1、多元函數(shù)的極值與最值計算 2多元函數(shù)的極值和最值條件極值 拉格朗日乘子(數(shù))法小結(jié) 思考題 作業(yè)第8章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用3在管理科學(xué)、常常需要求一個多元函數(shù)的最大值或最小值,它們統(tǒng)稱為最值.通常稱實際問題中出現(xiàn)的需要求其最值的函數(shù)為該函數(shù)的自變量被稱為變量.決策相應(yīng)的問題在數(shù)學(xué)上被稱為優(yōu)化問題.與一元函數(shù)中的情形類似,多元函數(shù)的最值也與其極值有密切關(guān)系,所以首先研究最簡單的多元函數(shù)二元函數(shù)的極值問題.所得到的結(jié)論, 大部分可以推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中.經(jīng)濟(jì)學(xué)和許多工程、科技問題中,目標(biāo)函數(shù),4一元函數(shù)極值的必要條件如果函數(shù)f (x)在x0處可導(dǎo), 極值,那么一元函數(shù)極值(第二)充

2、分條件極大值(極小值).回憶且f (x)在x0處取得則f (x0)為5一、多元函數(shù)的極值和最值1. 極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義是在一點附近將函數(shù)值比大小.則稱點P0 (x0, y0)為函數(shù)的極大 值點, 設(shè)函數(shù)z = f (x, y) 在點P0 (x0, y0)的某 f (x0, y0)為函數(shù)的極大 值.回憶定義鄰域內(nèi)有定義, 若在此鄰域內(nèi)對異于P0的點, 恒有 (或極小) (或極小)6 注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的, 一般來說: 極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時,極值.極值點.鄰域內(nèi)的值

3、比較.是與P0的極小值可能比極大值還大.7例例例 函數(shù) 存在極值, 在(0,0)點取極小值. 在(0,0)點取極大值.(也是最大值).在(0,0)點無極值.?橢圓拋物面下半個圓錐面馬鞍面在簡單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)82.極值的必要條件證定理(極值的必要條件)則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)z = f (x, y)在點(x0, y0)處都有說明一元有極大值,必有類似地可證設(shè)函數(shù) z = f (x, y)在點(x0, y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(x0, y0)處有極值,則對于(x0, y0)的某鄰域內(nèi)任意函數(shù) f (x, y0)在 9推廣如果三元函數(shù)u = f

4、 (x, y, z)在點P (x0, y0 , z0)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在P (x0, y0, z0)有極值的必要條件為:10均稱為函數(shù)的仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點,駐點(穩(wěn)定點).從幾何上看,此時如曲面z = f (x, y)在點(x0, y0, z0)處有切平面, 則駐點極值點如,駐點,但不是極值點. 注成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面如何判定一個駐點是否為極值點?113.極值的充分條件定理(極值的充分條件)在點(x0, y0)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 且則f (x, y) 在點(x0, y0)處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒有極值;(3

5、)可能有極值,也可能無極值.設(shè)函數(shù)z = f (x, y)12求函數(shù)z = f (x, y)極值的一般步驟:第一步:解方程組求出實數(shù)解,得駐點.第二步:對于每一個駐點(x0, y0),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步:定出的符號,再判定是否是極值.13例1 解又在點(0,0)處, 在點(a, a)處, 即的極值.故f (x, y)在(0,0)無極值;故f (x, y)在(a, a)有極大值,14練習(xí)考研數(shù)學(xué)二, 選擇題, 4分(A) 不是f (x, y)的連續(xù)點.(B) 不是f (x, y)的極值點.(C) 是f (x, y)的極大值點.(D) 是f (x, y)的極小值點.D解又在點(0,0)處,

6、故點(0,0)為函數(shù)z = f (x,y)的一個極小值點.15解求由方程將方程兩邊分別對x, y求偏導(dǎo)數(shù),駐點為將上方程組再分別對x, y求偏導(dǎo)數(shù),令例216故函數(shù)在 P 有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.所以所以駐點將17求由方程解練習(xí)法二 配方法 方程可變形為 于是 顯然, 根號中的極大值為4,由可知,為極值.即為極大值,為極小值.18處取得.然而, 如函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點當(dāng)然不是駐點,如:函數(shù)但函數(shù)在點(0,0)處都具有極大值. 在研究函數(shù)的極值時, 除研究函數(shù)的駐點外, 還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.注由極值的必要條件知, 極值只可能在駐點但也可能是極值點.在點(0,

7、0)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在, 下半個圓錐面19求一元連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上的最值4.多元函數(shù)的最值回憶的一般步驟:其中最大(小)者就是 f (x)在閉區(qū)將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點區(qū)間端點的函數(shù)(即為極值嫌疑點)處的函數(shù)值和值 f (a), f (b)比較,間a, b上的最大(小)值.20其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似, 求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.21解(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點 由于解得駐點為(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值區(qū)域D有四條邊界

8、線, 現(xiàn)有正方形鋼板, 若以正方形中心為原點溫度函數(shù)為例3建立平面直角坐標(biāo)系(如圖), 則在點(x, y)處鋼板的求鋼板的最冷點與最熱點.即AB, BC, CD及DA.由于AB線段方程為 22(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值區(qū)域D有四條邊界線, 即AB, BC, CD及DA.由于AB線段方程為 將 代入T(x, y), 得由令得即函數(shù)T在AB線段上的駐點為由函數(shù)的對稱性知,函數(shù)T在BC, CD, DA 線段的駐點仍為線段的中點, 即23比較函數(shù)T在以上所得駐點以及四條邊界線端點處的函數(shù)值,所以函數(shù)T在A, B, C, D點函數(shù)值最大,而在原點O處函數(shù)值最小,故在鋼板上最熱點為鋼板的端點,最冷點

9、在鋼板的中心.24解(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點 由于所以函數(shù)在D內(nèi)無極值.(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.D練習(xí)25在邊界線在邊界線由于最小, 由于又在端點(1,0)處,所以,最大.有駐點 函數(shù)值有單調(diào)上升.D26在邊界線所以, 最值在端點處.由于 函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較D27唯一駐點, 實際問題.解練習(xí)某工廠生產(chǎn)A 、的售價為1000元件, B兩種型號的產(chǎn)品, 生產(chǎn)x件A型產(chǎn)品和y件B型產(chǎn)品的總成本為求A 、 B兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時, 利潤最大?設(shè)L(x, y)為生產(chǎn)x件A型產(chǎn)品和y件B型產(chǎn)品時獲得的總利潤, 則令當(dāng)A 、 B兩種產(chǎn)

10、品分別生產(chǎn) 120和80件時, 利潤最大最大利潤為A型產(chǎn)品 B型產(chǎn)品的售價為900元件,總利潤為總收入與總成本之差:唯一駐點28無條件極值對自變量有約束條件的極值.并無其他條件.對自變量除了限制在定義域內(nèi)以外,條件極值二、條件極值 拉格朗日乘子(數(shù))法求條件極值的方法(1) 代入法(2) 拉格朗日乘子(數(shù))法29解例1已知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高各取什么值時長方體的體積最大?設(shè)長方體的長、寬、高分別為由題意長方體的體積為且長方體體積一定有最大值,故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時長方體體積最大.由于V在D內(nèi)只有一個駐點,y 、z,x 、約束條件代入法駐點(6,6)30上例的極值問題也可以看成

11、是求三元函數(shù)的極值,但x, y, z要受到條件的限制,這便是一個條件極值問題.目標(biāo)函數(shù)約束條件有時條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.可通過將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介紹解決條件極值問題的一般方法:下, 拉格朗日乘子(數(shù))法這樣做是有困難的,31拉格朗日乘子(數(shù))法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法如函數(shù)(1)在(x0, y0)取得所求的極值,由條件(1)(2)極值的必要條件.那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù) y = y(x). 不必將它真的解出來, 則于是函數(shù)即, 取得極值.(1)在(x0, y0)取得所求的極值.32其中代入(4)得:由一元可

12、導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:(4)取得極值.在(3), (5)兩式得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的在(x0, y0)取33 設(shè)上述必要條件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):(6)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在(x0, y0)的值.函數(shù)L(x, y)稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個待定常數(shù).34拉格朗日乘子法:極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點,先構(gòu)造函數(shù)其中為某一常數(shù),可由解出x, y, ,其中x, y就是可能的極值點的坐標(biāo).拉格朗日乘子法可以推廣到二元以上的多元函數(shù)及帶有多個附加的條件極值問題.35如何確定所求得的點實際問題中, 非實際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論

13、.判定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來是否為極值點?36解則又是實際問題,解得唯一駐點一定存在最值.令故最大值為例2將正數(shù)12分成三個正數(shù)x, y, z之和使得?此題是否也可化為無條件極值做37小結(jié)先從附加條件消去一個變量后成為無條件極值.然后代入f (x, y, z)中以條件極值問題解法之一:條件極值問題解法之二(拉格朗日乘子法):條件極值問題的解所應(yīng)滿足的必要條件可用下列先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)而即為(x, y, z)上述條件極值問題解的必要條件.若欲在滿足附加條件的(x, y, z)中去找使函數(shù) f (x, y, z)達(dá)到最大(小)值的問題, 方法記憶.解出一個變量,稱為條件極值.38解設(shè)P (x0,

14、 y0 , z0)為橢球面上的一點,令則過P(x0, y0 , z0)的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面使切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體例3的切平面,體積最小,求切點坐標(biāo).39目標(biāo)函數(shù)該切平面在三個軸上的截距各為化簡為所求四面體的體積約束條件在條件下求V 的最小值,40約束條件令由目標(biāo)函數(shù)41可得即當(dāng)切點坐標(biāo)為四面體的體積最小(唯一駐點)(實際問題)42經(jīng)濟(jì)學(xué)中有Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型其中x表示勞動力的數(shù)量, y表示資本數(shù)量, C與a是常數(shù), 由不同企業(yè)的具體情形決定, 函數(shù)值表示生產(chǎn)量.現(xiàn)已知某生產(chǎn)商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為其中每個勞動力與每單位資本的成本分別為1

15、50元及250元, 該生產(chǎn)商的總預(yù)算是50000元, 問他該如何分配這筆錢用于雇傭勞動力及投入資本, 以使生產(chǎn)量目標(biāo)函數(shù)約束條件 條件極值問題最高.練習(xí)43解作拉格朗日函數(shù)是實際問題,解得唯一駐點一定存在最值.故該制造商雇傭250個勞動力及投入50個單位資本時, 可獲得最大產(chǎn)量.44設(shè)n個正數(shù)例4的和等于常數(shù)l,求它們乘積的最大值; 并證明這n個正數(shù)的幾何平均值小于算術(shù)平均值, 即解作拉格朗日函數(shù)解方程組約束條件目標(biāo)函數(shù)可得45是實際問題,唯一駐點一定存在最值.故n個正數(shù)乘積的最大值為由上面的討論知, 對n個正數(shù)有上式兩端開n次方, 并將代入, 得46練習(xí)解為簡化計算, 令設(shè)(x, y, z)

16、是曲面上的點,它與已知點問題化為在下求f (x, y, z)的最小值.目標(biāo)函數(shù)約束條件法一的距離為47設(shè)(1)(2)(3)(4)48是實際問題.故得唯一駐點還有別的簡單方法嗎?用幾何法!d有最小值49練習(xí)解曲面上點(x, y, z)解得代入到曲面設(shè)(x, y, z)是曲面上的點,它與已知點法二的所得的向量為處的法向量為即得唯一點是實際問題.d有最小值50練習(xí)解為此作拉格朗日函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點;在圓上的最大、最小值.51最大值為最小值為52多元函數(shù)極值的概念條件極值 拉格朗日乘子(數(shù))法多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件多元函數(shù)最值的概念三、小結(jié)(上述問題均可與一元函數(shù)類比)53思考題答不一定.二元函數(shù) f (x, y)在點 P0(x0, y0)處有極值(不妨設(shè)為極小值),是指存在當(dāng)點且P (x, y)沿任何曲線趨向于P0時,一元函數(shù) f (x, y0)在點 x0處取得有極小值,表示動點且 P(x, y)沿直線 z = f (x, y)的極值點?若x0為f (x, y0)的極值點, 點(x0, y0)是否為 54并沿該直線(即沿平行于Ox軸的正負(fù)方向)趨向于P0(x0, y0)時,它們的關(guān)系是:f (x, y)在點(x0, y0)取得極大(小)值取得極大(小)值. f (x0, y)和f (x, y0)分別在 y0點和x0點55選擇題已知函數(shù)