1、江蘇省蘇州市2020屆高三上學期期初調研考試數學試題第I卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置 上.）1.已知集合 A= 1 , 3, B= 3, 9,則 AUB=.答案：1 , 3, 9考點：集合的運算解析：. A= 1 , 3, B= 3 , 9,，AUB= 1 , 3, 92.如果復數2bi（bR）的實部與虛部互為相反數，則b等于答案：1考點：復數解析：2bi6b3-2i ,由實部與虛部互為相反數得：6b曳2,解得b=1.3 i101010103.下表是某同學五次數學附加題測試的得分情況，則這五次測試得分的方差為次數12

2、345得分3330272931答案：4考點：平均數與方差解析：: X33 30 27 29 31 .30212 2_2 2_2S2 (33 30)2 (30 30)2 (27 30)2 (29 30)2 (31 30)2 4.54.已知4瓶飲料中有且僅有 2瓶是果汁類飲料，從這 4瓶飲料中隨機取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為5答案：56考點：古典概型解析：4瓶飲料中隨機取2瓶共有6種取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料共有5種5取法，所以求得概率為 5.6.根據如圖所示的偽代碼，當輸入的a, b分別為2, 3時，最后輸出的b的值為.Read d b o*cr*6Print

3、乩 , 答案：2 考點：算法語言，偽代碼 解析：求得a=5, b= 2,所以最后輸出的 b的值為2.x2 y2.在平面直角坐標系 xOy中，已知雙曲線 1(a0, b0)的兩條漸近線方程為 y a b= 2x,則該雙曲線的離心率為 .答案：5考點：雙曲線的性質-L L 八、* 一，口be22r 2 22 LL , C2解析：由漸近線方程可得 b 2,所以b2 = 4a2,即c2-a2=4a2,所以與 5 , e= J5 (負 aa值已舍去).7.如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiG中，若四邊形 AAGC是邊長為4的正方形，且 AB= 3, BC =5, M是AA的中點，則三棱錐 Ai-MBC的

4、體積為 .答案：4考點：棱錐的體積解析：根據 AiCi=4, AB = AB= 3, BC=BC= 5,可得/ CiAiBi = 90 ,又/ OAiA= 90 ,可1 i 一得 GA平面 ABBA,所以 VAMBCVC_MBA - 2 3 4 4.Ai MBCiCi MBAi3 2.已知等差數列 an的前n項和為Sn,若Si5 30 , a7 i,則5。的值為.答案：-5考點：等差數列前 n項和解析：由Si5 30可得出 2 ,又a7 i,可得a6 0 , ai ,所以Si0i0(aiaio).若y f(x)是定義在R上的偶函數，當x 0,)時，f(x)sinx, x 0, 1)f(x 1)

5、, x 1,則 f( 5)=6入 1答案：-2考點：函數的奇偶性、周期性 TOC o 1-5 h z 一. 、一. 、一.、.1斛析：f ( 5) f (5) f ()sin.66662uur uur uur.已知在 ABC中，AC= 1,BC= 3,若。是該三角形內的一點，滿足(OA OB) (CAuuuCB)uur uuir=0,則 CO AB =答案：4考點：平面向量的數量積uuur解析：設AB的中點為D,由(OAuur uiurOB) (CAuuuuuu uuuCB) =0,得 DO AB 0uuui uur 所以CO ABuuur uuu uur (CD DO) ABuuur uur

6、 1 uur uur uuur uuuCD AB (CA CB) (CA CB) 21 uur2 ulu2 -(CA CB ) 4.11.已知 sin2 2 2cos2 ，則 sin2 sin2 =答案：1或85考點：同角三角函數關系式，倍角公式解析：: sin 22 2cos2 sin 22 2(2cos 21)化簡得 cos (sin 2cos ) 0所以cos 0或tan 2當 cos 0 ,求得 sin2 sin 2 = 1當tan2sin2 2sin costan22 tan82 , sin sin2 22 2 -sin costan 1512.已知點A、B是圓O: x2 y24上任

7、意兩點,且滿足 AB=2石.點P是圓C:2(x+4)+ (y + 3)2=4上任意一點，則uuu uuuPA PB的取值范圍是答案 考點 解析4, 16圓的方程取AB中點C,可得OO 1,所以動點C在以。為圓心，1為半徑的圓上uuuPAurnPBuur2PCurnPC,而 PGax= 5+1+2=8,PCmin= 5 1 2=2,uuuPAuuuPB的最大值為16,最小值為4,取值范圍為uuu4 PAuuuPB 2時，x x a化簡得求得yx22 - M在1x 1求得yx22 - M在1x 1綜上所述,14.在 ABC中，若21答案：)152 ,恒成立33的最小值為-23的最大值為7 ,即23

8、 .aw 與a2矛盾,舍2a7符合題意2a的取值范圍為1 w aw 2或a 7 .2tanA tanA 皿 白上、，=3,則sinA的最大值為tanB tanC考點：基本不等式，正余弦定理tanA tanA解析：sinA cosBsinA cosCtanB tanC sinBcosAsinCcosA222a c ba2ac222,b c a b 2bc222a b ca2ab222b c ac 2bc所以 a2 3(b2 c2)cosA2bc222-(b2 c2)52bc2 a2222b c ab c 2當且僅當b=c時取=5c 5b 5所以A是銳角，且cosA的最小值為52 , ，一，,此時

9、sinA有取大值為5二、解答題（本大題共 6小題，共計90分，請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱 ABC-ABC中，AB= BG點P是棱AC的中點.（1）求證：AB/平面 PBC;（2）求證：平面 PBCL平面AACC.證明士連接4c交刀G于。，所以由平行四邊班24GC對角線的性質得,。為2c的 中點.又因為點P是桂AC的中點哥以，四” RZ又PO u平面FBJAS】C平面吟. 所以出山平面物G，因為在直三棱柱.雷C- 4MG中，且4 -平面漢AP c平面所以441IBP.因為,曲二以0,點尸是棱nc的中點？所以月

10、產,XC.又曰支c AC = 4 4九月C匚平面AAC所以BP，平面上4。,又3尸u平面PBJ，斫以平面PBQ，平面AAXCC.16.（本小題滿分14分）已知函數f(x)sin(x 4) sin(x 2).的值.(1)求函數y(2)當 x 0解：由題意知:/(*) =f (x)的最小正周期和單調遞增區間;兀時，試求函數 y f (x)的最大值，并寫出取得最大值時自變量xsin x+ ； + siZk4.霍JT+ 5111 工 + 十 一I43；, 蘇1I； K =sin + sm x+ CoifCO57T4J二 Vs sin( 苴G【Asin x+而I H所以最小正周期丁二三=2若)*T57因

11、為一土-EkrEx+ 一萬+ 2方昭 得* 一一zr +xb0)的四個頂點恰好是一邊長為2, 一內角為60。的菱a bC的方程；y=kx交橢圓C于A、B兩點，在直線l : x+y-3=0上存在點 巳 使得PAB為等邊三角形，求實數 k的值. 解：由題意知,柄圖的焦點在x軸上.因為四個頂點恰好是一邊長為2,一個內角為60=的 奏形的四個頂點.所以白2 cos 30，=忑= 3 = 2 sin 30 = 1 ；所以橢圓的方程為：y + =l謾*西）B處），由直線和橢圓曲慚牲知，的卬點即為0（&。）.因為為等邊三角形，所以旦。P世金當2=0時,出，= 乂5 = 3,此時,0=0,符合題意. 2當女聲

12、0時，由題意知，Iop:y=jc.ky=hI 、聯立k,/7,整理得:（弘= 3廨得：%=也Q一 L 3所以即=/q -a3+0一%）:=疝巨& f |=2中1+,：YJ1+W解得：k = 0 （舍）或k二-1 綜上：4 = 0或2=一1.（本小題滿分16分）某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有 A, B兩點，/ BAO 30。.小船從A點以v千米/ 小時的速度沿 AC方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發， 經過t小時與小船相遇.（水流 速度忽略不計）（1）若v=4,AB= 2 km,運動員從B處出發游泳勻速直線追趕， 為保證在1小時內（含1小時)能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；(2)若

13、運動員先從 A處沿射線AB方向在岸邊跑步勻速行進 m (0mt)小時后，再 游泳勻速直線追趕小船，已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米/小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下v的最大值.解：b G =為h+1 QX在a-遞增，G(l) = -10, G(2)= 21b2-1 0則G(1KX2”。，又出工的氨像逗賣不斷，故出工)在也2)有唯一零念，設為x- In X- -1 = 0 =1口了.=. 4. 看XtAx E 0=)時，G(x)工 0 f FQ)、)f 產在(Lf )遞減 yx e (x；h +QC)時 G(h) 0 FXx) 0產G)在區,2)遞滑J則四三

14、*好)寸0,見F的圖像連續不斷，故FG)在(巧看)有唯一零點，證畢;i 1(3)即證；X/t? 0?07 使得;1 一或 mQt故H在(Qds)遞增因此Jf(x)50=0 一錄一1工oPt20, Yx0, X斯一 1T 證：fan0, =br 0j 使得： + lj x 0j E 3 = xe: 0,故心)在他 +oc)遞蟠因此*)(0) = 0 =d(工計+工0 = /三 x取工 e (，ki(l )幻& 則 f- Oj 即證：Pc 0 Hx (b r(x) 0Hjt) = / -(以 / 1) xg (0Jn(a +1時 j t工) 0, Hr電電ln(l + Q),使得i-a 3時，Sn

15、ibn,且 Sn, & bn , Sn 2 成等比數列，n N .(1)求數列 an , bn的通項公式；(2)求證：數列 bn中的項都在數列an中；1(3)將數列 an、 的項按照：當n為奇數時，an放在前面；當n為偶數時，bnbn 11111放在前面進行“交叉排列”，得到一個新的數列：a1, , , a2, a3,bnbn 1bib2b2b3b3b4,這個新數列的前 n和為Tn，試求Tn的表達式.21 .【選做題】本題包括 A, B, C三小題，請選定其中兩題作答，每小題 10分共計20分,解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.A.選修4 2:矩陣與變換設變換T是按逆時針旋轉 萬的旋轉

16、變換，對應的變換矩陣是M.(1)求點P(1, 1)在T作用下的點P的坐標；(2)求曲線C: y=x2在變換T的作用下所得到的曲線 C的方程.B.選修4 4:坐標系與參數方程己知直線的參數方程為(t為參數)，圓c的參數方程為x a cos y asin(a 0,為參數)，點P是圓C上的任意點，若點 P到直線的距離的最大值為值.解：由直線的參數方程為(t為參數)可得yx a cosc c c由圓C的參數方程為可得圓的標準方程為 x2 y2 a2y asin求得圓心。到直線的距離為 J2 ,所以a+ J2 = J2 1 ,求得a的值為1.C.選修4 5:不等式選講已知x、v、z均為正數，求證:xy

17、z111yzzxxyxyz證明：因為上f y t z都是為正數, TOC o 1-5 h z 一.1u1 / y x 2所以,二一I! 一步聲上y/t同理可得zryrI2X2GN/y當且僅當工二9二時，以上三式等號都成立力格上述三個不等式兩邊分別相加.并除以【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分，解答時應寫出文字說明，證明過程 或演算步驟.(本小題滿分10分) 5袋中裝有大小相同白黑球和白球共9個，從中任取2個都是白球的概率為現甲、12乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1個球，取出的球不放回，直到其中有人取到白王時終止.用隨機變量X表示取球終止時取球的總次

18、數.(1)求袋中原有白球的個數;(2)求隨機變量X的概率分布及數學期望E(X).口設白球的個數為廊么有機$=2-0.(本小題滿分10分)設集合 M= - 1, 0, 1,集合 N= (Xi,X2,X3,L ,Xn) X M ,i 1,2,L ,n，集合 A中滿足條件“ 1 w X1x2 Lxn W rnf的元素個數記為 sn .(i)求s2和s4的值;n -n /m 1 n 1(2)當 mK n 時，求證：Sm 3 22 (1)根據修怠，時=C2l + C23 =8, = C；H + Ci*2z = 32；(2)設集合 P = 0,Q= LI,若 Ia| 4+ +| - 1 即:T.中有n- I個取自集合P , i個取自集合Q 故其有q二用種可能,即為C5 -21 ；同理，若 |工11 4