1、第3節(jié)函數的奇偶性與周期性課程標準要求1.結合具體函數,了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結合函數的周期性、最小正周期的含義,會判斷應用函數的周期性.必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基關鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼必備知識課前回顧 回歸教材 夯實四基知識梳理1.函數的奇偶性偶函數奇函數定義一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果xI,都有-xI且 ,那么函數f(x)就叫做偶函數且 ,那么函數f(x)就叫做奇函數圖象特征關于 對稱關于 對稱f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y軸 原點釋疑函數存在奇偶性的前提條件是定義域關于原點對稱.2.函數的周期性(1)周期函數:一般地,設函數

2、f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個xD,都有x+TD,且 ,那么函數f(x)就叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個 的正數,那么這個 就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小最小正數釋疑(1)若T是函數f(x)的一個周期,則nT(nZ,n0)也是函數f(x)的周期.(2)不是所有的周期函數都有最小正周期,如常函數f(x)=c(c是常數)是周期函數,但沒有最小正周期.重要結論1.奇偶性的四個重要結論(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如

3、果函數f(x)是偶函數,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數滿足f(x)=0或解析式可化簡為f(x)=0(xD),其中定義域D是關于原點對稱的非空數集,則函數既是奇函數又是偶函數.(4)在公共定義域內有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.周期性的常用結論設函數y=f(x),xR,a0.(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數的一個周期為2a.(2)若f(x+a)=-f(x),則函數的一個周期為2a.3.對稱性的三個常用結論(1)若函數y=f(x+a)是偶函數,即f(a-x)=f(a+x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(2)若對于R上的任意x

4、都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(3)若函數y=f(x+b)是奇函數,即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.對點自測B1.(必修第一冊P84例6改編)下列函數中為偶函數的是( )A.y=x3 B.y=x2C.y=|ln x|D.y=2-x解析:A為奇函數,C,D為非奇非偶函數,B為偶函數.故選B.B解析:因為f(x)是偶函數,函數的定義域關于原點對稱,所以a+2b=0.3.若函數f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函數,定義域為a,2b,則a+2b=.答案:0答案:-45.(202

5、1山東日照高三模擬)寫出一個滿足f(x)=f(2-x)的奇函數:f(x)=.考點一函數奇偶性的判斷及應用關鍵能力課堂突破 類分考點 落實四翼B1.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足當x0時,f(x)=2x2-2,則f(f(-1)+f(2)等于( )A.-8B.-6C.4D.6解析:法一因為當x0時,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函數是奇函數,則f(0)=0,f(-2)=2(-2)2-2=24-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1)+f(2)=-6.故選B.法二因為當x0,則-x0時,-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),當x0,f(-x)=-x

6、2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函數f(x)是奇函數.法二(圖象法)作出函數f(x)的圖象,由圖象關于原點對稱的特征知函數f(x)為奇函數.4.判斷下列函數的奇偶性.題后悟通1.判斷函數奇偶性的方法(1)首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱,若函數的定義域關于原點對稱,則判斷f(-x)與f(x)之間的關系.(2)判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(-x)與f(x)的關系,只有各段上的x都滿足相同的關系時,才能判斷其奇偶性.2.利用函數的奇偶性求函數值的方法:將待求函數值或不等式利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解.3.根據函數的奇偶性求解析式中參數的方法:根據f(x

7、)f(-x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數的方程(組),進而得出參數的值.4.涉及兩個奇偶函數的和或差的解析式求奇偶函數的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函數的性質構造方程組求解.注意:根據函數的解析式判斷函數奇偶性時,若函數解析式不是最簡形式,需要先化簡函數解析式,化簡時要注意等價變形.考點二函數的周期性及其應用例1 設f(x)是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=-f(x).當x0,2時,f(x)=2x-x2,則x2,4時函數f(x)的解析式為 .解析:當x-2,0時,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇

8、函數,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以當x-2,0)時,f(x)=x2+2x.又當x2,4時,x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,故當x2,4時,f(x)=x2-6x+8.答案:f(x)=x2-6x+8(x2,4)典例遷移1 設f(x)是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,則f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=.解析:依題意函數的一個周期是4,且f(1)=2,所以f(3)=f(3

9、-4)=f(-1)=-f(1)=-2.又f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函數的定義f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),則f(0)=0,因此f(4)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,結合2 023=4505+3,可知f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.答案:0解題策略1.根據函數在給定區(qū)間上的解析式,結合函數周期性與奇偶性的求值問題,應根據函數的性質將待求的自變量的值轉化到

10、已知的函數解析式上后,結合函數解析式求值.2.若函數具有奇偶性以及關于直線(或點)對稱時,函數也具有周期性,求解時首先利用周期性的定義確定出函數的周期.針對訓練 1.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且滿足f(x)=f(1-x),則f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)等于()A.-1B.0C.1D.2解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x)=f(1-x),所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為2,所以f(2 020)=f(0+21 010)=f(0)=0,f(2 021)+f(2 022)=f(2 021)+f(1-

11、2 022)=f(2 021)-f(2 021)=0,所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=0.故選B.3.若函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x-1,1時,f(x)=x2,則x7,9時的函數解析式是.解析:由函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函數的周期是2.設x7,9,則-1x-81,因此f(x-8)=(x-8)2,根據函數的周期是2可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x7,9)考點三 函數性質的綜合應用角度一 函數的單調性、奇偶性的應用例2-1 (1)函

12、數f(x)在(-,+)上單調遞減,且為奇函數,若f(1)=-1,則滿足-1f(x-2)1的x的取值范圍是()A.-2,2B.-1,1C.0,4 D.1,3解析:(1)由函數f(x)是奇函數,可知f(-1)=-f(1)=1.-1f(x-2)1,即f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+)上單調遞減,則有-1x-21,解得1x3.故選D.(2)已知函數f(x)=x2+log2|x|,則不等式f(x+1)-f(2)0的解集為()A.(-,-1)(3,+)B.(-,-3)(1,+)C.(-3,-1)(-1,1)D.(-1,1)(1,3)解題策略1.求解與奇偶函數有關的不等式問題要考慮奇偶函

13、數關于原點對稱的定義域兩側的單調性;利用奇、偶函數的圖象特征或根據奇函數在對稱區(qū)間上的單調性一致,偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反,轉化到同一單調區(qū)間上求解.2.求解與偶函數有關的不等式問題,為避免出現錯誤以及分類討論,可利用偶函數的性質f(x)=f(-x)=f(|x|)將問題轉化為偶函數在0,+)上的單調性求解.角度二 函數的奇偶性(對稱性)與周期性例2-2 (2021黑龍江佳木斯高三三模)已知y=f(x)為奇函數,若f(x+1)是偶函數,且當x0,1時,f(x)=log2(x+a),則f(2 021)等于()A.-1B.0C.1D.2解析:由函數f(x+1)是偶函數以及y=f(x)為奇函數可

14、知f(x+1)=f(-x+1),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以對任意xR,f(x+4)=f(x).當x0,1時,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2a=0,所以a=1,則f(2 021)=f(5054+1)=f(1)=log22=1.故選C.解題策略1.若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)關于直線x=a對稱;若y=f(x+a)是奇函數,則函數y=f(x)關于點(a,0)對稱.2.函數圖象的對稱與周期關系常見結論(1)若函數y=f(x)的兩條對稱軸方程分別為x=a,x=b,則函數的一個周期為T=2|a-b|;(2)若函數y=f(x)的兩個對稱中心分別為

15、(a,0),(b,0),則函數的一個周期為T =2|a-b|;(3)若函數y=f(x)的一條對稱軸方程為x=a,一個對稱中心為點(b,0),則函數的一個周期為T=4|a-b|.角度三 單調性、奇偶性與周期性的綜合問題A.f(1)=0B.f(x)在-2,2上有5個零點C.直線x=2 022是函數y=f(x)圖象的一條對稱軸D.點(2 022,0)是函數y=f(x)圖象的一個對稱中心解題策略函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略(1)函數單調性與奇偶性的綜合.注意函數單調性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性的綜合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換

16、,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調性求解.針對訓練 備選例題例1 (2021廣東揭陽高三一模)已知函數f(x)的定義域為R,滿足f(x)=f(2-x),且對任意1x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,則滿足f(2x-1)-f(3-x)0的x的取值范圍是()例2 已知函數y=f(x)對于任意實數x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(x)不恒為0,函數y=g(x)為非零函數,對于任意實數x,y均有g(xy)=g(x)+g(y),則下列關

17、于函數y=f(x)與函數y=g(x)的敘述正確的是()A.函數y=f(x)與函數y=g(x)均為偶函數B.函數y=f(x)與函數y=g(x)均為奇函數C.函數y=f(x)是奇函數,函數y=g(x)為偶函數D.函數y=f(x)是偶函數,函數y=g(x)為奇函數解析:令x=y=0,則有f(0)=f(0)+f(0),故有f(0)=0.令y=-x,則有f(0)=f(x)+f(-x),故有f(-x)=-f(x),又因為f(x)不恒為0,所以函數f(x)是奇函數.令x=1,y=-1,則有g(-1)=g(-1)1=g(-1)+g(1),故有g(1)=0,令x=y=-1,則有g(1)=g(-1)+g(-1),

18、故有g(-1)=0,令y=-1,則有g(-x)=g(x)+g(-1)=g(x),且y=g(x),f(x)為非零函數,所以函數y=g(x)是偶函數.故選C.例3 (2021重慶高三月考)已知函數f(x)對任意xR都有f(x+4)+f(x)=2f(2),y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱,則f(2 020)等于()A.0B.-2C.-1D.1例4例5 設函數f(x),g(x)的定義域為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數 B.|f(x)g(x)|是奇函數C.|f(x)|g(x)是偶函數 D.f(|x|)g(x)是奇函數解析:令F1(x)=f(x)g(x),所以F1(-x)=f(-x)g