1、第6章控制系統的校正本章主要討論利用頻率法對單輸入-單輸出的線性定常系統的綜合和設計。在介紹控制系統校正的基本概念、控制系統的基本控制規律的基礎上，介紹了各種串聯校正裝置(超前校正裝置、滯后校正裝置、滯后 -超前校正裝置)的特性及按分析進行相應設計的基本步驟和方法；還介紹了期望設計法的基本概念、 常見的期望特性和設計步驟； 另外還介紹了根軌 跡法的串聯校正和反饋校正的基本概念和方法；最后介紹了利用MATLAB進行控制系統校正。教材習題同步解析試分別說明系統的固有頻率特性與系統期望頻率特性的概念。答：系統本身固有元件所具有的頻率特性稱為固有頻率特性。設計者希望系統所能達到的頻率特性稱為系統期望頻

2、率特性。試比較串聯校正和反饋校正的優缺點。答：a、校正裝置和未校正系統的前向通道環節相串聯，這種叫串聯校正，串聯校正是 最常用的設計方法，設計與實現比較簡單，通常將串聯裝置安置在前向通道的前端。b、并聯校正也叫反饋校正，它是和前向通道的部分環節按反饋方式連接構成局部 反饋回路，設計相對較為復雜。并聯校正一般不需要加放大器，它可以抑制系統的參數波動及非線性因素對系統性能的影。PD控制為什么又稱為超前校正？串聯PD控制器進行校正為什么能提高系統的快速性和穩定性？答：加入PD控制相當于在系統中加入一個相位超前的串聯校正裝置，使之在穿越頻率處有較大的相位超前角。因此，PD控制稱為超前控制。PD控制的傳

3、遞函數為 G(s) =Kp(1+Es)，由比例控制和微分控制組合而成。增大比例系數 Kp,可以展寬系統的 通頻帶，提高系統的快速性。 微分控制反映信號的變化率的預報作用，在偏差信號變化前給出校正信號，防止系統過大地偏離期望值和出現劇烈振蕩傾向，有效地增強系統的相對穩定性。PI控制為什么又稱為滯后校正？串聯 PI控制器進行校正為什么能提高系統的穩態 性能？如何減小它對系統穩定性的影響？答：PI控制在低頻段產生較大的相位滯后，所以滯后校正。PI控制的比例部分可以提146高系統的無差度，改善系統的穩態性能。在串入系統后應使其轉折頻率在系統幅值穿越頻率 的左邊，并遠離系統幅值穿越頻率，以減小對穩定欲量

4、的影響。PID控制為什么又稱為滯后-超前校正？串聯PID控制器進行校正為什么能改善系統的穩態性能與動態性能?答：PID兼有PI、PD控制的特點，它相當于提供了一個積分環節與兩個一階微分環節。積分環節改善穩態性能，兩個一階微分環節改善動態性能。試分別敘述利用比例負反饋和微分負反饋包圍振蕩環節所起到的作用。答：二階振蕩環節的頻率特性為T2S2 2 S 1用比例負反饋H(s)=h包圍后C(s)邢廣丁子2 2 STisz 2-S 1可見振蕩環節的時間常數 T,阻尼比均減小，阻尼比工的減小使系統的動態性能得到改善，穩態性能得到降低。En和比例系數K的前用微分反饋包圍二階振蕩環節，能夠在不影響無阻尼自然角

5、頻率 提下增加阻尼比，改善系統的相對穩定性。,若要使系統開環傳遞系數K=10,K設一單位反饋系統的開環傳遞函數Go(s)= s(s 1)相位裕量丫 不小于45o,幅值穿越頻率 0, c不小于4.4 rad/s,試求系統所需的串聯超前校正裝置及其參數。解：繪制未校正系統的伯德圖如圖6.1所示。147(1) K =10, 、. =1求校正前系統的幅值穿越頻率L0(1)= 20 l g1 0 2 0=lg 120L( c) -201g10 =-40 = i -c =3.16 : 4.4lg c -lg1二180； (-90。-tan，c) =180： (-90 L tan,3.16) =17.6，：

6、二 451(2)求校正裝置的參數已(m) =45； 17.61 9.6 =31 - sin37 = 0.251 sin 37、 TOC o 1-5 h z (3)確定校正后的幅值穿越頻率0cLc(c) =10lg( 12)=6dB.Lo(，c)=一Lc(，c)=-6dB,Lo( -c) -201g(10)- J40 Lc( c ) =10lg( 12) =6dB ,lg c -lg12m = 4.47rad/s4.4rad/s(4)確定校正裝置的轉折頻率 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 1_ _o1 =ma =2.2rad/s,缶2 = 8m

7、G =8.8rad/s, T =一= 0.45s,i0.45s 10.11s 11G(s)=2s2一 18.8(5)驗證Gk(s) =Gc(s)G0(s)=10(0.45s 1)s(s 1)(0.11s 1)=180 -90，tan-1(0.45 4.47) -tan-1(4.47) -tan“(0.11 4.47)=5045滿足題意。(6)確定元件參數若校正裝置如圖6.2所示情況，則有148C圖6.2題6.7校正裝置圖R2一a=0.28 T=R 1c=0.45R1 R2一單位負反饋系統固有部分的傳遞函數為Go(s) =K,若要求系統的s(s 1)(0.5s 1)靜態速度誤差系數 Kv=5s

8、1,相位裕量丫 40o,幅值穿越頻率 切c0.5rad/s,幅值裕量L h10dB。試設計所需串聯滯后校正裝置的傳遞函數。解(1)求校正前的開環頻域指標繪制k=5時未校正系統的伯德圖如圖6.3所示。149L( c) -20lg 5_(_)= 一40= ，c =2.24rad / slg c -igi此時0c大于轉折頻率2,故斜率為-60時穿越實軸，同理可求的完成0c =2.15 2滿足條件了=180 + (-90-arctan2.15 -arctan(215x0.5) = 22.2右取 耙=_ 不土=40 .+22.2 *+5*=67.2 65?且。c = 0.5rad /s 在 c =2.1

9、5 左邊，故采用滯后校正。(2)確定校正后的幅值穿越頻率選擇未校正系統白相位裕量70 = + =40*+101=50口，令 =180(-90 -arctan c -arctan( c 0.5) 50 ,將8c=0.5帶入可得尸=49.4+45故選七=0.5 c(3)確定U值1L(.)=20lg P=-20lgLoSTOlg5。一 :10 lg c-lg1(4)確定滯后校正裝置轉折頻率缶2 =1=6/10 6c/2,現在取 6c/10,82=工=0.05，=aT=202 T c2 T 10(5)11, 1 =-T 10 201200Gc(s)20s 1200s 1Gk(s) =G c(s) LG

10、(s) =5(20s 1)s(s 1)(0.5s 1)(200s 1)(繪于圖6.3中)(6)驗證r 40r=180(-90arctan( c 20) - arctan c-arctan( c 0.5) -arctan( c 200)=44.3滿足，由圖可看出Ln也滿足6.9系統開環傳遞函數為 G0(s)=s 0.1s 1 0.2s 1(1)系統響應斜坡信號r(t)=t時，穩態誤差ess 40o試用分析法設計一個串聯滯后 -超前校正裝置。150解：(1)系統為I型系統，在單位斜坡信號下 分穩態誤差為1essr =一k“1一令 essr =- =0.01 ,則 k=lO0 k低頻段過點為 Lo

11、=20lg K =40db 中頻段穿越斜率為-60 db/dec由 Lo(gm。則l。=26db同理 Lo(10)=14db 且 6c =17rad/s故=180-90 -arctan(17 0.1) - arctan(17 0.2) - -43.1 ： 0c(2)選擇新的由校正前的相頻特性與幅頻特性可知當與在5,10的范圍內時，漸近線的斜率為-40db/dec,即對應的相位穿越頻率0 a應在此范圍內。g當 = 7 rad/s 時(7) -90 -arctan(7 0.1)-arctan(7 0.2)=779.5若選/ = 7rad/s，系統所需的相位超前角約為50 口c因為 Lo(7) =2

12、0db 所以 Lc(7) = 20db151又20lg P aLoQc)，P a10 (滯后部分)，又uP =1所以a 0,1 (超前部分)(3)確定校正裝置的滯后部分滯后部分 2 = 1t2=8；=irad/s11H Cf c C令 P =14 則仍滯 1 =1/PT2 =14rad/s所以 滯后部分的傳遞函數為 Gi(s) = s+114s 1(4)確定超前部分Lc(7) =20db過(7 rad/s,-20db)畫一條斜率為 20db/dec的斜線，超前部分20db/dec的漸近線以滯后部分的0db/dec的漸近線的交點對應超前部分的第一個轉折頻率1/T1,與 0db 線的交點對應第二個

13、轉折頻率Lc(7) -0”c 二20Lg7 - Lg 4則 4 = 1 Ti =70rad /s又 P =14 故，=l/Ti =5rad /s超前部分的傳遞函數為 G2(s) = 0,2s 10.0143s 1(5)s 1 0.2s 1Gc(s)=L14s 1 0.0143s(6)Gk(s)-s(14s 1)(0.1s 1)(0.0143s 1)80 + 90 + arctan 7 arctan (14 7) arcttaan(0D, 10 174)3 ar)c = 4 1. 9a 406.10負反饋系統的開環傳遞函數為Go(S) =S(0.25S 1)要求系統的穩態速度誤差系數kv=10s

14、,諧振峰值 Mr E1,5，試確定串聯校正裝置參數。152解：(1)繪制校正前的系統的開環傳遞對數幅頻特性(如圖 6.5lo(co)所示)(2)按照K=10繪制期望特性曲線的低頻段(3)按動態性能的要求確定系統的中頻段，為保證足夠的相位裕量，中頻段的穿越頻率斜率應為-20 db/dec,由于繪出的是閉環頻域指標的要求MrMr 1現取 h=10 Wc =2.5 rad/s則中頻段寬度hM1=5.5M1 -1,-2 .由 w2 =Wc : 0.5 rad/sh 1 2hw3 =Wc ： 5 rad/sh 1據此畫出期望特性的中頻段(4)求校正裝置的傳遞函數Gc(s)(2s 1)(0.25s 1)(

15、10s 1)(0.2s 1) Gk 二 Gc(s)LGo= s(10S0(2)S0.2)s 1)=180-90arctan(2 2.5) -arctan(10 2.5) -arctan(0.2 2.5) = 54.41Mr = =1.23 ； 1.5sin 滿足題意1536.11負反饋系統的開環傳遞函數為G0(S) =要求系統校正S(0.25S 1)(0.05S 1)后的諧振峰值 Mr 1.4 ,諧振頻率 wr之10rad/s試確定串聯校正裝置。解：(1)繪制校正前的幅頻特性 L0(W),可求得Wc=20 rad/sr =180 -90 - arctan5 -arctan1 - -33.7(2

16、)按動態性能的要求確定系統的中頻段，喂飽則很難過足夠的相位裕量，中頻段的穿 越斜率為-20 db/dec中頻段的高度h _ 匹=14=6Mr -11.4 -1考慮到要留一定的裕量取h=10 Wc =10 rad/s2 .則 w2 =Wd% 2 r a d(與未校正刖分越頻率相同),w3 = 2wc = 20rad /sh 1圖6.6題6.11系統校正前后伯德圖(3)繪制期望特性的低中段，中高頻鏈接段與高頻段，分別過 B,C兩點做斜率為-40db/dec的斜線交低頻段，高頻段于A,D點在頻率w2=2 rad/s處L0(0) =20lg100 201g2=34db,154L()山，c) = L-0

17、 = -20= L(2) =14dB1g -lg . c 1g 2 -lg10.Lc(2) = L( ) - Lo( ) = L 2 -Lo 2 = -20 = -20Lg - 10由此得出A點對應頻率1/T1 =w2/P =0.2rad/s, D點對應頻率I/T4 = Pco； = 100(0.5s 1)(0.25s 1)100(0.5s 1)(4)由于 Gc(s): ，.Gk(s):(5s 1)(0.01s 1)s(0.05s 1)(5s 1)(0.01s 1)= 180-90 arctan(0.5 10) -arctan(0.05 10) -arctan(5 10) -arctan(0.

18、01 10) = 47.50滿足題意1Mr 二sin r= 1.36 35此時Gc(s)=M + s/3.44 ;1 s/24.08G(s)=20(1 s/3.44)222s (0.2s 1)(1 s/24.08)6.13設單位負反饋系統的開環傳遞函數為Go(s)=，試用期望對s(0.5s 1)(0.167s 1)數頻率特性法(期望特性用1-2-1-2-3系統)設計串聯校正裝置，使系統滿足下列性能指標：K180,(r%W27%, ts35o, S c10 rad/s。試用期望法確定系統所需串聯校正裝置。解：(1)繪出校正前的幅頻特性曲線(如圖 6.9)令 K=Ka=10, 七=3. 16 ra

19、d/ c=-arctan(0.05 3.16)=-9 題目要求 露之10rad /s,現取J =10rad/s在 處，L09c) =20lg10 -40lg coc = 20-40=-20dB由 Lc)=0,Lc(8) = L(co)- Lo9)Lc( c) =20dB二AB段Lc (0)的方程為Lc( )-20 =20(lg -lg10)又 Lc( 1) = 0= . ” = 1rad /s TOC o 1-5 h z (3)現在取 2 =50rad / s,可得 Gc( s) = s + 1，0.02s 110 s 1). ，二 G(s) = - (8c = 10rad / ss2(0.0

20、5s 1)(0.02s 1)=180 -90 2 arctan0.5 -arctan0.2 =180 -90 2 arctan 0.5 - arctan 0.2=84.3-26.6-11.3=46.435滿足要求158圖6.9題6.14系統伯德圖原系統的開環傳遞函數為Go(s)= 10，采用串聯校正，期望校正以后的開環s(s 1)幅頻特性曲線L(3)如圖6.10所示。試求：(1)在原圖上繪制所需校正裝置的伯德圖Lc (8)，求出此裝置的傳遞函數Gc (s),并說明該裝置的類型。(2)簡要說明系統校正前后性能的變化。解：(1)由圖可知校正后的傳遞函數，其低頻段的頻率為-20dB/dec又 L (

21、1) =20lgk-20lg1=20K=10確定各型環節：第一個轉折點cc1=1rad/s斜率減小20db/dec第二個轉折點02 =2.2rad/s 斜率增大20dB/dec第三個轉折點與=8.8rad/s 斜率減小20dB/decGk(s);s(s 1)匕 s 1)Gk(s) =Go(s)lGc(s)= G/s) =-s 11144s 120s 445s 441594020L(w)dB(2)系統增加了帶寬，快速性改善，相位裕量明顯增加，系統穩定性改善，高頻段對數幅值 上升。抗干擾性下降一單位負反饋控制系統的開環傳遞函數為Go(s)=Kgs(s 4)(s 6)(1)若要求閉環系統單位階躍響應

22、的最大超調量o%w 18%,試用根軌跡法確定系統的開環傳遞系數。(2)若希望系統的開環傳遞系數K15,而動態態性能不變，試用根軌跡法確定校正裝置的傳遞函數。解：(1)由于仃 圖6.11題6,18系統結構圖采用反饋校正后的系統結構如圖6.12所示，其中H(s)為校正裝置。要求系統滿足下列指標：靜態速度誤差系數Kv=200s 1, 丫 45%試確定反饋校正裝置的參數，并求校正后系統的等效開環傳遞函數。解：(1)校正前系統的開環傳遞函數為：g (s) = 200m10父0,1/ =20000.01s 1 s s(0.01s 1)幅值穿越頻率為 141.4,幅值穿越斜率為-40db/dec=90 -t

23、an-1 (0.01 141,4)=35.3R(s)圖6.12題6,19系統結構圖(2)開環傳遞系數為 如圖6.13所示,取K=200 ,系統的穩定性能已滿足。據此期望特性的低頻段與校正前重合c =120rad/s求 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark88 o Current Document C 點：L0(%) (20lg 200 -20lg100) = W0(lg % Tg100)CT Lk(3)-0 = -20(lg3-|g120)由兩式可得：切3 =166.3rad/s取 02=10rad/s, HYPERLINK l bookmark92 o Cur

24、rent Document 32B 點 Lk(10) = 20(lg10 Tg120) =21.6dB HYPERLINK l bookmark96 o Current Document A點 Lk(叫)-21.6 =-40(lg ?lg10)A點 Lo(s)=20lg 200-20lg 叫 162由可得：.1 = 6rad /s由于L/9)低頻段漸近線為+20db/decLo( ) =20lg k 20lg ，把 Lo(6)=0dB代入可得：K =1/6=0.17，局部反饋回路的開環傳遞函數為sG2(s)H(s)=6(0.1s 1)(0.01s 1)又 G2(s)=(0.01s 1)H(s)

25、=G2(s)H(s)6(0.1s 1)(0.01s 1)G2(s)1060(0.1s 1)(0.01s 1)由圖可知：Gk(s)=200(0.1s 1)200(0.1s 1)11s(-s 1)( s 1) 6166.3s 1)(0.006s 1)c =1 2 0 a d /s c=180 -90tan-112-tan“20-tan70.72=52.3 45163（滿足）MATLA改驗指導M6.1禾I用MATLAB函數編寫程序，繪制無源超前校正裝置的1/3與（及101g（1/ a）的關系曲線（如教材圖6.12所示）。（提示：1/a的取值范圍為1, 20）解：1）超前校正網絡的傳遞函數為：-Ts

26、1Gc（s）=1, 二：1:Ts 1而為校正裝置出現最大超前相角的頻率，它位于兩個轉折頻率工和上的幾何中點,T、工T等為最大超前相角，為：,1 7m = arcsin1鉆與C（一一對應，越小，所提供的 中m就越大。但同時高頻段對數幅值也越大，對抗干擾性能不利。為保持較高的信噪比，一般a取值范圍為0.05a1,即校正裝置一般能夠提供的最大超前角m65. 1為便于MATLAB編程，可考慮取系數 a=A1,則中m為a1-1,1 a . a-1 180m = arcsina = arcsin【1a 1 二 .2）根據以上分析，將%及101g（1/a）關系曲線繪制于同一圖形中的MA TLAB程序如下a=

27、1:0.01:20;圍，a=1/:for i=1:length(a)%設定系數a的取值范faim(i)=asin(a(i)-1)/(a(i)+1)*180/pi;%求相位華mL(i)=10*log10(a(i);endaa=plotyy(a,faim,a,L);101g(1/o)關系曲線%求 101g（1/口），即 101g（a）%以1/口為橫坐標，繪制 中m及gtext(10lg(1/a);%曲線標注164agtext(相位);set(aa,linewidth,1.5);ylabel(10lg(1/a)/dB)%設置曲線格式%標注縱坐標xlabel(1/a);grid;70605040302

28、010%標注橫坐標U12108642匚I51015 2D圖6.14 M6.1關系曲線超前校正裝置的1/a與9m及101g(1/ 0()的關系曲線，見圖6.14。M6.2 利用MATLAB 函數編寫程序，繪制無源滯后校正裝置1/ P與201g(1/ B)、0(mc)的關系曲線(如教材圖6.19所示)。(提示：1/P的取值范圍為0.01 , 1)解:1)滯后校正網絡，其傳遞函數為Gc(s)=Ts 1:Ts 1與超前校正不同，串聯滯后校正裝置將會使被校正系統的相位滯后增加。為了避免對系統的相位裕量產生不良影響，應盡量使最大滯后相角遠離校正后系統新的幅值穿越頻率C,即燈c遠大于第二個轉折頻率 02,

29、一般可取10165因此有。c =10切2 =10/T ,則滯后裝置在新的幅值穿越頻率c處的的相角滯后為c(， c)=arctanTc-arctan(TI*. c)化簡可得1平c儂c) arctan |0.1(- -1)一一.一.一一 1. 一 .，,同樣，為便于 MA TLAB編程，可考慮取系數 b=B/a因此，校正裝置的傳遞函數為Gc(s)=Ts 1:Ts 1s/4.7 1s/42.7 10.213s 10.024s 13）校驗系統校正后的相位裕量和其它性能指標經超前校正后，系統開環傳遞函數為Gk(s) =Gc(s)Go(s)=10(0.213s 1)2ss(-200320s 1)(0.02

30、4s 1)求系統校正后的開環頻域指標與單位階躍響應曲線指令如下num=10*0.213 1;den=conv(conv(1 0,1/200 3/20 1),0.024 1);其他指令同上。校正后系統開環頻域指標為gm =4.1658%求分母（多項式相乘）%系統校正后幅值裕量hgpm =52.8043%系統校正后相位裕量169wcp =33.8833wcg=14.1638%系統校正后相位穿越頻率%系統校正后幅值穿越頻率(1)開環伯德圖及開環頻域指標(gp) pn 七ubiri怎1.41.20.8O.S0.40.20Step Response00.20.40.6 OS 112Time fsecl(

31、2)單位階躍響應曲線圖6.17M6.3系統校正后的性能校正后系統開環伯德圖和階躍響應曲線見圖6.17,超前校正裝置抬高系統頻率特性的中頻段與高頻段，使幅值穿越頻率b c增加，并提供額外的補償相角，改善系統的相位裕量。可得校正后系統的相位裕量為52.8 ,幅值穿越頻率為 14.2 rad/s,單位階躍響應的最大超調量。%=11%,調節時間ts=0.445s (A=5%),系統的動態、穩態性能均滿足要求。M6.4 系統校正前開環傳遞函數為Go(s)_1s(s 5)設計技術指標要求如下：單位斜坡輸入的穩態誤差小于5%； c = 2rad/s；力=40，設計串聯滯后校正裝置并驗證。1)求系統校正前的開環頻域指標與單位階躍響應曲線按穩態性能的要求確定系統的型別v=1 ,開環傳遞系數 K=20 ,校正前系統開環傳遞函數為Go(s)=20s(0.2s 1)求取系統校正前開環頻域指標與單位階躍響應曲線的MATLAB程序如下170%求分母(多項式相乘)num=20;den=conv(1 0,0.2 1);其他指令同上。系統校正前的開環頻域指標為gm =Inf%系統校正前幅值裕量hgpm =28.0243%系統校正前相位裕量wcp =Inf%系統校正前相位穿越頻率wcg =9.3940%系統校正前幅值穿越頻率Bode DiagramGm = Inf 日日(at Inf