1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1九章算術“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖： 記為每個序列中最后一列數之和，則為（ ）A147B294C882D17642已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則3已知集合，則集合真子集的個數為（ ）A3B4C7D84已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則實數的取值為（ ）A-2B-1C1D25如圖，在三

3、棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD6一艘海輪從A處出發，以每小時24海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海里7函數 的部分圖象如圖所示，則 （ ）A6B5C4D38已知函數，若，,則a，b，c的大小關系是（ ）ABCD9設，是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則10已知函數，其中，若恒成立，則函數的

4、單調遞增區間為（ ）ABCD11設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD12正三棱柱中，是的中點，則異面直線與所成的角為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，點是邊的中點，則_，_.14一個袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從中任意摸取3個小球，每個小球被取出的可能性相等，則取出的3個小球中數字最大的為4的概率是_15在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，則_.16已知內角，的對邊分別為，則_三、解答題：共70分。解答應寫出

5、文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在三棱柱中，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.18（12分）已知函數，（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的極小值；（3）求函數的零點個數19（12分）某企業現有AB兩套設備生產某種產品，現從A，B兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測某一項質量指標值，若該項質量指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設備抽取的樣本頻數分布表.圖1：A設備生產的樣本頻率分布直方圖表1：B設備生產的樣本頻數分布表質量指標值頻數2184814162（1）請估計

6、AB設備生產的產品質量指標的平均值；（2）企業將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件利潤240元；質量指標值落在或內的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據圖1、表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.企業由于投入資金的限制，需要根據A，B兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的期望值調整生產規模，請根據以上數據，從經濟效益的角度考慮企業應該對哪一套設備加大生產規模？20（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為：（為參數），以坐標原點為極點，以軸的

7、正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.21（12分）已知函數.（）若，求曲線在處的切線方程；（）當時，要使恒成立，求實數的取值范圍.22（10分）已知等差數列的公差，且，成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要

8、考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.2D【解析】利用空間位置關系的判斷及性質定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質與判定等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎題.3C【解析】解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有個元素的集合，其真子集的個數為個，屬于基礎題.4B【解析】求出函數的導數，利用切線方程通過f（0），求解即可；

9、【詳解】f （x）的定義域為（1，+），因為f（x）a，曲線yf（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y2x，可得1a2，解得a1，故選：B【點睛】本題考查函數的導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力5B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.6A【解析】先根據給的條件求出三角形ABC的三個內角，再結合AB可求，應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：BA

10、C704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得，即，.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用，關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.7A【解析】根據正切函數的圖象求出A、B兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據向量數量積的坐標運算求出結果【詳解】由圖象得,令=0,即=k，k=0時解得x=2，令=1,即，解得x=3，A(2,0),B(3,1)，.故選：A.【點睛】本題考查正切函數的圖象，平面向量數量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關鍵是利用圖象與正切函數圖象求出坐

11、標，再根據向量數量積的坐標運算可得結果，屬于簡單題.8D【解析】根據題意，求出函數的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數，又由，分析可得答案【詳解】解：根據題意，函數，其導數函數，則有在上恒成立，則在上為增函數；又由，則；故選：【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數單調性的性質，屬于基礎題9D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.10A【解析】，從而可得，再解不等式即可.【詳解】由已知，所以，由，解得，.故選：A.【點睛】本題考查求正弦型函數的單調區間，涉及到恒成立問題，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.11B【解析】由于四邊形為菱形，

12、且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，所以為等邊三角形，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.12C【解析】取中點，連接，根據正棱柱的結構性質，得出/，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結果.【詳解】解：如圖，取中點，連接，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則/，即為異面直線與所成角，設，則，則，.故選：C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分

13、，共20分。13 2 【解析】根據正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數量積求解即可.【詳解】中，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.14【解析】由題，得滿足題目要求的情況有，有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選和有兩個數字4，另外一個數字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類：有一個數字4，另外兩個數字從1，2，3里面選，一共有種情況；有兩個數字4，另外一個數字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個小球，有種情況，所以取出

14、的3個小球中數字最大的為4的概率.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力.159【解析】已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，由正弦定理，得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,難度一般.16【解析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明后

15、可得平面，從而得，結合已知得線面垂直；（2）以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值【詳解】（1）證明：因為，為中點，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）由已知及（1）可知，兩兩垂直，所以以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，則，.設平面的法向量，則，即，令，則；設平面的法向量，則，即，令，則，所以.故銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直，解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉化考查求二面角，求空間角一般是建立空間直角坐標系，用向量法易得結論18（1）；（2）極小

16、值；（3）函數的零點個數為【解析】（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導數分析函數的單調性，進而可得出該函數的極小值；（3）由當時，以及，結合函數在區間上的單調性可得出函數的零點個數.【詳解】（1）因為，所以所以，所以曲線在點處的切線為；（2）因為，令，得或列表如下：0極大值極小值所以，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，所以，當時，函數有極小值；（3）當時，且由（2）可知，函數在上單調遞增，所以函數的零點個數為【點睛】本題考查利用導數求函數的切線方程、極值以及利用導數研究函數的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19（1）30.2，29；（2）B設

17、備【解析】（1）平均數的估計值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標值落在內的產品才視為合格品，列出A、B設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數41640121810.根據樣本質量指標平均值估計A設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.B設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數2184814162根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.（2）A設備生產一件產品的利潤記為X，B設備生產一件產品的利潤記為Y，X240180120PY240180120P若以生產一件產品的利潤作為決策依據，企業應加大B設備的

18、生產規模.【點睛】本題考查平均數的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統計綜合題，本題是一道中檔題.20（1）；（2）或【解析】（1）消去參數可得圓的直角坐標方程，再根據，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數得：，即：，.，.（2）直線：的極坐標方程為，當時.即：，或.或，直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數方程化為普通方程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.21（）（）【解析】（）求函數的導函數，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（）構造函數，對參數分類討論，求得函數的單調性，以及最值，即可容易求得參數范圍.【詳解】（）當時，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（）依題意，得，即恒成立.令，則.當時，因為，不合題意.當時，令，得，顯然.令，得或；令，得.所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.當