1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形矩得到的一條直角邊勾等于3，另一條直角邊股等于4的時(shí)候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵。”從上面所引的這段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是

2、指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們圖1直角三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來(lái)表示斜邊，則可得：勾2+股2=弦2亦即：a2+b2=c2勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)，我國(guó)古代得到人民對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）。所

3、以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理，應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)摹Ｔ谏院笠稽c(diǎn)的九章算術(shù)一書(shū)中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的勾股章說(shuō)；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，即為：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：學(xué)習(xí)必備歡迎下載c=（a2+b2）(1/2)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中

4、間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2=c2化簡(jiǎn)后便可得：a2+b2=c2亦即：c=（a2+b2）(1/2)學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖2勾股圓方圖趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已

5、。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。事實(shí)上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件。正如當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的.十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”總統(tǒng)巧證勾股定理(2002-11-2711:09:18)學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國(guó)第二

6、十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者？答案是否定的事情的經(jīng)過(guò)是這樣的；在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁?？只?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4

7、，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出學(xué)習(xí)必備歡迎下載了簡(jiǎn)潔的證明方法。他是這樣分析的，如圖所示：1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱?/p>

8、紀(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。趣話勾股定理1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤(pán)排列而成。這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。郵票上的圖案是對(duì)數(shù)學(xué)上一個(gè)非常重要定理的說(shuō)明。它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我國(guó)，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達(dá)哥拉斯定理。勾股定理斷言：直角三角形的斜邊的平方等于其它二邊的平方的和。如果我們要找一個(gè)定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理稱得上是最佳選擇。但是，如果人們要考究這個(gè)定理的起源，則常常

9、會(huì)感到迷惑。因?yàn)樵跉W洲，人們都把這個(gè)定理的證明歸功于畢達(dá)哥拉斯；但通過(guò)二十世紀(jì)對(duì)在美索不達(dá)米亞出土的楔形文字泥版書(shū)進(jìn)行的研究，人們發(fā)現(xiàn)早在畢達(dá)哥拉斯以前一千多年，古代巴比倫人就已經(jīng)知道這個(gè)定理。在我國(guó)西漢或更早時(shí)期的天文歷算著作周髀算經(jīng)中，第一章記述了西周開(kāi)國(guó)時(shí)期（約公元前1000年）商高和周公姬旦的問(wèn)答。周公問(wèn)商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y(cè)量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高回答：“故折矩以為勾廣學(xué)習(xí)必備歡迎下載三，股修四，徑隅五?！奔次覀兂Ｕf(shuō)的勾三、股四、弦五。周髀算經(jīng)里還這樣記載：周髀長(zhǎng)八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，

10、正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長(zhǎng)。候勾六尺，即取竹，空經(jīng)一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬(wàn)里而髀無(wú)影，從此以上至日，則八萬(wàn)里。這段文字描述了中國(guó)古代人民如何利用勾股定理在科學(xué)上進(jìn)行實(shí)踐。錢(qián)偉長(zhǎng)教授對(duì)這段文字作了詳細(xì)的說(shuō)明：“商高，陳子等利用立竿（即周髀）測(cè)定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，夏至日太陽(yáng)影長(zhǎng)一尺六寸，再正南千里，影長(zhǎng)一尺五寸。正北千里，影長(zhǎng)一尺七寸。祖先天才地用測(cè)量日影的辦法，推算了夏至日太陽(yáng)離地的斜高，用同理測(cè)定了冬至日的太陽(yáng)斜高。又取中空竹管，徑一寸長(zhǎng)八

11、尺，用來(lái)觀測(cè)太陽(yáng)，我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)圓影恰好充滿竹管的視線，於是用太陽(yáng)的斜高和勾股的原則，推算太陽(yáng)的直徑。這些測(cè)定的數(shù)據(jù)雖然非常粗略，和實(shí)際相差很遠(yuǎn)，但在三千年前那樣早的年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實(shí)踐的觀測(cè)精神，是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的?！庇纱耍袊?guó)人把這個(gè)定理稱為勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，歐洲人稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理，也有他們的說(shuō)法。因?yàn)槭钱呥_(dá)哥拉斯本人，至少是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的某一成員首先給出了對(duì)這個(gè)定理符合邏輯的證明。雖然，畢達(dá)哥拉斯有不少杰出的證明，如利用反證法證明2不是有理數(shù)，但最著名的就是證明勾股定理了。傳說(shuō)當(dāng)他得到了這個(gè)定理時(shí)，非常的高興，殺了一頭牛作為犧牲獻(xiàn)給天神。也有些

12、歷史學(xué)家說(shuō)是一百頭牛，這個(gè)代價(jià)可太大了！勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理有四百多種說(shuō)明！希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的幾何原本里。漢朝的數(shù)學(xué)家趙君卿，在注釋周髀算經(jīng)時(shí)，附了一個(gè)圖來(lái)證明勾股定理。這個(gè)證明是四百多種勾股定理的說(shuō)明中最簡(jiǎn)單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個(gè)定理的嗎？（提示：考慮黑邊框正方形的面積計(jì)算）商高定理即為勾股定理商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的一段對(duì)話學(xué)習(xí)必備歡迎下載商高說(shuō)：故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五商高那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成勾三股四弦五由于勾股定理的內(nèi)容最早見(jiàn)于商高的話中，所以在我國(guó)人們就把這個(gè)定理叫作商高定理關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，周髀算經(jīng)上說(shuō)：故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也此數(shù)指的是勾三股四弦五，這句話的意思就是說(shuō)：勾三股四弦五這種關(guān)系是在大禹治水時(shí)發(fā)現(xiàn)的周髀算經(jīng)中還有陳子測(cè)日的記載：根據(jù)勾股定理，周子可以測(cè)量太陽(yáng)的高度、太陽(yáng)的直徑和天地的長(zhǎng)闊等例如，當(dāng)求得了日高及測(cè)得了測(cè)量人所在位置到日下點(diǎn)的距離之后，計(jì)算日遠(yuǎn)的方法是：若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，并開(kāi)方而除之，得邪至日者勾股定理的應(yīng)