1、 PAGE 5整體把握高中數學幾何教學:雙曲線的幾何性質（二）北京一0一中學 田 媛授課題目2.3.2雙曲線的幾何性質（二）使用教材普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1（人教B版）授課年級高二年級（理科）設計思想本節內容是普通高中課程標準實驗教科書數學（選修2-1人教B版）2.3.2雙曲線的幾何性質第二節課。解析幾何以數形結合思想為指導，以坐標法為核心，以空間形式為研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁，也是從初等數學過渡到高等數學的橋梁。由于我們剛學習了橢圓的有關問題，學生已經熟悉了由圖形方程圖形方程性質的研究過程，已基本具有利用方程研究曲線性質的基本能力，因而還應注意對研究結果的理解和運用。

2、本節課是繼續學習研究其他曲線幾何性質及其方程的基礎，通過幾何圖形代數化的方法增強學生深入探究幾何圖形特征的能力。我先從有相似矩形的橢圓圖形出發研究其曲線的方程所表示的特征，再類比引導學生觀察雙曲線與其漸近線的位置關系，最后發展形成具有共同漸近線的雙曲線系方程、離心率等代數特征，進而探究有共同焦點的雙曲線系方程，先探索，后總結，從而問題就發散開來了。教學設計用問題做鏈，環環相扣，使學生的探究活動貫穿始終.讓學生在論證中交流，在交流中獲得認識和能力的提高。學情分析高二的學生，學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對于解析幾何用方程研究圖形的方法運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現困難.另外學

3、生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強.因此教學中應著力培養學生學習數學的興趣，多讓學生嘗試“成功”的快樂，培養創新意識.教法分析為了充分調動學生學習的積極性，本節課采用“啟發式”問題教學法，用環環相扣的問題將探究活動層層深入，使教師總是站在學生思維的最近發展區上.另外恰當的利用多媒體課件進行輔助教學，創設問題情境既能激發學生的學習興趣，又直觀的引導了學生理解曲線與方程的關系.學法分析學生利用已有的幾何知識，作為研究新知識的生長點，經合作探究完全可以發現幾何圖形的特征與其代數表達“曲線的方程”內在的聯系，由此學生不僅會對雙曲線有一個新的認識，而且對橢圓與雙曲線將有整體認識和把握，在今

4、后的數學學習中，學生會更加注重幾何圖形與代數形式間的聯系，認清幾何與代數的統一性與多樣性，拓寬解題思路，促進發散思維。課堂上創造學生對結論的歸納與探究機會，借機對學生進行學法指導，為以后學習培養良好的學習習慣及探究意識。教學目標1、知識目標：（1）探究具有相同離心率的橢圓的幾何特征和代數方程形式之間的聯系，掌握雙曲線的幾何性質中漸近線與曲線方程的關系； （2）理解雙曲線系與漸近線的位置關系提升學生對曲線的方程的認識。2、能力目標：（1）培養學生分析、概括探究幾何問題代數化的能力與方法； （2）培養學生數形結合的數學思想和方法的能力。 （3）感受高維空間與低維空間之間的關系，體會幾何學研究的一般

5、方法。3、情感目標: 使學生在成功的體驗中獲得成就感,進而激發學習數學的興趣.教學重點掌握雙曲線的幾何性質中具有共同漸近線的雙曲線方程的有關知識教學難點對曲線幾何特征的深入理解與探究教學過程教學環節教師活動學生活動設計意圖提出問題問題1：已知一個矩形長10、寬6，在矩形內求做一個橢圓及其方程、離心率；追問：按比例放大縮小的矩形所得橢圓方程是什么？離心率怎樣？加深學生對橢圓的理解，為下一步類比雙曲線的幾何性質奠定良好的基礎。學生活動問題2：已知一個矩形長10、寬6，在矩形外求做雙曲線及其方程、離心率； 追問：按比例放大縮小的矩形所得雙曲線方程是什么？離心率怎樣？再問：對應方程觀察所畫的圖形，討論

6、當與時，表示的圖形具有怎樣的關系？設置問題層層深入，用恰當的語言做有效的引導，充分發揮學生的主體性，使學生主動學習，而非被動參與。及時梳理思路，使學生的數學思維更具條理性，為下一步深入探究提供必要的條件。探究歸納總結1：共同漸近線的雙曲線系：（1）與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為（）；（2）形如的雙曲線漸近線方程可設為學生討論、探究、歸納總結，提高對解析幾何思想的認識。建立有共同漸近線的雙曲線系概念，使學生學會理清和表達自己的見解，學會聆聽、理解他人的想法，培養學生的合作精神及數學創造力。鞏固練習（1）求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線方程 （2）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于

7、_追問：觀察這兩個離心率，能發現怎樣的關系式？總結2：具有共同漸近線的雙曲線系擁有兩類雙曲線，他們具有形似特征，其離心率的關系式： 再問：再觀察這兩個離心率，與漸近線之間的夾角有什么關系？解答，板演解題過程。請學生總結，有效使用雙曲線系的一般步驟是怎樣的？練習遵循低起點，多落點，高終點，照顧到各個層次的學生，例1的（1）反饋學生掌握基本知識的程度；（2）了解基本知識簡單的靈活應用。鞏固練習總結3：雙曲線的漸近線夾角為，則 或拓展研究問題3：方程與橢圓有什么關系？追問：方程與雙曲線有什么關系？學生形成類比研究問題的學習習慣，提高用方程研究曲線性質的能力。提升學生對曲線系的認識，創設各種條件下的曲線系方程，突出解析幾何的一般研究方法：以曲線方程為研究對象，通過曲線方程的代數特性來研究曲線的幾何特性。深入思考提升維度的思考：方程在空間直角坐標系中所表示的圖形怎樣？方程在空間直角坐標系中又表示的圖形怎樣？通過將方程由二維平面提升至三維空間的思考，認識高維空間與低維空間之間的關系，體會幾何學研究的一般方法，為學生設立充分的探究空間，學生在交流成果的過程中，體驗科學研究和真理發現的過程。深入思考提升維度的思考：方程在空間直角坐標系中又表示的圖形怎樣？與方程的對比課堂小結對曲線系方程中參數的一般研