1、江蘇省無錫市2020-2021學年高二上學期期末數學試題學校;姓名:班級:考號:B- +T = 1D- 7+77=,yjx2 +3x2 +2（XR）最小值為2.A.B.C.D.一、單選題 TOC o 1-5 h z .設x a 0，則下列不等式一定成立的是（）A. x2 ax ax a2 C. x2 a2 a2 ax.己知向量g = （0,1,1）,方= （1,一2/）.若向量Z + B與向量2 = （/幾2,）平行，則實數的值是（）A. 6B. -6C. 4D. -4.已知橢圓C：二+=1伍/；（）,若長軸長為6,且兩焦點恰好將長軸三等分, lr則此橢圓的標準方程為（）. 廣)廠 ，A. +

2、 = 136 32c f+T = lgx2 + - lgx（x0）； sinxd12（xAr,keZ）；4/sin x4.九章算術是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、 上造、公士、凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？ ”其意思：”共有五 頭鹿，5人以爵次進行分配（古代數學中“以爵次分之”這種表達，一般表示等差分配， 在本題中表示等差分配）.”在這個問題中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，則公士 得（）A.三分鹿之一B,三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一 TOC o 1-5 h z .已知等比數列4為單調遞增數列，設其前項和為S”，若外=2, 53=7,

3、則% 的值為（）1A. 16B. 32C. 8D.-4.下列不等式或命題一定成立的是（）.已知關于x的不等式(。2-4卜2+5-2L一120的解集為空集，則實數。的取值 范圍是()r 6。6)( 6 .-A. -2,B. -2,C. ,2-5L.D. ,2U2*).設S”為數列色“的前項和，滿足S.=2q3,則56=()A. 192B. 96C. 93D. 189.若正數。、b 滿足 ab = 2(a+b) + 5,設 y = (+8-4)(12。-3 ,則 的最大 值是()A. 12B. -12C. 16D. -1610.正四面體43CQ的棱長為2, E、/分別為8C、AO的中點，則荏.女的

4、值 為()A. -2B. 4C. 2D. 12211.已知橢圓 +*=1(。0)的左右焦點分別為，鳥，離心率為e,若橢圓 上存在點夕，使得要=”,則該離心率。的取值范圍是()12.當n為正整數時，定義函數N()表示的最大奇因數.如N(3) = 3,N(10) = 5,S() = N+ N(2) + N(3) +N(2”)，則S=()A. 342B. 345C. 341D. 346二、填空題.命題:、Vx0,都有Yxzo”的否定：. TOC o 1-5 h z .不等式式3的解集是.X222215.己知雙曲線二-二=1的離心率為2,焦點與橢圓三+二=1的焦點相同，那么 cr lr25 9雙曲線的

5、漸近線方程為ii 2.已知，必=一，a,e（O,l）那么+ =-的最小值為.21-67 -b三、解答題.已知等差數列色“的前項和為S“，且%+%=25, S$=55.（1）求數列凡的通項公式；（2）設。也=丁匚，求數列的前項和人3” - 1/ 1.已知awR,函數/“）= Rj.（1）若/。）2對xe（O, 2）恒成立，求實數”的取值范圍；（2）當”=1時，解不等式.在平面直角坐標系my中，曲線。上的動點M（x,y）（x0）到點F（2,0）的距離 減去M到直線工=一1的距離等于1.（1）求曲線C的方程：（2）若直線y = k（x+2）與曲線C交于4，B兩點,求證：直線4與直線F8的傾 斜角互補

6、.某種汽車購買時費用為14. 4萬元，每年應交付保險費、養路費及汽油費共0.9萬 元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，依等 差數列逐年遞增.（I）設使用n年該車的總費用（包括購車費用）為f（n）,試寫出f（n）的表達式：（II）求這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費用最少）.如圖1，在高為6的等腰梯形A3CQ中，ABHCD,且A3 = 12, 8=6,將它 沿對稱軸。折起，使平面AOO0_L平而BCO0,如圖2,點尸為8c的中點，點E在線段48上（不同于A，3兩點），連接OE并延長至點Q,使AQO8.因2證明：。，平面尸從。；若BE = 2

7、AE，求二面角C-8Q-A的余弦值. 22.已知橢圓G：二十5=1（。0）, F為左焦點，A為上頂點，8（2,0）為右頂 cr I”點，若近|行| = 2|福卜拋物線G的頂點在坐標原點，焦點為F.（1）求G的標準方程；（2）是否存在過F點的直線,與G和g交點分別是P, Q和M,M使得S.OPQ = -S.omn? 2如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.參考答案B【分析】直接利用不等式性質：在兩邊同時乘以一個負數時，不等式改變方向即可判斷.【詳解】x 。 6/2 x2 ax ， ：.x2 ax ci2故選從【點睛】本題主要考查了不等式的性質的簡單應用，屬于基礎試題.D【解析】【分析

8、】求出向量Z + B的坐標，利用向量共線定理即可得出.【詳解】解：v = (O,l,l), = (1,-2,1)4 +。= (1, 1,2)又因為向量Z + B與向量C = (7, 2,)平行所以存在實數4,使得右m = A m = -2.4 2 =九解得 0)當且僅當X = J時取等號，故正確：sinx可以取負值，故sinx + !N2(xWk/,keZ)不成立，故錯誤：sinx由基本不等式可得x2 +122 1 兇=2國當且僅當|x| = 1時取等號，故正確：當x = 0時，=三 =正2故錯誤.02+22故選：C【點睛】本題考查基本不等式的應用，屬于基礎題.C【分析】由題意得出關于x的不等

9、式(14)/+(a -2戶一1。的解集為R,由此得出4 = 0或-40,在4 = 0成立時求出實數。的值代入不等式進行驗證，由此解不等式 A0可得出實數。的取值范圍.【詳解】由題意知，關于X的不等式一4卜2 +( - 2)x 1 0的解集為R.(1)當。2-4 = 0，即。= 2.當4 = 2時，不等式(。2-4卜2+._2)1IvO化為ivO,合乎題意；當。=2時，不等式(2-4)x2+/ - 2)x l(Ht為Txl0,即其解集不為R,不合乎題意：(2)當萬一4工0，即。2時./關于X的不等式（。2-4卜2+（“一2）工一1。的解集為/?.a2-40A0 x b0解得他2 25v y =

10、(n+/?-4)(12-n-Z?)(29、2ab-3 229 - 他、 T)ab-13 -2-; ab 25 /. ymax = 12當且僅當必=25時取得最大值故選：A【點睛】 本題考查二次函數的性質，重要不等式的應用，屬于中檔題.【解析】【分析】 如圖所示，ae=1(ab+Aq,萬=3詬.代入荏.標，利用數量積運算性質即可得 出.【詳解】解：如圖所示,AE = (ABAC), AF = AD. AE-AF = -(AB + AC)AD = -(AB-AD + AC-AD) 224=(2 cos 60。+22 cos 60。)4=1.本題考查了向量數量積的運算性質、平行四邊形法則，考查了推理

11、能力與計算能力，屬于中 檔題.11. A【分析】PFpF pp _|_ pp 2a7由萬U = e結合橢圓離心率的定義可得抵 + l = f= F = e + l，可求得PE=一， PF.PF2 PF2 PF2e + 而a -c4/蜴W。+ c ,從而可求得離心率e的取值范圍.【詳解】,PF , PF, + PF 為 ，解：依題意，得U + l= ”=7F = - + 1，PF2 pf2 pf2/. P7s= ,又 q-c&PFWci + c , e + ./-cW=Wa + c，不等號兩端同除以得，e + 121 - 41 + e , e + 1-飛2二，L，解得吟點-1，1+。點又Ovec

12、l,夜-區eS(5)= 2 + 4 + 42 + 43 + 44 = 342.故選 A-Hx0 ,使得V -xvO【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結論.【詳解】解：命題是全稱命題，則命題的否定是：Hx0,有VxcO；故答案為：玉0,有Y-xvO【點睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.14.(-?0)【分析】 將分式不等式轉化為整式不等式，解得.【詳解】r 1解：T:一3X-30 X-l-2x 八x2jv)x0 .(2x+l)x0 x02故不等式的解集為: 故答案為：（一；，0【點睛】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎題.15. y = 土小x【解析】試題分析：因為雙曲

13、線二二=1的離心率為2,所以1 +匕=4, =3, 2 = 又雙 crcr a曲線焦點與橢圓二+t=1的焦點相同，即焦點在x軸上，故雙曲線的漸近線方程為 25 9y = y/3x .考點：本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程及幾何性質.點評：基礎題，圓錐曲線中A.bce的關系要熟悉，并做到靈活運用.16. 10【分析】先根據條件消掉人，即將=：代入原式得1匚+丁匕，再裂項并用貼“1”法，最后運 2111 - 4 勿 一 1用基本不等式求其最小值.【詳解】 TOC o 1-5 h z 解：因為所以，b = g, 2241212因此，1 a 1 b 1 Cl 12a1 I 4a _ 1 2(24-1

14、) + 216/ 2 - 114 2tLi22a 1+ 2 = 2(! +2a-l12-%)+ 2=2(+ + 七)3 1)+ (2-卻+ 2= 2(1 + 1 +2 2a 2a - I + +2 ZI 2-ZJre c /2 _2a 1 c s泗 2 + 2桂 E + 2當且僅當：了2n-l 2-2a1?即十二的最小值為:1 一 1 -/?3叩”=，時，取“=410,故答案為：10.【點睛】本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，涉及消元，裂項，湊配，貼1等恒等變 形，以及取等條件的確定，屬于難題.17.=3 + 2；，=2(3 + 2)【解析】試題分析:（1）根據等差數列基本量的運算

15、求得4=5, = 3,故可得通項公式.（2）根據數列通項公式的特點利用裂項相消法求和.試題解析：(1)設等差數列對的公差為”,由題意得a2 + a5 = 2q + 5d = 25S5 = 5a3 = 51 +10(/ = 55q =5, d = 3,an =5+3(- l) = 3 + 2.由得“=7許 =(3”1)(3 + 2)=乩不rw1111十 十.312 5583一132 3 + 2廠 2(3 + 2)，(1) ”20；(-oo,-1-.【分析】(1)分離參數a,構造函數利用均值不等式求最值即可;(2)分類討論去絕對值，最后取并集即可.【詳解】(1)Vf (x) $2x 對 x (0,

16、 2)恒成立，a$L+2x 對 x (0, 2)恒成立， x1+2瘧2右，當且僅當1=2x,即x二走 時等號成立,xx2e-a/21(2)當 a=l 時，f (x)二1 -凡，1Vf (x) 2x,，1-e2x,同1若 x0,貝ij 1 - 可化為：2x11若 x0,貝 ijl-可化為：2x2-x-1K),解得：xNl 或 xW- -，Vx0, Ax- 卜|22(%1 -2)(x2 -2)(X, -2)(x2 -2)因為西=4.,直線E4與直線EB的斜率之和為0,.直線E4與直線網的傾斜角互補.【點睛】本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、斜率計算公式，考 查了推理能

17、力與計算能力，屬于中檔題. - x+l0,利用根與系數的關系與斜率計算公式可得：直線E4與直線網的斜率之和0,即可證明【詳解】（1）曲線C上的動點M （% y）（x 0）到點*2,0）的距離減去M到直線x = -的距離等于1,所以動點M到直線x = 2的距離與它到點尸（2,0）的距離相等，故所求軌跡為：以原點為頂點，開口向右的拋物線y2 = 8x：（2）證明：設4（4,）,8（,月）聯立，得公/+（4代一8卜+4公=0, *工0）區一4戶/0，2+為=上;，%占=4,.直線線E4與直線用的斜率之和:-k2% 2 x1 - 2% _ 2_ 2M工丹_攵（玉+2）工攵（ + 2） 十十k(xi +

18、2)(x2 -2) + 女(2-2)(占 +2)2%(中2 -4)(1) /() = 0.1/+ + 14.4(eN)； (2) 12年.【分析】(1)由已知中某種汽車購買時費用為14.4萬元，每年應交付保險費、養路費及汽油費共0.9 萬元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年S6萬元，依等差 數列逐年遞增，根據等差數列前n項和公式，即可得到了。?)的表達式；(II)由(I)中使用八年該車的總費用，我們可以得到年平均費用表達式，根據基本不等 式，我們易計算出平均費用最小時的值，進而得到結論.【詳解】(I/O?) = 14.4 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + +0

19、.2) + 0.9/70.2( + 1)= 14.4 + 0.9n2=0.1/72 +/ + 14.4(II)設該車的年平均費用為S萬元，S= l/(/Z) = l(0.1n2+/2 + 14.4) n n=+ + 1 2VL44 + 1 =2xl.2 + l =3.410 n 、則有僅當 =12時，等號成立.汽車使用12年報廢為宜.【點睛】本題主要考查等差數列的應用，讀懂題意，轉化為等差數列求和，利用基本不等式求最值是 解題的關鍵，屬于中點題.(1)證明見解析；(2)亞.6【分析】(1)建立空間直角坐標系，把證明OD_L平而PAQ的問題轉化為證明歷而=0,歷.而=0即可：(2)求出平面C8Q

20、的法向量為勺=(x,y,z)和平面A3。的一個法向量 為7 = (，1)，把求二面角。8。一A的余弦值的問題轉化為求彳；與;的夾角的余弦值的問題即可.【詳解】(1)證明：由題設知04, 0B,。|兩兩垂直，所以。為坐標原點，04, 0B,。1所在直線分別為x軸，)軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設4Q的長為加，則0(0,0,0), A(6,0,0), 8(0,60), C(0,3,6), 0(3,0,6), Q(6,i,0).因為點P為8c的中點，所以 .9所以。=(3,0,6), AQ = (O/,O), PQ= 6,加一一,一3 i 2因為歷而=0,。力。=0,所以歷1.而，obPQ9又而與而不共線， 所以平面PAQ.(2)解 因為的= 2AK，AQ/O8,所以AQ = ?O8 = 3, 2則0(6,3,0),所以9= (-6,3,0), BC = (0,-3,6).設平面CBQ的法向量為=(x, y, z)，瓦 QB = 0 , J_6x + 3y = 0由“而=0得 j-3y + 6z = 0令z = l，則 y = 2, x = l /?! =(1,2,1).易得平而A3。的一個法向量為7 = (0,0,1).設二而角。一8。一A的大小為8,由圖可知，。為銳角,即二面角c 8。一 A的余弦值為亞. 6【點睛】本題主要考查利用空間向量的有關知識證明線而垂