環(huán)節(jié)為Gc(s) = 10s +1 o330s - 1基于Matlab搭建模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明階躍響應(yīng)超調(diào)量稍微超過(guò)20%。為此，適當(dāng)左移1/T以增大相位裕度，重選校正環(huán)節(jié)為Gc(s)=+1 。重新仿真驗(yàn)證，可知330s 1 此時(shí)超調(diào)量滿足要求。(2)考慮采用超前校正同時(shí)提高穿越零分貝線的斜率和截止頻率(可參考習(xí)題 7-7圖解)。根據(jù)圖6-60可初選就5rad/s。取0c =5rad/s。比較校正前、后漸近特性可求得：401ggeT) =20皿底丁)： 1/t =2rad/s。按相位裕度/* 50

31、 /勺要求，arctan(ccrccc) 180 5-90 5-arctan c +arctan(Toc)-50 5,故可選1/(叫)=8.8rads。由此可構(gòu)造校正環(huán)節(jié)Gc(s) = 0.5s.1。0.11s - 1基于Matlab搭建模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明階躍響應(yīng)超調(diào)量約20%,但調(diào)節(jié)時(shí)間略大于1s。為此，重選加=6rad/s ,重復(fù)上述步驟可得Gc(s) = 06sli 。再次仿真驗(yàn)證知該校正環(huán)0.11s - 1節(jié)滿足要求。7-11本章例7-5在超前校正設(shè)計(jì)步驟中需要根據(jù)根軌跡和陰影區(qū)域邊緣交點(diǎn)計(jì)算傳 遞系數(shù)的可調(diào)范圍。a)若其中一對(duì)交點(diǎn)為 T.7ja,試確定參數(shù)a的大小，并確定相應(yīng)

32、非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的位置 和根軌跡增益Kg。 gb)若其中一對(duì)交點(diǎn)為 Tjb,試確定參數(shù)b的大小，并確定相應(yīng)非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的位置和 根軌跡增益Kg。 g解：(1)因?yàn)殛幱皡^(qū)斜線部分滿足0=0.5,所選擇閉環(huán)期望極點(diǎn) T.78 士 ja落于該斜線上，故22a =7.78 xtan(cos,，)=7.78 xtan(cos,0.5) =13.4754 &13.48。校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為之和的法則，可知第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)G(s) =一K(s + 3)一，根據(jù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)極點(diǎn) s(s 1)(s 18)KgKgs 3s(s 1)(s 18)s344s(s 1)(s 18)=1= K。=277.

33、7519 ： 278 。 g=1= K0 =277.7651 278 。 gs -7.78:：；j13.48-p3 =0-1 -18 -(-7.78 + 13.48j) (7.78 13.48j) = -3.44 o(2)校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=K (s +3)，代s = 4+bj入/G(s)=180 口可 s(s 1)(s 18)得，/bj N(邙+bj) /(-2+bj) 2(15+bj尸-180% 故b b TOC o 1-5 h z b . b . b3 2, barctan arctan arctan一 =90 = arctan 3 , , -arctan 903215

34、1_ b b153 279b b3一.narctan2 =90 = b=3,舍去-3。90 -10b2Go(s)二s(0.1s 1)( s - 1)0 ,最大超調(diào)量 8%=4.3%,調(diào)節(jié)時(shí)間tsV3 so試用根軌7-12已知某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為 跡法設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置的傳遞函數(shù)。解：零極點(diǎn)形式為:Go(s)10KKgs(s 10)(s 1) s(s 10)(s 1)Kg =10K(1)7-12圖解(a)所示，為突出設(shè)計(jì)要點(diǎn)，僅畫出實(shí)部大于-4的校正前系統(tǒng)根軌跡如習(xí)題 部分。23j 習(xí)題7-12圖解(a)校正前的根軌跡(實(shí)部大于 -4的部分)由。 0.70

35、7 ,取，=0.707。由ts W3s可得處n之1 ,取 3n =1。故期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)落于習(xí)題7-12圖解(a)中陰影部分區(qū)域。由于未校正系統(tǒng)根軌跡不穿過(guò)陰影區(qū)域，故無(wú)法通過(guò)改變 K =Kg /10使系統(tǒng)性能滿足要求。 在陰影區(qū)域的內(nèi)邊緣初選期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為Sa,b = -1.2 土j ,如習(xí)題7-12圖解(a)中A、B兩點(diǎn)。可增加串聯(lián)超前校正使根軌跡左移，穿過(guò) A、B兩點(diǎn)。在A點(diǎn)處， ZGo (SA ) - - SA (SA - (SA 10)=- (-1.2 - j) - ( -0.2 - j) 一/(8.8 j)GOG=-153.4 -135 7.1=-248根據(jù)式(7-17)得

36、Q =180-/Go(sA) =180 +248Z360 +68 1 為方便設(shè)計(jì)，取校正環(huán)節(jié)的零點(diǎn)為1.2,則如習(xí)題7-12圖解(b),張角為Q的兩條射線與負(fù)實(shí)軸分別交于_1.2和4.67 。故校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為將 Sa,b =1.2 土j 代入 Go(s)Gc(s)Isb *=。得對(duì)應(yīng) K 之3.7。A, B基于Matlab搭建模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明階躍響應(yīng)最大超調(diào)量約6%。為此稍稍降低K=3,重新檢驗(yàn)知，階躍響應(yīng)最大超調(diào)量小于4%,調(diào)節(jié)時(shí)間小于2.1s滿足要求。因?yàn)镮型系統(tǒng)，故滿足階躍響應(yīng)無(wú)靜差要求。24應(yīng)指出的是，由于系統(tǒng)對(duì)最大超調(diào)量要求較高， 因此K值的可調(diào)范圍非常窄，只能在

37、3 附近微調(diào)。因此該系統(tǒng)若采用單級(jí)超前校正，其實(shí)用性不高。7-13已知某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)=Kg(s 1)(s 2)要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差essrV 0.1,單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量6%M20,調(diào)節(jié)時(shí)間ts 10 ；令Kg =20。由前述7-10題解已知可初選V* 50o根 據(jù)圖6-60可初選 加0.5rad/s。考慮一定裕度，取 & =1rad/s。由于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)兩極點(diǎn)靠得很近，故其相位在1rad/s附近頻段下降很快。系統(tǒng)對(duì)相位裕度的要求比較高，單純的超前校正通常難以補(bǔ)償這兩個(gè)極點(diǎn)引起的滯后相位。而若僅采用滯后校正，則需要將校正后的截止頻率置于1rad/s左方，

38、并遠(yuǎn)離兩極點(diǎn)的轉(zhuǎn)折頻率，如此將難以滿足快速性的要求。顯然，該系統(tǒng)的校正需要同時(shí)兼顧中低頻段較寬的范圍， 故可考慮在積分環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上再增加滯后-超前校正。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，可考慮取超前校正的零點(diǎn)丁2$+1為$+1,以抵消被控對(duì)象的一個(gè)極點(diǎn)。滯后校正會(huì)引入負(fù)相位，考慮預(yù)留一定裕度A=10 ,可按 arctan(T2。；)&80。-90。一小-2 r c 0t53C 3一* 生 4 電萬(wàn)初選 1/(aT2) =16.7rad/s。為保證中頻段寬度，初選滯后校正環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率為1Tl =3/10 =0.1rad/s。參考習(xí)題7-9 圖解，成立 201g .=20血8工)+40lgP =10/成=10。由此可

39、確定校正環(huán)節(jié)為Gc(s)=s-o100s - 1 0.06 s 1基于Matlab搭建模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明階躍響應(yīng)超調(diào)量小于16%,調(diào)節(jié)時(shí)間小于8s,滿足要求。(2)根軌跡法增加積分環(huán)節(jié)后，被校正對(duì)象成為Go (s)Kgs(s 1)(s 2)由6% E20可得0 0,45 ,考慮一定裕度取 U=0.5。由ts E10s可得 fen20.3。由此可確定期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的候選區(qū)域。初選期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為sa,b =-0,8士j ,則在A點(diǎn)處， Go (sa) = - sa-/(sa 1)-/(sa 2)- (-0.8 - j)0.2 - j)1.2 - j)=-128.66 -78.7 -3

40、9.8 : T80 -67根據(jù)式(7-17)得Q =180NG； (sa) =67 :為方便設(shè)計(jì)，取校正環(huán)節(jié)的零點(diǎn)為-1則張角為Q的兩條射線與負(fù)實(shí)軸分別交于T和-6 (準(zhǔn)確值為-5.8)。此時(shí)，校正后系25統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 Go(s)Gc(s)=Kgs 1Kgs(s 1)(s 2) s 6 s(s 2)(s 6) 按穩(wěn)態(tài)精度要求，Kg/(2X6)之10 ,若已取 Kg =20 ,則滯后校正環(huán)節(jié)參數(shù)應(yīng)滿足p 2120/10 =12，取P =12 ,采用滯后校正環(huán)節(jié)s+0.12。s - 0.01基于Matlab搭建模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明階躍響應(yīng)超調(diào)量小于20%,調(diào)節(jié)時(shí)間小于10s,滿足要求。7

41、-14考慮本章例7-9 ,若反饋校正裝置由原來(lái)的Gc(s) =1.56s/(1.25s+1)調(diào)整為G . 1.56(12.5s 1) Gc(s) 1.25s 1要求：(1)求調(diào)整后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。(2)與調(diào)整前系統(tǒng)比較，開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)是否下降？解：(1)調(diào)整后內(nèi)部環(huán)路的傳遞函數(shù)為520.1s F s 112.5s 10-1.56(12.5s 1)52 0 0.125s3 1.475s2 197.3s 16.6-1.25s 10.1s 1 s 1故調(diào)整后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：512.5s 1032s 0.125s1.475s197.3s 16.6(2)調(diào)整前的開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)為50。調(diào)整后，開(kāi)環(huán)傳遞

42、系數(shù)減小為 也 =3.01 ,穩(wěn)態(tài)精度將顯16.6著降低。1s ,且保持原7-15 設(shè)某典型二階系統(tǒng)如圖7-53所示。為使階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間下降為最大超調(diào)量不變，試確定反饋校正裝置的傳遞函數(shù)。圖7-53 習(xí)題7-15圖解：該系統(tǒng)為典型二階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)=-一，其開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性s(0.5s 1)曲線如習(xí)題7-15圖解(a)所示。2640Bode Diagram-180I I L I L ILI I I II II 10 110 0101Frequency (rad/sec)習(xí)題7-15圖解(a)校正前和期望系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線按漸近性特性可得，201g10 =20lg- +40

43、lg= 0c=4.5rad /s,相位裕度之24(精確 12值為網(wǎng)%4.3rad /s, 為25多。根據(jù)式(6-37)或圖6-61,階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間約為 3s,不滿足要求。最大超調(diào)量不變，即相位裕度不變，為縮短調(diào)節(jié)時(shí)間至 1s,截止頻率應(yīng)增大為校正前的 3 倍，即 coc &4.3X3=13rad /s,尸 土24口。若能將對(duì)數(shù)頻率特性整體右移至轉(zhuǎn)折頻率約為6rad/s,如習(xí)題7-15圖解(a)中虛線所30小,即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 Go(s)=30一，則截止頻率和相位裕度滿足要求。根據(jù)習(xí)題 7-15 s(1 s 1)6圖解(b),易求得口 =9 , P =1。習(xí)題7-15圖解 (b)校正后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

44、圖7-16某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)Ks(s 1)(0.2s 1)試設(shè)計(jì)PID控制方案，使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo)：(1)在最大指令速度為 50 */ s時(shí)，位置滯后誤差不超過(guò) 1 ;(2)相位裕度不小于45；(3)幅值裕度不低于 3dB;(4)階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間不超過(guò) 3s。解：采用PID校正后，系統(tǒng)無(wú)差度型次提高為II型，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必然滿足穩(wěn)態(tài)精度要求。計(jì)算期望性能指標(biāo)27 TOC o 1-5 h z 按要求(2),期望相位裕度Y A45口。按要求(4),將校正后系統(tǒng)近似為典型二階系統(tǒng)，按圖6-61或式(6-37), 7定45時(shí)，階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間ts與校正后期望截止頻率6c近彳

45、以滿足tsQc ；t 6 ,故取0c =2rad /s。串聯(lián)PID校正環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為Gc(s)=色丁一+*+1 (Tis+1)(21) TisTis 選擇微分時(shí)間常數(shù).d為最大程度地利用零點(diǎn)1/%所提供的超前相位，應(yīng)使 -1/% 45可得id 0.42 s/rad 。為留一定余地，初選 笈=0.5 s/rad。選擇積分時(shí)間常數(shù)T初選 T =20% =10 s/rad。確定比例系數(shù)Kpp選擇合適的Kp使校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性正好在co；=2rad，s穿過(guò)零分貝線，即 *、- . . *、Go( J c)Gc( J8c )KP (dJ c 1)(TiJ -c - 1)*TiJ c10* * .

46、 * .J c(0.2j c 1)(J c 1)解之得Kp =0.34。檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果。7-16校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) ： 0.34(0.5s 1)(10s 1 ,對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)幅頻特性如習(xí)題 s2(0.2s - 1)(s 1)圖解所示。其截止頻率為2rad，s，相位裕度約為46,滿足給定要求。控制實(shí)現(xiàn)。若采用數(shù)字控制器編程實(shí)現(xiàn)，則其連續(xù)形式的控制規(guī)律為u(t) =0.34 e(t) ；e( .)d . 0.5也_10 0dt其中，e(t)為偏差，也是PID控制器的輸入；u(t)為控制器的輸出。28LMWTeangaM501003120-180Bode Diagram 100-15010-2

47、10-1習(xí)題7-16圖解100101102Frequency (rad/sec)校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性7-17為方便操作人員進(jìn)行 PID參數(shù)整定，工程師們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出了一些口訣如下：參數(shù)整定找最佳，從小到大順序查，先是比例后積分，最后再把微分加； 曲線振蕩很頻繁，比例度盤要放大，曲線漂浮繞大灣，比例度盤往小扳； 曲線偏離回復(fù)慢，積分時(shí)間往下降，曲線波動(dòng)周期長(zhǎng)，積分時(shí)間再加長(zhǎng)； 曲線振蕩頻率快，先把微分降下來(lái)，動(dòng)差大來(lái)波動(dòng)慢。微分時(shí)間應(yīng)加長(zhǎng)； 理想曲線兩個(gè)波，前高后低4比1, 一看二調(diào)多分析，調(diào)節(jié)質(zhì)量不會(huì)低。其中，比例度盤 P =1/ Kp。若可將被校正對(duì)象的傳遞函數(shù)近似為Go=Ke-s/(T

48、s +1),試通過(guò)PID的頻率特性曲線解釋上述說(shuō)法。解：K 一通吊可將機(jī)械或熱力學(xué)系統(tǒng)近似為Go(s) =eT，其對(duì)數(shù)頻率特性如習(xí)題 7-17圖解(a)Ts - 1所示。Frequency (rad/sec)習(xí)題7-17圖解(a)一階慣性滯后組合系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性串聯(lián)P、I、D三環(huán)節(jié)的作用可通過(guò)其對(duì)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的影響來(lái)分析。2串聯(lián)PID Gc(s) = Ti 7ds * 1的頻率特性如習(xí)題 7-17圖解所示。通常，T Td , Ts2故Gc 4 Tx Tis 4(Tis 1)(,s D 。記校正后系統(tǒng)截止頻率為 加，各參數(shù)調(diào)整 TsTis的效果如下：1)增大P =1/Kp ,則幅頻特性下降，

49、截止頻率減小，快速性下降，但間接增大相位裕度， 提高平穩(wěn)性；反之幅頻特性上升，截止頻率增大，相位裕度減小，系統(tǒng)響應(yīng)快速，但 穩(wěn)定性下降。“曲線振蕩很頻繁”反映出閉環(huán)系統(tǒng)阻尼系數(shù)過(guò)小，系統(tǒng)響應(yīng)不平穩(wěn)； 而“曲線漂浮繞大灣”反映出閉環(huán)系統(tǒng)阻尼系數(shù)過(guò)大，響應(yīng)過(guò)緩。因此應(yīng)分別增大和 減小 P =1/ Kp。2)環(huán)節(jié)Ts上會(huì)引入負(fù)相位，增大Ti可以減小該負(fù)相位對(duì)相位裕度的影響，但是也會(huì)降 Tis低各頻段的增益，使系統(tǒng)快速性變差。“曲線偏離回復(fù)慢”表明過(guò)渡過(guò)程的后半段變化緩慢，反映出系統(tǒng)低頻段增益過(guò)低；此時(shí)，若不方便減小P=1/Kp,可考慮減小Ti ,以達(dá)到僅提高低頻段增益而盡量不影響其他頻段的效果。“曲

50、線波動(dòng)周期長(zhǎng)”表明相位裕度和截止頻率均過(guò)低，故而存在低頻振蕩；此時(shí)若單純調(diào)整P=1/Kp,則難以同29時(shí)兼顧相位裕度和截止頻率；為此，可聯(lián)動(dòng)增大丁減小P=1/Kp ,不改變中頻段增益，達(dá)到提高相位裕度但不降低截止頻率的作用。3）若校正前系統(tǒng)截止頻率大于 工，則增大微分時(shí)間 將可能使0c變大，且提高超前相 d角。若被校正對(duì)象相頻特性在如附近下降緩慢，則增大微分時(shí)間加可同時(shí)改善系統(tǒng)平 穩(wěn)性和快速性，但若相頻特性在 如附近下降很快，則增大微分時(shí)間Td可能極大地降低 系統(tǒng)平穩(wěn)性。“曲線振蕩頻率快”表明響應(yīng)不夠平穩(wěn)，且截止頻率較大，很可能落于 被校正對(duì)象相頻特性迅速下降的頻段，因此，應(yīng)減小 7d ,降低

51、截止頻率，間接改善 平穩(wěn)性。“動(dòng)差大來(lái)波動(dòng)慢”表明響應(yīng)過(guò)于緩慢且在振蕩，截止頻率較低；此時(shí)若改 變Ti作用不明顯，則可增大 ，d ,同時(shí)改善平穩(wěn)性和快速性。7-18試借助MATLAB重新對(duì)習(xí)題7-16的系統(tǒng)設(shè)計(jì)滯后-超前校正裝置。解：計(jì)算期望性能指標(biāo)：按要求（1）,斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為 & E上L=0.02s,。按要求（2）,期望相位 50 /s裕度45/ o按要求（4）,將校正后系統(tǒng)近似為典型二階系統(tǒng)，按圖 6-61或式（6-37）, 定45時(shí)，階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間ts與校正后期望截止頻率0c近似滿足tmc %6 ,故取*0c =2rad /s。初定校正方案取K =50。校正前系統(tǒng)頻率特性如習(xí)題

52、 7-18圖解（a）所示；其截止頻率0c定5.7rad /s ,相位裕度學(xué)片與9 （按漸近特性計(jì)算為1401g601g(0.2 c) =20lg50=0.2定Y20）。易知校正前系統(tǒng)不滿足相位裕度要求，且若單純采用超前校正，則需要補(bǔ)償?shù)南辔怀^(guò)4-39+（5 =84,物理上難以實(shí)現(xiàn)且容易放大高頻噪聲。若單純采用滯后校正，則根據(jù)習(xí)題7-16圖解，校正后系統(tǒng)截止頻率須小于 0.8rad/s,不滿足快速性要求。因 此，初定采用滯后-超前校正，利用超前部分補(bǔ)償相角，同時(shí)降低截止頻率，間接增大相位裕 度。根據(jù)習(xí)題7-18圖解（a）,咸=爾/s處校正前系統(tǒng)相位約為 -175口，故超前部分仍需30要提供約-

53、(180J175J45 3 =40的超前相角，考慮一定的裕度，可令 0.05mg/l ,試分析最短服藥間隔時(shí)間為幾小時(shí)才能保證持續(xù)的長(zhǎng)期療效?解：(1) c(2)c(8)分別為(單位 mg/l): 0.8、0.52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.0420。(2)對(duì)該差分方程兩邊作 z變換，并根據(jù)超前定理，得:z2C(z)-z2c(0)-zc(1) -0.8zC(z) 0.8zc(0) 0.12C(z) =0代入初始條件 c(0)=0mg/l、c(1)=1mg/l ,并化簡(jiǎn)得:C(z)=z2z -0.8z 0.12= 2.5z-0.6zz-0.2故其z反變換得c(k) =2

54、.5(Q6k -0.2k) o易知極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，該序列收斂，可用終值定理得終值為0。35(3)每隔12小時(shí)應(yīng)服藥一次。前30小時(shí)濃度值為(單位 mg/l)：0、1、0.8、0.52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.042、0.0252、0.0151、0.0091、0.0054、1.0033、0.802、0.5212、0.3207、0.194、0.1167、0.0701、0.0421、0.0252、0.0151、0.0091、0.0055、1.0033、0.802、0.5212、0.3207 解：(1) c(2)c(8)分別為(單位 mg/l): 0.8、0.52、0.32

55、、0.1936、0.1165、0.07、0.0420。(2)對(duì)該差分方程兩邊作 z變換，并根據(jù)超前定理，得： 2-2-z C(z)-z c(0)-zc(1) -0.8zC(z) 0.8zc(0) 0.12C(z)=0代入初始條件c(0)=0mg/l、c(1) =1mg/l ,并化簡(jiǎn)得：1-0.8z 0.122.5 z z一 z z -0.6 - z -0.2故c(0)=0mg/l ,且k0時(shí)，z反變換得c(k) =2.5(0.6k,_0.2k)。易知極點(diǎn)在單位圓內(nèi),該序列收斂，可用終彳1定理得終值為0。(3)每隔12小時(shí)應(yīng)服藥一次。前 30小時(shí)濃度值為(單位 mg/l)： 0、1、0.8、0.

56、52、0.32、0.1936、0.1165、0.07、0.042、0.0252、0.0151、0.0091、0.0054、1.0033、 0.802、0.5212、0.3207、0.194、0.1167、0.0701、0.0421、0.0252、0.0151、0.0091、0.0055、1.0033、0.802、0.5212、0.32078-6 本章例8-3已證明了表8-2中的延遲定理和復(fù)位移定理，試證明表8-2中其他z變換的性質(zhì)。8-7 求函數(shù)的 z 變換：(1)e-tsint;(2)1 -et；(3)f(t) =at；Ts。解：(1)ze-aTs sin Tsz2 -2ze-aTs cos

57、 Ts - e aTs(2)t ln a一 t-f (t) = a =e 葭,查表8-1得:Zf(t) = z -a8-8 求下列拉普拉斯變換式所對(duì)應(yīng)的z變換。就言京解:(2)(1)U -去；其z變換為z Je票；2元力s 一七 一濾;其z變換為a后-二 -詈三8-9 試分別用部分分式法和留數(shù)法求下列各式的(77z反變換。解:36(1) 1 -05k, k =0,1,2，。(2)當(dāng)k=0時(shí)，a2 zk有三個(gè)極點(diǎn)，故其z反變換為(z -1)(z-a)lim a2 z Az r-lim a2z(z1)z 0|l(z -1)(z -a)z 1|(z -1)(z-a)olim - a2 z(z-a)2

58、 =0z a dz |(_(z -1)(z -a)當(dāng)k 0時(shí)，a2 zk僅有兩個(gè)極點(diǎn)，故其z反變換為(z -1)(z -a)lim a2 zkJ(z -1)z 1 lt(z -1)(z -a)lim9z 口 dz | (z -1)(z -a)k/22 z (z - a)aak(k -2) -ak(k -1)J (a -1)28-10 試用長(zhǎng)除法求出習(xí)題 8-9中各式z反變換的前五項(xiàng)值，并判斷結(jié)果是否與按z反變換解析表達(dá)式所求結(jié)果一致。解：(1) 0、0.5、0.75、0.875、0.9375 0、0、0、a、2a+1 一致。8-11 試推導(dǎo)表8-3各系統(tǒng)車出的z變換，并判斷系統(tǒng)是否可建立相應(yīng)的

59、脈沖傳遞函數(shù)。 解：若輸出的z變換表達(dá)式分子中存在公因式 R(z),則可建立脈沖傳遞函數(shù)。8-12 假設(shè)離散線T定常系統(tǒng)G(z)的極點(diǎn)pi (i =1, 2, 3,，n)兩兩相異，其單位脈沖響應(yīng)為g(kTs) =0於。試證明，當(dāng)pj1時(shí)，Z g(kTs) 也必然成立。 i 1k =08-13 在圖8-52所示系統(tǒng)中，設(shè)G(s) =K/s(s+1),采樣周期為Ts,要求:(1)若Ts恒定，試確定參數(shù) K的穩(wěn)定域。(2)若K恒定，試確定參數(shù)Ts的穩(wěn)定域。(3)若K =1/Ts，試確定參數(shù)Ts的穩(wěn)定域。(4)若增加零階保持器，即 G(s)改為Ks(s 1)G(s)=s圖8-52 習(xí)題8-13圖37解

60、：其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為“zfK(1 -es)z2_TJz -1 -K (1 K)e sz e其閉環(huán)特征方程為z2-1-K+(1+K)esz+es=0。令z =(w+1)/(w-1),得w域特征方程(1 e工)Kw2 +2(1 e)w +(2 +K)e工 +2 -K =0。列出勞斯表w2(1 -eJs)K(2 K)e工 2 -Kw2(1e,s)0(2 K)es 2 -K易知：若Ts恒定，參數(shù)K的穩(wěn)定域?yàn)? K 2(e :1)。1 -e s若K恒定，當(dāng)KE2時(shí)，參數(shù)Ts的穩(wěn)定域?yàn)?ETs2時(shí)，參數(shù)Ts的穩(wěn)定域?yàn)?0 Ts 0。當(dāng) 0 Ts 0 轉(zhuǎn)化為 Tss 2(2TS 1) (2TS -1)eT