1、高考數學立體幾何空間向量解法 一、有關公式BB1O投影公式： 在方向上的投影：OB1=COS二、平面的法向量 1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。2、平面法向量的求法(內積法):在給定的空間直角坐標系中，設平面的法向量或，或，在平面內任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關于的方程組，解此方程組即可得到。三、平面法向量的應用 1、求空間角AB圖2-1-2C（1）求線線角：已知兩異面直線，則異面直線所成的角為：（2）求線面角：如圖2-1，設是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：圖2-1-1:圖2-222222-2-2圖

2、2-1-2:(3)求面面角:設向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：（圖2-2）;圖2-3 (圖2-3)兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向對平面而言向外，的方向對平面而言向內；在圖2-3中，的方向對平面而言向內，的方向對平面而言向內。圖2-4nabAB2、求空間距離（1）異面直線之間距離:方法指導：如圖2-4,作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點A、B，作向量；圖2-5AMBNO求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為AaB圖2-6,其中（2）點到平面的

3、距離:方法指導：如圖2-5,若點B為平面外一點，點A圖2-7AB為平面內任一點，平面的法向量為，則點B到平面的距離公式為（3）直線與平面間的距離:方法指導：如圖2-6,直線與平面之間的距離：圖2-8a，其中。是平面的法向量（4）平面與平面間的距離:方法指導：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：圖2-9a，其中。是平面、的法向量。3、證明（1）證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。（2）證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。圖2-10（3）證明面面垂直：在圖2-1

4、0中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）圖2-11（4）證明面面平行：在圖2-11中, 是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)建立空間直角坐標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）五、高考真題新解(08年全國卷二)如圖

5、，正四棱柱中，,點E在上且.()證明：平面;()求二面角的大小.解：()以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系依題設，3分（）=0，=0故，又，所以平面6分（）設向量是平面的法向量，則，故，第一問已經證明平面，所以可以把作為平面的法向量。令，則，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小為12分立體幾何高考選擇填空真題1、2012年文（8）理4、已知正四棱柱中 ，為的中點，則直線與平面的距離為（A） （B） （C） （D）【解析】連結交于點，連結，因為是中點，所以,且，所以，即直線 與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離，過C做于,則即為所求距離.因為底面邊長為2，高為，所

6、以,所以利用等積法得，選D. 2、2012年文（12）正方形的邊長為，點在邊上，點在邊上，。動點從出發沿直線向運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點第一次碰到時，與正方形的邊碰撞的次數為（A） （B） （C） （D）【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞6次即可.3、2012年理（12）正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AEBF.動點P從E出發沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方

7、形的邊碰撞的次數為（ ） （A）16（B）14（C）12(D)10【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.4、2012年文（16）已知正方體中，、分別為的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為_.【解析】如圖連接，則,所以與所成的角即為異面直線所成的角，設邊長為2，則，在三角形中.5、2012年理（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1=CAA1=60，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_.【解析】如圖設設棱長為1，則，因為底面邊長和側棱長都相等，且

8、所以，所以， ，設異面直線的夾角為，所以.CABD6、2011年文(8)理6、已知直二面角,點，,為垂足,，,為垂足,若，則( ).（A） 2 （B） （C） （D）1【解析】因為是直二面角, ,平面,又,7、2011年文(12)理11、已知平面截一球面得圓，過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓.若該球面的半徑為4，圓的面積為4，則圓的面積為( ). (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【解析】如圖所示,由圓的面積為4知球心到圓的距離,在中, ,故圓的半徑,圓的面積為. 8、2011年文(15)已知正方體中，E為的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為 .【解析】取A1B1的中點M連

9、接EM，AM，AE，則就是異面直線AE與BC所成的角。在中，.9、2011年理(16)己知點、分別在正方體的棱、上，且，則面與面所成的二面角的正切值等于 .【解析】延長交的延長線于,連結,則為面與面的交線,由得,為中點.設正方體的棱長為1,則,又,平面,是面與面所成的二面角的平面角,在中,故面與面所成的二面角的正切值等于.10、2010年文(6)直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于(C ) (A)30 (B)45(C)60 (D)9011、2010年文(9)理7、正方體-中，與平面所成角的余弦值為(D ) (A） （B） （C） （D）12、2010年文(12)已知在半徑為2的球面上有A、

10、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為( B )(A) (B) (C) (D) 13、2010年理(15)直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是 .14、2009年文理（9）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為(A) (B) (C) (D) 解：設的中點為D，連結D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D 15、2009年文（11）理10、已知二面角為600 ，動點P、Q分別在面內，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為解:如圖分別作 ，連 ，又當且僅當，即重合時取最小值。

11、故答案選C。 16、2009年文理(15)已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_.解：設球半徑為，圓M的半徑為，則，即由題得，所以。17、2008年11已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD解：C由題意知三棱錐為正四面體，設棱長為，則，棱柱的高（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.另解：設為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為長度均為，平面的法向量為,則與底面所成角的正弦值為.18、2008年16等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于

12、 解：答案：.設，作，則，為二面角的平面角，結合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則16題圖（2）,故所成角的余弦值另解：以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，則點,則,故所成角的余弦值.19、平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為 eq r(2)，則此球的體積為 （A） eq r(6) （B）4 eq r(3) （C）4 eq r(6) （D）6 eq r(3)【解析】球半徑，所以球的體積為，選B.20、設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D） 解：因為則，選A，21、設是直線，a，是兩個不同

13、的平面A. 若a，則a B. 若a，則aC. 若a，a，則 D. 若a, a，則【解析】利用排除法可得選項B是正確的，a，則a如選項A：a，時，a或a；選項C：若a，a，或；選項D：若若a, a，或【答案】B22、下列命題正確的是（ ）A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 【解析】A.兩直線可能平行，相交，異面故A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個平面平行或相交. 【答案】C23、

14、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ） B、 C、 D、【解析】根據題意，易知平面AOB平面CBD,，由弧長公式易得，、兩點間的球面距離為.【答案】A24、如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是_。【解析】本題有兩種方法，一、幾何法：連接，則,又，易知，所以與所成角的大小是；二、坐標法：建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式計算得異面直線與所成角的大小是.25、一個高為2的圓柱，底面周長為，該圓柱的表面積為 【解析】底面

15、圓的周長，所以圓柱的底面半徑，所以圓柱的側面積為兩個底面積為。，所以圓柱的表面積為。26、如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【解析】長方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。四棱錐的體積為。27、已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形。若PA=2,則OAB的面積為_.【解析】點28、已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 【解析】的外接圓的半徑，點到面的距離,為球的直徑點到面的距離為 此棱錐的體積為 另：排除,選A.29、如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，

16、則直線與直線夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【解析】設，則，故選A.ABMNCl2l1H立體幾何高考解答題真題1、（2006年高考）如圖，、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點A、B在上，C在上，。 （）證明ACNB；()若，求與平面ABC所成角的余弦值。1、解: 如圖,建立空間直角坐標系Mxyz.令MN=1, 則有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),ABMNCl2l1Hxyz()MN是 l1、l2的公垂線, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 eq o(AC,sup6()=(1,1,m), eq o(NB,su

17、p6()=(1,1,0). eq o(AC,sup6() eq o(NB,sup6()=1+(1)+0=0 ACNB.() eq o(AC,sup6() =(1,1,m), eq o(BC,sup6()=(1,1,m), | eq o(AC,sup6()|=| eq o(BC,sup6()|, 又已知ACB=60,ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB= eq r(2),可得NC= eq r(2),故C(0,1, eq r(2).連結MC,作NHMC于H,設H(0, eq r(2) (0). eq o(HN,sup6()=(0,1, eq r(2), eq o(MC,s

18、up6()=(0,1, eq r(2). eq o(HN,sup6() eq o(MC,sup6() = 12=0, = eq f(1,3) ,H(0, eq f(1,3), eq f(r(2),3), 可得 eq o(HN,sup6()=(0, eq f(2,3), eq f(r(2),3), 連結BH,則 eq o(BH,sup6()=(1, eq f(1,3), eq f(r(2),3), eq o(HN,sup6() eq o(BH,sup6()=0+ eq f(2,9) eq f(2,9) =0, eq o(HN,sup6() eq o(BH,sup6(), 又MCBH=H,HN平面

19、ABC,NBH為NB與平面ABC所成的角.又 eq o(BN,sup6()=(1,1,0),cosNBH= eq f(o(BH,sup6()o(BN,sup6(),|o(BH,sup6()|o(BN,sup6()|) = eq f(f(4,3),f(2,r(3)r(2) = eq f(r(6),3)DBCAS2、（2007年高考）四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面已知，（）證明：；（）求直線與平面所成角的大小 解：（）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面因為，所以又，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標原點，為軸正向，建立直角坐標系，所以（）取中點，連結，取中點，連結，與平面內兩條相交直線，垂直

20、所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，CDEAB所以，直線與平面所成的角為3、（2008年高考）四棱錐中，底面為矩形，側面底面，（）證明：；（）設與平面所成的角為，求二面角的大小3、解：（I）作AOBC，垂足為O，則AO底面BCDE，且O為BC的中點，以O為坐標原點，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標系O-xyz.設A（0,0,t），由已知條件有C(1,0,0), D(1,0), E(-1, ,0),所以，得ADCE（II）作CFAB，垂足為F，連接FE，設F（x,0,z）則=(x-1,0,z),故CFBE，又ABBE=B，所以CF平面ABE，CEF是CE與平面ABE所

21、成的角，CEF=45由CE=，得CF=又CB=2，所以FBC=60，ABC為等邊三角形，因此A（0，0，）作CGAD，垂足為G，連接GE，在RtACD中，求得|AG|=|AD|，故G，又，所以的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=知二面角C-AD-E為arccos() 4、（2009年高考）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，,，點M在側棱上，=60（I）證明：M在側棱的中點（II）求二面角的大小。4、解:以D為坐標原點，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系D-xyz設，則（）設,則又，故即，解得，即所以M為側棱SC的中點（II）由，得AM的中點又所以，因此等于二面角的平

22、面角所以二面角的大小為5、(2010年高考)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .（）證明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .5、解：以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，設A(1,0,0)，則B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（）設平面SBC的法向量為n=(a,b,c)由，得，故2b-2c=0,-a+b=0，令a=1，則b=c,c=1,n=(1,1,1)。又設 ，則，設平面CDE的法向量m=(x,y,z)，由,得 ： ，故.令，則.由

23、平面DEC平面SBC得mn,，故SE=2EB（）由（）知，取DE的中點F，則，故，由此得又，故，由此得，向量與的夾角等于二面角的平面角于是，所以二面角的大小為6、如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD底面ABCD，側棱PAPD=,底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.()求證:PO平面ABCD；()求異面直線PB與CD所成角的余弦值；()求點A到平面PCD的距離.6、解：（）證明：在PAD卡中PAPD，O為AD中點，所以POAD.又側面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.（）以O為坐標原點，的方

24、向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以（-1，1，0），（t，-1，-1），、=，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，（）設平面PCD的法向量為n（x0,y0,x0），由（）知=（-1，0，1），（-1，1，0），則n0，所以-x0+ x0=0,n0，-x0+ y0=0， 即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1). 又=(1,1,0).從而點A到平面PCD的距離d7、如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點，（I）設

25、是的中點，證明：平面；（II）證明：在內存在一點，使平面，并求點到，的距離7、證明：（I）如圖，連結OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系O， 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內，因此有平面E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （II）設點M的坐標為，則，因為平面BOE，所以有，因此有，即點M的坐標為，在平面直角坐標系中，的內部區域滿足不等式組，經檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使平面，由點M的坐標得點到，的距離為8、如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB

26、/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M （1）證明：直線EE/平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。8、解:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因為ABCD為等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0

27、）,E1（,-1,1）,所以,設平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 9、如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的 菱形，, , ,為的中點。（）求異面直線AB與MD所成角的大小；（）求點B到平面OCD的距離。9、解：作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立空間直角坐標系，則,(1)設與所成的角為, , 與所成角的大小為(2) 設平面OCD的法向量為,則即 取,解得設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, .所以

28、點B到平面OCD的距離為10、如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求證:與AC共面，與BD共面. ()求證:平面 ()求二面角的大小.10、解： 以D為原點，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）證明：于是與AC共面，與BD共面.（）證明：內的兩條相交直線， 又平面（）解：設于是設于是11、如圖，在三棱錐中，側面與側面 均為等邊三角形，為中點 （）證明：平面；（）求二面角的余弦值11、證明：（）由題設，連結，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解：以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為12、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點E到平面ACD的距離。12、解：（II）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0,0)，A(0,0,1), E(,0)